Лекция 16. Правила и формулы дифференцирования
.docЛекция 16. Правила и формулы дифференцирования.
16.1. Правила дифференцирования.
♦ Теорема 16.1. Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда в этой точке имеют производные их сумма, произведение и частное, причём:
а) ; б) ; в) при .
Доказательство. а) Рассмотрим функцию . Её приращение
.
Следовательно, отношение примет вид , и , то есть . ■
б) Обозначим . Тогда
Следовательно,
Здесь мы воспользовались теоремой 15.1: если функция имеет в точке производную, то она непрерывна в этой точке, то есть . Таким образом, . ■
в) Обозначим . Тогда
Таким образом,
.
Искомые пределы , , , поэтому , и окончательно . ■
☼ Замечание 16.1. Если , где C – постоянная, то :
.
Таким образом, постоянный множитель можно выносить за знак производной. ☼
16.2. Производные элементарных функций.
♦ Теорема 16.2. 1) Производная степенной функции , , :
.
Доказательство. Приращение степенной функции в точке ,
.
Следовательно, для всех x, при которых определена. ■
♦ 2) Производная показательной функции , , : ,
в частности .
Доказательство. .
. ■
♦ 3) Производная логарифмической функции :
или, более общо, для функции , , : .
Доказательство.
.
, поэтому . ■
♦ 4) Производная функции : .
Доказательство для производной синуса проведено в примере 15.1. ■
♦ 5) Производная функции : .
Доказательство.
. ■
♦ 6) Производная функции , , : .
Доказательство. . ■
♦ 7) Производная функции , , : .
Доказательство.
. ■
♦ 8) Производные гиперболических функций:
, ,
, .
Доказательство.
, ,
, . ■
Пример 16.1. Найти , .
найдём по теореме 16.1 как производную отношения двух функций в точке :
при ,
откуда .
найдём по определению 15.1:
.
16.3. Теорема о производной обратной функции.
♦ Теорема 16.3. Пусть функция строго монотонна и непрерывна на интервале , содержащем точку . Пусть в точке она имеет конечную и отличную от нуля производную . Тогда для обратной функции в соответствующей точке тоже существует производная, равная .
Доказательство. Придадим значению произвольное приращение . Тогда функция , обратная к функции , получит приращение . При ввиду строгой монотонности и . Следовательно,
. (16.1)
В силу непрерывности функции при и . Но тогда знаменатель правой части (16.1) стремится к пределу . Следовательно, существует предел и левой части равенства (16.1). Получаем, что . ■
16.4. Производные обратных тригонометрических функций.
♦ Теорема 16.4. 1) Производная функции , :
.
Доказательство. Функция является обратной к функции , , производная которой на указанном интервале . Поэтому
. ■
♦ 2) Производная функции , :
.
Доказательство. Функция является обратной к функции , , производная которой на указанном интервале . Поэтому
. ■
♦ 3) Производная функции , :
.
Доказательство. Функция является обратной к функции , , производная которой на указанном интервале . Поэтому
. ■
♦ 4) Производная функции , :
.
Доказательство. Функция является обратной к функции , , производная которой на указанном интервале . Поэтому
. ■
16.5. Таблица производных.
№ |
№ |
||||
1. |
0 |
10. |
|||
2. |
11. |
||||
3. |
12. |
||||
4. |
13. |
||||
5. |
14. |
||||
6. |
15. |
||||
7. |
16. |
||||
8. |
17. |
||||
9. |
18. |
16.6. Производная сложной функции.
♦ Теорема 16.5. Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке , причём
. (16.2)
Доказательство. Дадим аргументу приращение . Оно вызовет приращение функции : , которое, в свою очередь, вызовет приращение функции : . Так как функция дифференцируема в точке , то её приращение представимо в виде:
, (16.3)
где – бесконечно малая функция при .
Доопределим функцию в точке : . Тогда формула (16.3) будет верна для всех из некоторой окрестности нуля.
С другой стороны, функция дифференцируема в точке и, следовательно, , и при (а вместе с и ). Таким образом,
Здесь ,
.
Следовательно, функция дифференцируема в точке и её производная
. ■
Пример 16.2. Найти производные функций.
1) ; .
2) ; .