Механика_Термодинамика_290311

40

7. Планета массой m движется по эллиптической

орбите, в одном из фокусов которой

находится звезда массой М. r – радиусвектор планеты (см. рисунок). Выберите правильное утверждение.

а) Величина момента импульса планеты относительно центра звезды не изменяется при движении планеты по орбите.

б) Величина момента силы тяготения, действующего на планету относительно центра звезды, изменяется при движении планеты по орбите и достигает максимума в точке наибольшего удаления планеты от звезды.

в) Вектор момента силы тяготения, действующей на планету (относительно центра звезды), направлен перпендикулярно плоскости орбиты планеты.

г) Величина момента силы тяготения, действующего на планету относительно центра звезды, изменяется при движении планеты по орбите и достигает максимума в точке наименьшего удаления планеты от звезды.

Ответ: а)

8. Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном из фоку-

сов которой находится звезда массой М.

r – радиус-вектор планеты (см. рисунок). Выберите правильное утверждение.

а) Величина момента силы тяготения, действующей на планету (относительно центра звезды), периодически изменяется при движении планеты по орбите.

б) В точке максимального удаления планеты от центра звезды скорость её движения максимальна.

в) В точке минимального удаления планеты от цен-

41

тра звезды величина момента импульса планеты относительно центра звезды достигает минимального значения, а потом снова начинает расти.

г) Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении планеты по орбите направлен перпендикулярно плоскости орбиты.

		Ответ: г)
9. Планета массой	движется
по эллиптической орбите, в одном из
фокусов которой находится		звезда
массой М. r – радиус-вектор плане-
ты, r1 = 4·108 км, r2 = 6·108 км,		V1 =

24 км/с (см. рисунок). Скорость планеты V2 в (км/с) в точке наибольшего удаления от звезды равна … .

а) 36 б) 24 в) 16 г) 19,6

Ответ: в)

42

6.МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

6.1.Понятие об энергии

6.2.Работа переменной силы

6.3.Потенциальная энергия материальной точки

6.4.Кинетическая энергия материальной точки

6.5.Потенциальные кривые

6.6.Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

6.7.Закон сохранения механической энергии материальной точки

6.8.Связь свойств пространства и времени с законами сохранения в механике

6.1. Известно, что различные формы движения материи превращаются друг в друга в строго определенных количественных соотношениях. Существование количественных соотношений между различными формами движения материи позволило ввести общую меру различных процессов и видов взаимодействия – энергию.

Силовое воздействие одних материальных тел на другие может осуществляться при непосредственном контакте (силы упругости, трения и т. п.) или на расстоянии (гравитационные, электростатические силы и пр.). Воздействие на расстоянии осуществляются посредством особой формы материи называемой физическим или силовым полем.

Существование материи невозможно без движения, поэтому энергия присуща любому материальному объекту, будь то вещество или поле. Энергия может переходить из одной формы в другую, но при этом увеличение ее количества в одной форме в точности компенсируется убылью в другой. Это общий закон природы – закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии есть проявление не-

43

уничтожимости материи и ее движения.

6.2. Пусть на тело действует переменная сила

F x, y,z,t . Элементарной работой силы называют ска-

лярное произведение вектора силы на вектор бесконечно малого перемещения точки приложения силы, т. е.

							(6.1)
			dA F		d r
или (рис. 7)			dA = F·dr·cos α.				(6.2)
Из (6.1) и (6.2) следует, что:
			dA > 0, если α < π/2
			dA < 0, если α > π/2
			dA = 0, если α = π/2.
Если учесть, что
			F Fx i Fy j Fz k
z			и d r dx i dy j dz k , то
			dA = Fx·dx + Fy·dy + Fz·dz.
		dr
			Работа на конечном перемещении (из
r
			точки 1 в точку 2) будет равна:
O	F	y	2			2	2
x			A F d r			F d r cos Fr d r.
			1L			1L	1L
Рис. 7
Примеры вычисления работы.
		а) Работа силы тяжести:

	y	1
			r	2
	h1			h2
	O	G d r

x

2					– h2 ) mg h.
A Gd r			mg	r mg( h1
1

Таким образом, работа силы тяжести зависит только от начального и конечного положения тела и не зависит от траекто-

Рис. 8 рии его движения.

44

б) Работа силы трения:

Рассмотрим случай, когда FТР const . Вектор силы трения всегда направлен в сторону, противоположную век-

2		2
тору перемещения, поэтому A FTP dr FТР dr . Так
1L		1L
		2
как FTP = const, то A = – FTP·ℓ12, где	12	dr – путь,
		1L

пройденный материальной точкой вдоль некоторой траектории L от точки 1 до точки 2. Таким образом, работа силы трения зависит не только от начального и конечного положения тела, но и от траектории его движения.

Силы, работа которых зависит только от координат начального и конечного положения тела и не зависит от траектории движения, называют консервативными.

Работа консервативной силы по замкнутой траектории равна нулю.

Из рассмотренных ранее сил сила упругости и сила тяжести являются консервативными. Сила трения – не консервативна.

6.3. Если в каждой точке некоторой области пространства на помещенное в неё тело действует сила, считают, что в этой области пространства существует силовое поле. Такие взаимодействия тел как, например, гравитационное и электромагнитное осуществляются через силовые поля. В классической механике полагают, что силовое воздействие передается полем мгновенно.

Если сила, действующая на материальную точку в силовом поле, зависит только от положения этой точки в пространстве и не зависит от времени, то такие силовые поля называют стационарными.

45

Среди стационарных полей выделим те, для которых элементарная работа сил поля зависит только от координат начальной и конечной точек переноса. Такие поля называют потенциальными.

