X становится линейным нормированным пространством. Примеры

1. R„x||_£ = ylx² + x2 +... + x2 .

2. (R)j x²(t)dt.

   C„x|L =у/xx + x₂x₂ +... + x„x^ .

3. C[a, b],|| x(t)| L =

a

Неравенство Коши - Буняковского - Шварца запишется так:

| ab |< ||a||_L||b|L.

Тот случай, когда исходная норма является именно эвклидовой, дает важный класс линейных нормированных пространств.

§ 4. Гильбертовы пространства

Если X - линейное нормированное и одновременно эвклидово или унитарное пространство, а его норма именно эвклидова, то X называется предгильбертовым пространством. Если X банахово, т. е. полно по эвклидовой норме, то X называется гильбертовым пространством (в честь Гильберта, David Hilbert, 1862 - 1943, Германия)

.

Примеры

1. Eⁿ.

2. Сⁿ.

3. С_Е[a, b]- не гильбертово, т. к. неполно по ||x(0||_E.

В гильбертовых пространствах рассматриваются вопросы, связанные с ортогональностью и нормой. В частности, рассматриваются обобщенные ряды Фурье.

Пусть Ф - {a_k}_keI - ортогональная система элементов. Ф называется полной, если ее невозможно расширить как ортонормальную систему: $b Фв: b ёФ, b ±Ф . По ортогональной системе строится ряд Фурье для данного

элемента b из х: ^ a„a_n , где a_n - a_nb. Если "b e х этот ряд

n-1

сходится по эвклидовой норме к b , то система Ф называется замкнутой.

Это фактически означает, что Ф есть топологический базис (базис Шаудера) пространства х. Замкнутая ортонормальная система является полной. Обратное не всегда верно. По замкнутой или полной ортонормальной системе "be х, его обобщенный ряд Фурье определяется однозначно.

Пусть dim х - IC₀, Ф - { a_n }_neN - ортонормальна. "b e х

определим коэффициенты Фурье: a_n - a_nb.

Тогда ряд ^ а²_п сходится, причем ^ajj <||b||². Это

n-1 n-1

неравенство Бесселя. Если имеет место равенство, то оно называется равенством Парсеваля - Стеклова. Его выполнение является критерием замкнутости Ф. (М. А. Парсеваль, Parseval, 1755 - 1836, Франция; В. А. Стеклов, 1864 - 1926, Харьков). Выполняется также теорема Рисса - Фишера:

Если Ф - {a_n}_neN - ортонормальная система в гильбертовом пространстве и ^аЩ < +¥, то существует b e х: a_n - его

n-1

коэффициенты Фурье по Ф, т. е. a_n - ba_n, причем ^а²_п - ||b||².

n-1

Очень важен следующий результат:

Каждый линейный функционал в гильбертовом пространстве имеет вид l (x) - xa, a e х.

§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)

Пусть х с R, х Ф 0, х измеримо. Ранее мы обозначали множество всех суммируемых функций на х через L (х). Поскольку, как известно,

f (x), g(x)e L( х) ^ f (x)± я(x)e L( х),

If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное

пространство. Рассмотрим функционал V( f) - [L]J | f(x) | dx.

х

Далее считаем, что х - (a,b), a,be R.

Теорема 1

V ( f) есть норма на L ( х).

Доказательство

Проверим выполнение аксиом нормы. 1. Положительная определенность.

V( f) - [L] j| f (x) | dx> 0, т.к. | f (x) |> 0.

х

2. Отделимость. [L]J| f(x) | dx = 0 влечет, как известно,

X

f ~0, т. е. f есть нулевая функция (с точностью до эквивалентности). Обратно, если f ~0, то

[L]J| f(x)| dx = [L]J0dx =0.

XX

2. Абсолютная однородность.

V(1 f) = [ L]J 11 f( x) | dx =| 11 [ L] J | f( x) | dx =| 11 V( f) (по

XX

свойствам неотрицательных суммируемых функций).

2. Субаддитивность.

V(f + g) = [L]J| f(x) + g(x) | dx =[L]J(| f(x) | + | g(x) |)dx =

XX

= [L]J| f(x) | dx + [L]J| g(x) | dx =V( f) + V(g).

XX

Теорема доказана.

Полученную норму будем обозначать || f || или || f (x.

Наличие нормы позволяет рассматривать сходимость по этой норме. Она называется сходимостью в среднем (иногда добавляют: порядка 1). Можно рассматривать фундаментальные последовательности. Сходимость в среднем означает:

lim[ L]J fn (x)-f, (x )| dx = 0.

n®+¥ J

X

Фундаментальность:

"e > 0$n0(e): m, l > ^ ^ [L]J | f_m(x) - f (x) | dx < e.

X

Как и всюду в нормированных пространствах, X, из сходимости по норме следует фундаментальность.

Также L( X) является эвклидовым пространством. Теорема 2

Функционал j( f, g) = [/]j f(x)g(x)dx является

X

положительно определенным скалярным умножением на L ( X).

Доказательство

Проверим выполнение соответствующих аксиом.

1. Симметричность (коммутативность).

"f (x), g(x) e L(X), j(g, f) = [L] j g(x) f (x)dx =

X

[L]j f(x)g(x)dx = j( f, g).

X

2. Левая аддитивность. "f (x), h(x), g(x) e L( X),

j( f + h, g) = [L] j( f (x) + h(x))g(x)dx =

X

= [L] j ( f( x) g( x) + h( x) g( x))dx = (В силу 12° §6 главы 3)=

X

= [ L] j f( x) g( x)dx + [ L] j h(x) g( x)dx = j( f, g) + j(h, g).

XX

3. Левая однородность. "le R "f (x), g(x) e L( X),

j(1 f, g) = [ L] j (l f (x)) g( x)dx = [L] j 1( f (x) g( x))dx =

XX

= (В силу 10° §6 главы 3) = 1[L] j f(x)g(x)dx = 1j( f, g) .

X

4. Положительная определенность.

Пусть f (x) - ненулевая функция. В пространстве L ( X) это означает, что f (x) ~ 0. f ²(x) Ф 0 на множестве меры 0, тогда и f (x) Ф 0 на множестве меры 0, т. е. f (x) ~ 0, что невозможно.

Теорема доказана.

Итак, в L ( X), fg = [L]j f (x)g(x)dX - скалярное

X

произведение. Это дает возможность рассматривать ортогональность и связанные с ней вопросы.

Однако норма в L ( X) не эвклидова, т. е. L ( X) не является

гильбертовым пространством. Тем не менее выполняется неравенство Коши - Буняковского - Шварца:

^f [L] j f(x)g(x)dxl < [L] j f²(x)dx- [L]jg²(x)dx.

V X J X X

Непрерывные линейные функционалы в L (X) имеют вид l( f) = [L]j f(x)h(x)dx, где h(x) - измеримая и почти всюду

ограниченная на X функция. Топологически сопряженным к L ( X) является пространство M ( X) измеримых и почти всюду ограниченных на X функций. Это пространство также обозначается IT (X). Как и в любом нормированном пространстве, сходимость в среднем (по мере) влечет слабую сходимость.