- •§1. Числовые функции
- •1.3. Дробно-линейная функция
- •1.7. Тригонометрические функции
- •1.8. Обратные тригонометрические функции
- •1.10. Преобразования графиков функций
- •§2. Предел числовой функции
- •2.6. Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •§3. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
- •§4. Дифференциальное исчисление
- •4.5. Условные экстремумы
§1. Числовые функции
1.1. Линейная функция,. График– прямая линия.
Область определения .
Область значений .
Геометрический смысл коэффициента k:
, где - угол между осью абсцисс и прямой.
1.2. Квадратичная функция,..
, если ;, если, где- дискриминант.
График функции – парабола с вершиной в точке
На рисунке – 6 различных расположений параболы относительно оси абсцисс в зависимости от знакааи значения дискриминанта.
1.3. Дробно-линейная функция
.
1.4. Степенная функция,.
а) ,kN(четный положительный показатель).
, .
б) ,kN(нечетный положительный показатель).
, .
в) (если).
, .
г) (если).
, .
Возможны иные варианты для показателя степенной функции.
1.5. Показательная функция,.
,
1.6. Логарифмическая функция,
1.7. Тригонометрические функции
1.7.1. Графики
, Период
, . Период.
, . Период.
1.7.2. Основные тригонометрические формулы и величины
Значения тригонометрических функций. Формулы приведения.
Функции |
Аргумент | |||||||||
|
0 | |||||||||
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
180 |
270 | ||||
0 |
1 |
0 |
-1 | |||||||
1 |
0 |
-1 |
0 | |||||||
0 |
1 |
– |
0 |
– | ||||||
– |
1 |
0 |
– |
0 | ||||||
х | ||||||||||
Функции ,и- нечетные, т.е
,,.
Функция четная, т.е.
Некоторые тригонометрические тождества.
(1)
(2) (3)
(4)
(5)
(6) (7)
(8)
(9)
(10) (11)
(12) (12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
1.8. Обратные тригонометрические функции
. Функция нечетная.
, .,
. Функция нечетная.
, .,.
1.9. Функция сигнум:
, .
1.10. Преобразования графиков функций
(1) сдвиг графика функциивдоль Оyнасединиц вверх;Þсдвиг графика вниз (считается, что) |
(2) Þсдвиг графика функциивдоль Ох насединиц вправо;Þсдвиг графика влево (считается, что)
|
(3) сжатие графика функциивдоль Ох вkраз;Þрастяжение графика вдоль Ох (считается, что) |
(4) растяжение графика функциивдоль Оyвkраз;Þсжатие графика вдоль Оy(считается, что) |
(5) Þзеркальное отражение графика функцииотносительно оси Оy |
(6) Þзеркальное отражение графика функцииотносительно оси Ох |
(7) Þчасть графика, находящаяся в нижней полуплоскости, отражается симметрично относительно оси Ох; весь график находится в верхней полуплоскости |
(8) Þ часть графика, находящаяся в левой полуплоскости, удаляется; а график из правой полуплоскости симметрично отображается в левую полуплоскость
|
§2. Предел числовой функции
2.1. Таблица эквивалентных функций
Две функции иназываютсяэквивалентнымипри, если. Данный факт обозначают:при.
Таблица эквивалентных функций
При :
(1) (2)(3)
(4) (5)
(6) (7)
(8) (9)
(10) (11)
При :
(12)
(13) В случае многочлена , где- коэффициент при старшей степени.
При :
(14) (15) (16)
2.2. Пределы некоторых функций.
функция | |||
0 | |||
0 | |||
, если a>1 |
1 |
0 | |
, если 0<a<1 |
1 |
0 | |
– |
2.3. Предел степенно-показательной функции
.
Если при функция, находящаяся в основании,, то
.
2.4. Результаты действий с бесконечно малыми и бесконечно большими функциями
Если –бесконечно малаяфункция в точке, то.
Если –бесконечно большаяфункция в точке, то.
В таблице – произвольное число.
|
|
|
|
Неопределенности: | |
| |||||
| |||||
| |||||
, если |
, если |
2.5. Отыскание асимптот графика функции
(1) Прямая являетсявертикальной асимптотой функции , если хотя бы один из односторонних пределовиравенили. Значенияищем среди точек разрыва области определения и ее конечных границ.
(2) При (при) у функцииимеетсягоризонтальная асимптота, если существует конечный предел . Тогда– искомая горизонтальная асимптота при(при).
(3) Если при (при) нет горизонтальных асимптот, то возможно найтинаклонные асимптоты функции . Для этого необходимо вычислить пределы и. Если они существуют, причемиконечны, то прямаяявляется наклонной асимптотой при. Аналогично находится наклонная асимптота и при.