§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега

При вычислении интеграла Лебега точки x e X объединяют по признаку их близости по оси Ox. Значения f(x) при этом могут сильно отличаться. Для непрерывных и почти непрерывных функций при близких x₁, x₂ значения y₁ и y₂ тоже достаточно близки. Это обеспечивает существование ^Hn® S_R(T) и интегрируемость по Риману. По достаточно

«сильной» разрывности f(x) значения y₁ и y₂ могут очень отличаться, хотя и x₁ близко к x₂ . Это приводит к тому, что выбор других с_к сильно меняет S_R(T) и BJin® S_R(T). В этом

причина того, что интеграл Римана не берет более-менее существенно разрывные функции.

В интеграле Лебега значения x объединяются во множестве e_k как раз по близости значений y . Это позволяет мало менять S_L (T) при малых изменениях у*. В результате (L) - интегрируемых функций значительно больше, чем (R) - интегрируемы те и только те, что почти всюду непрерывны, а (L) - интегрируемы все измеримые.

Соотношение интегралов Римана и Лебега дает следующая теорема.

Теорема

Если f(x) (R) - интегрируема на отрезке [ a; b], то она

bb (L) - интегрируема и (L)J f(x)dx = (R)J f(x)dx.

aa

Доказательство

Пусть f(x) на отрезке [ a; b] интегрируема по Риману.

Покажем, что она измерима на отрезке [ a; b ].

Введем обозначения: S = [a; b], M = S( f > a), ae R. Покажем, что M измеримо. Выполняется равенство:

M = (M и M')\ M' п (S \ M). (*)

Поскольку, как известно, S замкнуто, M с S, то M' с S. Ясно, что M'3 M' п ( S \ M). Тогда M с (M u M')\ M' п (S \ M).

Обратно, Vx e (M u M')\ M' п ( S \ M). Это означает, что x e M u M' и x e M' п ( S \ M). Отсюда x e M, то xe S \ M ^ xe M' ^ xe M' п ( S \ M) что не выполняется. Тогда множества из (*) равны.

M u M' = M - замкнуто ^ измеримо. Для измеримости М нужна измеримость M' п ( S \ M). Покажем, что M' п ( S \ M )с E - множество точек разрыва f (x), тогда теорема Лебега об интеграле Римана, дает mE = 0.

Допустим противное: 3x₀ e E: x₀ e M' п ( S \ M) Тогда

X) e M', x₀ e M. В точке Xj f(x) непрерывна. Так как x₀ e M, то f (x₀) < a. x₀ - предельная точка M ^ $(x_n)_neN с M : x_n ® x₀.x_n e M ^ f (x_n) > a. Вследствие непрерывности f(x) в точке x₀, переходя к пределу при n ® ¥, имеем f(x^) > a. Противоречие.

Итак, M' П (S \ M )е E ^ M' П (S \ M) измеримо и имеет меру нуль. Тогда M измеримо, f(x) измерима на отрезке [ a; b ], значит, интегрируема по Лебегу.

Покажем, что I_R = I_L. Для любого ( T) - разбиения [ a; b]

^xk+i

m_kDx_k < (L) j f (x)dx < m_kDx_k по 1⁰.

n—1 n—1

Суммируем по к, имеем £ т_кDx_k < I_L < £ т_кDx_k. При

к=0 к=0

Л-(Т) ® 0 суммы стремятся к интегралам Дарбу I_R и Ir .

Поскольку $I_R, то I_R = Ir = I_R. Получаем b b (R)j f(x)dx = (L)j f(x)dx.

aa

Теорема доказана.

Этот результат удобно использовать для вычисления интегралов Римана, сводя их к интегралам Лебега и возвращаясь опять к интегралу Римана по эквивалентной функции. Этот метод особенно хорош тогда, когда обычными способами интеграл Римана вычислить неудобно.

i; x ф-,

ⁿ n e N, на отрезке [0; 1].

Пример

f (x) =

<

—x²; x =—,

n

f(x) имеет разрывы в точках x = ¹. Множество точек разрыва

n

имеет меру нуль, поскольку счетно и ограничено. Следовательно, f( x) интегрируема по Риману. Формула Ньютона-Лейбница неприменима, по определению вычислить сложно

.Используем теорему:

i i

f (x)dx = (L) j f(x)dx, 0 0 f (x)~1 на отрезке [0; 1].

i i i Тогда (L)j f (x)dx = (L) jidx = (R)jdx = i. 0 0 0 i

Следовательно, (R)j f(x)dx = i.

0

§ 5. Обобщенн^1й интеграл Лебега от неотрицательной

функции

Здесь мы обобщим понятие интеграла Лебега на некоторые неограниченные функции. Пусть сначала функция неотрицательна и измерима на X. "n е N, определим на X новую функцию:

Г f (x), если f (x) < n,

^{[ f (x)]}n = 1 „ 4

[ n, если f (x) > n.

Эта функция называется срезом, или срезкой, f(x) по уровню n е N

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2

КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3

а\в 15

( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23

2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37

склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38

3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77

х = щ, k = 1,2,...,n 101

^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 206

= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 236

[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 255

Достаточно применить свойство 12⁰ к частичным суммам ряда.

14⁰. Если в условиях свойства 13⁰, Z[L]jU_k(x)dx< +¥, то

k=1 х

почти всюду на х, lim U_k (x) = 0 .

k

Доказательство

В этом случае f₀(x) суммируема ^ почти всюду конечна.

Значит, ряд сходится почти всюду на х, а в этих точках x₀ е х,

lim U_k (x₀) = 0 обязательно.

k

15⁰. (Полная аддитивность обобщенного интеграла Лебега).

Пусть X = u Xi, I < IC₀, X, X_{ - измеримы,

iel

1Ф j^ XnXj = 0.

Тогда "f(x) на X, измеримой и неотрицательной, будет [L]j f(x)dx = £[L] j f(x)dx.

X iel X_t

Доказательство

f f (x), x e X_k, Введем функции U_k (x), k e N: U_k (x) = j

10, x e X \ X_k.

Тогда f(x) = ^U_k (x) и в силу свойства 7⁰ или свойства 14⁰

k

[L]j f(x)dx = £[L]jUk(x)dx. (*)

X k X

Вычислим последние интегралы.

_{[U ( )]} f[ f(x)L, xe Xk, ^[Uk^(x)]„ = j

[ 0, x e X \ X_k.

Отсюда (L)j[U_k(x)]_ndx = (L)j[ f]_ndx. Переходя к пределу

XX

при n и используя (*), получаем нужное равенство.