Лекция 15. Производная
.docЛекция 15. Производная.
15.1. Понятие производной.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Дадим аргументу некоторое приращение (положительное или отрицательное). Тогда функция получит приращение . Рассмотрим отношение .
Определение 15.1. Конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии называется производной функции в точке .
Этот предел обозначается символом :
. (15.1)
Наряду с обозначением производной в произвольной точке x употребляются и другие обозначения: , , .
Конкретные значения производной при обозначаются через , , .
Формулу (15.1) можно записать в виде
. (15.2)
Пример 15.1.
.
15.2. Геометрическая интерпретация производной.
Пусть на плоскости xOy задана кривая, описываемая уравнением . Проведём касательную к кривой в точке . Возьмём на кривой точку M1 и проведём секущую M0M1 (рис. 15.1). При изменении точки M1 положение секущей будет меняться.
Рис. 15.1. |
Определение 15.2. Если при стремлении точки к фиксированной точке секущая не зависимо от способа стремления точки к точке стремится к одному и тому же предельному положению, то прямая, являющаяся этим предельным положением, называется касательной к кривой в точке .
Получим уравнение этой касательной. Обозначим координаты точки M1 через и пусть – угол наклона секущей к оси Ox. Тогда (см. рис. 15.1) угловой коэффициент секущей M0M1 равен
. (15.3)
Если же устремить точку M1 к точке M0, то есть устремить к нулю, то в случае существования производной угол будет стремиться к некоторому пределу , где . Следовательно, прямая, составляющая с положительным направлением оси Ox угол и проходящая через точку M0 и будет касательной. Её угловой коэффициент .
Запишем уравнение касательной к графику в точке :
. (15.4)
Определение 15.3. Прямая называется перпендикулярной к кривой в точке , если она перпендикулярна касательной к кривой в точке . Эта прямая называется также нормалью к этой кривой.
Угловой коэффициент нормали к кривой в точке M0 при , и уравнение нормали к графику функции, проходящему через точку запишется в следующем виде:
. (15.5)
Если , то уравнение нормали .
☼ Замечание 15.1. Если в точке и , то касательная к кривой в точке существует, она вертикальна и её уравнение . Уравнение соответствующей нормали . ☼
15.3. Физический смысл производной.
1) Пусть задан закон движения точки . Средняя скорость движения . Мгновенная скорость движения .
Среднее ускорение движения . Мгновенное ускорение движения .
2) Сила тока в момент времени t: , где – количество электричества.
3) – количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t. Скорость химической реакции в момент времени t: .
4) – масса неоднородного стержня между точками и . Линейная плотность стержня в точке x есть .
5) Барометрическая формула (зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря).
– давление воздуха на высоте h – давление воздуха на высоте – плотность воздуха на высоте h ,
|
С учётом закона Менделеева-Клапейрона ( – количество вещества, m – масса воздуха, M – молярная масса воздуха, R – универсальная газовая постоянная), получаем . Обозначая , получаем далее:
, , .
Так как производные равны, то , где – давление воздуха на уровне моря. Окончательно, барометрическая формула выглядит как
.
15.4. Односторонние производные.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Определение 15.4. Если существует предел отношения при (то есть , ), то этот предел называется правой производной функции в точке и обозначается символом :
. (15.6)
Определение 15.5. Если существует предел отношения при (то есть , ), то этот предел называется левой производной функции в точке и обозначается символом :
. (15.7)
☼ Замечание 15.2. Для того чтобы существовала производная в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовали левая и правая производные в этой точке и они были бы равны. ☼
15.5. Необходимое условие существования производной.
♦ Теорема 15.1. Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть существует производная в точке , то есть
.
Тогда по замечанию 12.3 , где . Следовательно, . Но тогда
.
Это означает, что функция непрерывна в точке . ■
☼ Замечание 15.3. Обратное утверждение не всегда верно, то есть не всякая непрерывная в точке функция имеет производную в этой точке. ☼
Пример 15.2. Функция непрерывна в точке . Найдём
,
.
Таким образом, у функции в точке существуют односторонние производные, но они не равны и, следовательно, функция не имеет производной в точке .
Если функция имеет производную в точке , то говорят, что дифференцируема в этой точке.