- •Аксиомы Колмогорова
- •Свойства Вероятностей
- •Действительно , , ,
- •Классическое определение вероятности, условие применимости
- •Геометрическое определение вероятности
- •– Геометрическое определение вероятности
- •Условная вероятность, теорема умножения вероятностей. Независимость случайных событий.
- •Формула полной вероятности, условия применимости
- •Формула Байеса.
- •Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа
- •Интегральная предельная теорема
- •Функция распределения случайной величины. Свойства
- •Функция распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины
- •Плотность распределения непрерывной случайной величины, свойства
- •Функция распределения, плотность вероятностей многомерной случайной величины. Независимость случайных величин.
- •Математическое ожидание случайной величины. Свойства.
- •Дисперсия случайной величины. Свойства
- •Коэффициент корреляции случайных величин. Свойства
- •Биномиальный закон распределения случайной величины, числовые характеристики
- •Равномерный закон распределения, числовые характеристики
- •Нормальный (гауссовский) закон распределения, числовые характеристики
-
Математическое ожидание случайной величины. Свойства.
Пусть - дискретная случайная величина с возможными значениями
и вероятностями этих значений , k = 1,2,…,n.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число
(1)
Если случайная величина имеет бесконечное число возможных значений, то для существования ее математического ожидания необходима сходимость ряда
(2)
Пусть - непрерывная случайная величина, плотность вероятностей которой
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число
(3)
Определение. Математическим ожиданием функции случайной величины называется число
- для дискретной величины
- для непрерывной величины
Определение. Математическим ожиданием многомерной случайной величины называется вектор
,
где
, k = 1,2,…,n
или
, k = 1,2,…,n
Свойства математического ожидания
1. , с = const
2. , с = const
3.
Действительно, для непрерывных случайных величин
,
=
Следствие.
4. Пусть независимы, тогда
Действительно, для непрерывных случайных величин
,
=
-
Дисперсия случайной величины. Свойства
Пусть случайная величина имеет математическое ожидание .
Определение. Дисперсией случайной величины называется число
(1)
Из (1)
(2)
Пусть - дискретная случайная величина с возможными значениями
и вероятностями этих значений , k = 1,2,…,n.
Тогда
(3)
Пусть - непрерывная случайная величина, плотность вероятностей которой . Тогда
(4)
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется число
Определение. Дисперсией случайной величины называется матрица , где
=
Свойства дисперсии
1. , С = const.
2.
3. , где
Действительно
+ = .
Следствие.
а) Пусть независимы, тогда
б) Пусть С = const.
в) Пусть независимы, тогда
4. Пусть независимы, тогда
Действительно
= =
=
Так как
и, следовательно , то
=
=
-
Коэффициент корреляции случайных величин. Свойства
Пусть ξ1, ξ2 - случайные величины, для которых существуют
Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин ξ1, ξ2 называется число
(1)
где
(2)
Если ξ1, ξ2 дискретные случайные величины и xi – возможные значения величины ξ1, yi - возможные значения величины ξ2, то
(3)
Если ξ1, ξ2 непрерывные случайные величины и - плотность вероятностей вектора , то
(4)
Свойства коэффициента корреляции
1.
2. в том и только том случае, если ξ1, ξ2 связаны линейной зависимостью , .
3. Если ξ1, ξ2 независимы, то
= 0
Замечание. Из того, что = 0 еще не следует, что ξ1, ξ2 независимы.