В потенциальном силовом поле

dA = dП(x,y,z). (6.3)

где П(x,y,z) – некоторая функция, зависящая только от координат. Введем величину

dU = – dП(x,y,z)

и назовем ее потенциальной энергией. Тогда dA = – dU,

т.е. убыль потенциальной энергии равна работе консервативных сил.

Известно, что элементарная работа:

dA = Fxdx + Fydy + Fzdz,

с другой стороны, полный дифференциал потенциальной энергии равен:

dU U dx U dy U dz ,

x y z

следовательно,

F	U	,	F	U	,	F	U	.
x	x		y	y		z	z

Вектор, компоненты которого представляют собой частные производные некоторой скалярной функции, называют градиентом этой функции, то есть:

F grad U .

Геометрическое место точек силового поля, в которых потенциальная энергия имеет постоянное значение, называют эквипотенциальной поверхностью. Уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

U(x,y,z) = const.

При перемещении вдоль эквипотенциальной поверхности работа не совершается. Это означает, что в каждой точке силового поля вектор силы перпендикулярен эк-

		46
випотенциальной поверхности.
		Графически силовое поле
		может быть	изображено либо
	U3	системой	эквипотенциальных
		поверхностей, либо системой
	U2	ортогональных им силовых ли-
		ний (рис. 9).
		Силовая линия – это кривая,
	U1 касательная к каждой точке
Рис. 9		которой совпадает с линией дей-

ствия силы. Добавление к потенциальной энергии произвольной постоянной не изменяет значений Fx , Fy , Fz , по-

этому потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Это означает, что поверхность нулевого уровня может быть выбрана произвольно, исходя из удобства описания силового поля. Однако, после того как начало отсчета потенциальной энергии выбрано, она становится однозначной функцией координат.

Так как в потенциальном поле элементарная работа определяется полным дифференциалом от потенциальной энергии, то работа по перемещению материальной точки из положения 1 в положение 2 будет равна:

2
A12 dU U1 U2 ,	(6.5)
1

что и означает независимость работы сил потенциального поля от траектории точки и закона ее движения. Если точка будет перемещаться по замкнутому участку траектории, то работа сил потенциального поля будет равна, как это следует из выражения (6.5), нулю. Равенство нулю работы на замкнутом пути служит критерием потенциальности поля.

47

6.4. Пусть на материальную точку постоянной мас-

сы действует сила F . Тогда:

			m d v F .
					d t
	В результате почленного умножения на
								v d t d r
	имеем:
	mvd v F d r ,
	mv2
	d				F d r .
			2

Обозначим выражение, стоящее под знаком дифференциала, через K и назовем эту величину кинетической энергией. Тогда

dK = dA.

Тогда изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении ее на конечном отрезке траектории из положения 1 в положение 2 будет равно:

	mv2		mv2		2
	2		1			F d r A .
	2		2
							12
					1

Приращение значения кинетической энергии материальной точки равно работе всех сил, действующих на неё. Это утверждение называют теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки.

Сумму потенциальной и кинетической энергий материальной точки называют её полной механической энергией.

6.5. Рассмотрим материальную точку, которая может двигаться только вдоль оси Х. В этом случае потенциальная энергия будет функцией только одной переменной

(Х).

Кривую, определяющую зависимость потенциаль-

48

ной энергии от координаты материальной точки, называют

потенциальной кривой (рис. 10).

U				Вид потенциальной кривой
				определяет характер движения
				материальной точки. Матери-
Е				альная точка может находить-
				ся только в тех областях про-
I	II	III		странства, где потенциальная
x1	x2	x3	x	энергия не превосходит пол-
	Рис. 10			ную энергию E = K + U ≥ U,

поэтому граничные положения частицы определяются вы-

ражением:
U(х) = Е.	(6.4)
Точки, отвечающие условию (6.4), называют точка-

ми поворота (на рисунке это точки x1 , x2 , x3 ).

Пусть материальная точка обладает полной энергией E , значение которой показано на рисунке. Тогда в областях I и III точка может двигаться, в области II – нет. Причем движение в области I ограничено (точками x1 и x2 ).

Эту область называют потенциальной ямой. Область II, в которой при данном значении полной энергии материальная точка находиться не может, называют потенциаль-

ным барьером.

Рассмотрим положение материальной точки, в котором потенциальная энергия минимальна, тогда

F	dU х	0 .
x	dx

Это означает, что данное положение – это положение равновесия, причем устойчивого, так как если частица получит малое отклонение вправо (dx > 0), то dU > 0, и

Fx dUdx 0 , а если частица получит малое отклонение

49

влево (dx < 0), то dU > 0, и Fx dUdx 0 . Таким образом, при выводе частицы из состояния равновесия появляются силы, возвращающие её в это положение.

6.6. Будем рассматривать твердое тело как совокупность материальных точек массой mk. Кинетическая энергия материальной точки с номером k будет равна

m v2

Kk k k .

2

Если тело совершает только вращательное движение, то vk Rk , и кинетическая энергия тела будет равна:

		m v2		1	2	2
	K	k k				mk Rk	,
		2		2

где I mk Rk2 – это момент инерции тела относительно

оси вращения.

Тогда кинетическая энергия вращающегося твердого тела будет равна:

K I 2 2 .

Если тело совершает произвольное движение, то его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного его движения вокруг центра масс:

		mv2		I 2
	K	c		c	.
		2		2

6.7. Пусть материальная точка находится в потенциальном поле. Кроме консервативных сил этого поля на неё могут действовать и другие силы, которые называют сторонними. Изменение кинетической энергии равно рабо-