2. Теоретическое исследование переходных процессов при зарядке и разрядке конденсатора в

«R – С» КОНТУРЕ

2.1. Расчёт общего вида зависимости от времени для напряжения на конденсаторе.

Данный расчёт выполняется для задания № 1, где предусмотрено достаточно медленное изменение токов и напряжений в контуре. Для этих условий применяются два правила Кирхгофа:

а)сумма токов в узлах контура равна нулю;

б)сумма падений напряжений в ветвях контура равна сумме ЭДС, действующих в контуре.

Эти правила позволяют получать дифференциальные уравнения, содержащие производные по времени от электрического заряда на кон­денсаторе. При этом первая производная определяет величину тока, протекающего в ветви с конденсатором.

В более общем случае правила Кирхгофа применяют также для рас­чёта контуров с индуктивностью, где появляется ЭДС индукции, пропорциональная производной по времени от величины тока, т.е. второй производной от электрического заряда.

Следовательно, на основе правил Кирхгофа могут получаться диф­ференциальные уравнения как первого, так и второго порядка. Решение таких уравнений представляет содержание классического метода иссле­дования переходных процессов в электрических контурах.

Примечание. Решение дифференциальных уравнений состоит, как известно, в их интегрировании. Классический метод позволяет полностью выполнить эту задачу при условии, что напряжение на входе контура постоянно либо изменяется по достаточно простому закону. Кроме того, параметры контура должны быть сосредоточенными и линей­ными. В некоторых случаях возможна нелинейность параметра, опреде­ляемая также достаточно простой зависимостью.

Рассмотрим схему (рис.1) электрической цепи, аналогичную той, которая применяется в задании № I.

Рис. 1.

Электрическая цепь состоит из двух контуров: O-В-Д-О₁ и В-М-М₁-Д. Схема предусматривает возможность зарядки конденсатора с ёмкостью С через резистор с сопротивлением R₁ при замкнутом ключе К от источника с известным напряжением U_вх, а также - разрядки конденсатора через резистор с сопротивлением R₂ при U_вх=0 после размыкания ключа К. На схеме изображён регистрирующий прибор - вольтметр, внутреннее сопротивление которого равно r _вн и учтено величиной R₂ .

Для получения общего вида зависимости от времени составим уравнения Кирхгофа для всей цепи, показанной на схеме рис.1. Обозначим заряд на конденсатореq , токи в ветвях конту­ров - и для узла в т. В (или т. Д) и для двух кон­туров запишем три уравнения:

(1)

Здесь первый контур О-В-Д-О₁ содержит источник, резистор R₁ и конденсатор C. Второй контур содержит резистор R₂ и конденсатор С.

Из уравнений (1) поучаем выражение для тока в ветви В-Д:

(2)

Запишем формулу (2) в виде:

, (3)

где . (3а)

Учтём, что , т.к. ток в ветвиВ-Д определяется как про­изводная по времени от величины заряда на обкладках конденсатора, и запишем (3) в виде дифференциального уравнения:

(4)

Уравнение (4) - это дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами (т.к. R , R₁ и С здесь постоян­ные), неоднородное (т.к. в правой части имеется не зависящая от q величина ).

Решением этого уравнения является функция , позволяющая найти зависимость от времени для напряжения на конден­саторе.

Для нахождения решения применим стандартный, известный из курса математики способ вариации произвольной постоянной. Вначале ищем ре­шение q₁ для соответствующего однородного уравнения.

Запишем уравнение для q₁:

(5)

Это уравнение легко решается методом разделения переменных. Разде­ляя в (5) переменные, получим:

(6)

Выполняем в (6) неопредёленное интегрирование:

, (7)

где - константа, определяемая начальными условиями.

Преобразуем (7) к виду:

(8)

Для = 0 получаем:, где- начальная величина заряда на обкладках конденсатора.

Решение однородного уравнения получаем в виде:

(9)

Общее решение для уравнения (4) будем находить, используя формулу (8), считая, что величина коэффициентаяв­ляется некоторой (пока неизвестной) функцией времени.

Принимая , запишем отыскиваемое решение в виде:

(10)

Выражение (10) и производную по времени, равную:

(11)

подставим в уравнение (4) и получим:

(12)

(13)

Разделяя в (13) переменные и вычисляя определённый интеграл (на интервале времени от 0 до ), получаем для величинывыражение:

(14)

Здесь при вычислении интеграла принято условие .

Теперь подставим результат (14) в (10) и запишем:

(15)

Окончательное решение неоднородного уравнения находим, учи­тывая, что :

(16)

Разделив в (16) на величину ёмкости С и учитывая, что и, получаем следующее выражение общего вида для зависимости напряжения на кон­денсаторе от времени:

(17)

Рассмотрим два варианта применения (17) для описания перехо­дных процессов при разрядке и зарядке конденсатора.

2.2. Зарядка конденсатора

Пусть начальное напряжение на конденсаторе =0 и на входе подано постоянное напряжение. При этом из (17) полу­чаем следующее выражение, описывающее процесс зарядки конденсатора:

(18)

Здесь: (см формулу (За)).

Если , то легко доказать (приме­няяправило Лопиталя), что в формуле (За) получается: .

Обозначая в этом случае (зарядное сопротивление),

запишем формулу (18) в виде:

(18а)

На практике, однако, следует пользоваться формулой типа (18), т.к.напряжение на конденсаторе измеряется постоянно подключённым в контур вольтметром с конечным внутренним сопротивлением , при этом. Например, для используемого в данной ра­боте вольтметра типа В7-38 величина=10,1 МОм, сопротивле­ниеR₁ , через которое заряжается конденсатор в опытах задания № I, равно R₁ (1÷2)МОм. Следовательно, условиездесь не выполняется.

Для измерений при включённом вольтметре с конечным внутренним сопротивлением формулу (16) полезно представить в виде:

, (19)

где .

При известной из опыта зависимости формулы типа (18), (19) можно использовать для определения некоторых не­известных параметров контура, например,R₁, R₂ или С. Следует также отметить, что согласно формуле (18) - при наличии включённого параллельно конденсатору ("шунтирующего") резистора с сопротивлением R₂ - максимальное напряжение на конденсаторе при его зарядке (при ) оказывается меньше, чем входное (зарядное) напряжение, и равно:

(20)

2.3. Разрядка конденсатора

Пусть и. При этом из (17) имеем сле­дующее выражение, описывающее процесс разрядки конденсатора:

(21)

В формуле (21) надо учесть, что после размыкания ключа К в схеме рис.1 имеем: . Следовательно (применяя правило Лопиталя), из (За) получим:R₁= R₂ .

Обозначая R₂ = R_разр (сопротивление разрядки), запишем (21) в виде:

(21а)

Сопротивление R_разр на практике может определяться либо величиной внутреннего сопротивления вольтметра, либо суммарным сопроти­влением вольтметра и добавочного резистора, подключаемого паралле­льно вольтметру.

Обозначая сопротивление добавочного резистора R₀₂, запишем

(22)

Из (22) получаем:

R₂ = R_разр = (22а)

Формулы (21), (22) можно использовать для определения величин R_разр или С, если из опыта известна зависимость от времени для напряжения на конденсаторе при его разрядке.

2.4. Заключение

Отметим, что произведение величин R и С имеет размер­ность времени - сек. В теории переходных процессов это произведение обозначается и называется временем релаксации для переходных процессов вR - С контуре при зарядке или разрядке конденсатора, соответственно.

Обозначая , запишем формулу (18а) для момента времени:

; _зар–не множитель! (23)

Из (23) получаем: , т.е. в момент времени разность между входным напряжением и напряжением на конденсаторе в "е" раз меньше входного напряжения.

Далее, обозначая , запишем формулу (21а) для момента времени

; _разр – не множитель! (24)

Согласно полученному выражению (24) напряжение на конденсаторе при его разрядке в момент времени уменьшилось в "е" раз по сравнению с начальным напряжением.

Отметим также основные результаты проведённого исследования:

1. Формулы (18) - (21а) описывают зависимости от времени нап­ряжения на конденсаторе:

- в процессе зарядки при постоянном входном напряжении и на­чальном напряжении на конденсаторе ;

- в процессе разрядки при некотором начальном напряжении на конденсаторе и отключённом входном напряжении.

2. Условия зарядки и разрядки конденсатора учитывают возможн­ость разных комбинаций включения резисторов, через которые проте­кают токи за время переходных процессов.

3. При известных (из опыта) зависимостях можно, ис­пользуя формулы (18) - (22а), определять величины неизвестных ёмко­сти конденсатора и сопротивлений резисторов.