Механика_Термодинамика_290311

60

A.Физический маятник

Физическим маятником называют тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. В рассматриваемом случае ось z перпендикулярна к плоскости рисунка. Уравнение движения маятника имеет вид:

	z	y	2	Mz = Izε,	(7.2)
	l		где d	, M z mgl sin .
			dt2
C	d		При малых углах (α < 5°)
			sin α ≈ α, и уравнение (7.2) будет
	x		иметь вид:
mg				mgl I

или mglI 0 .

Решение полученного динамического уравнения представляет собой кинематическое уравнение гармонических колебаний с частотой

2 mgl

o I .

Период гармонических колебаний физического маятника будет тогда равен:

T	2	2	I	.
			mgl
	o

B.Математический маятник.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити.

Так как математический маятник есть частный случай физического, когда I m 2 , то

61

ml 2

I

l

T 2

2

2

.

g

mgl

mgl

Практически любую систему, совершающую малые свободные колебания в отсутствии сил трения, можно считать гармоническим осциллятором.

7.4. Гармонический осциллятор представляет собой консервативную механическую систему, поэтому его механическая энергия сохраняется. Докажем это:

E

K U

m x2

kx

2

.

2

2

k

Учитывая, что

x Acos t

o

,

2

и

o

o

m

x o A sin( ot o ) , имеем

E kA22 .

Энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний и с течением времени не меняется.

ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ 7

1. Уравнение движения пружинного маятника

	d 2 x		k	x 0	является дифференциальным уравнением …
	d t2		m

а) свободных незатухающих колебаний; б) свободных затухающих колебаний; в) вынужденных колебаний; г) нет правильного ответа

Ответ: а)

62

2. На рисунках изображены зависимости от времени коор-

1,2

м
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0							-3,5
- 0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4	-4
0,2							0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2

динаты и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону. Циклическая частота колеба-

ний точки равна … .

а) 3 с–1 б) 4 с–1 в) 2 с–1 г) 1 с–1

Ответ: в)

3. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и периодом Т = 2 с. Если смещение точки в момент времени, принятый за начальный, равно своему максимальному значению, то точка колеблется в соответствии с уравнением (в СИ) … .

а) x = 0,04·cos πt	б) x = 0,04·sin πt
в) x = 0,04·sin 2πt	г) x = 0,04·cos 2πt
	Ответ: а)

4. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А0. При разности фаз Δφ = 3π/2 амплитуда результирующего колебания равна … .

а) 2А0 б) 5А0/2 в) A0 2 г) 0

Ответ: в)

63

8. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВОЛНЫ

8.1.Затухающие колебания

8.2.Вынужденные колебания. Резонанс

8.3.Волны. Волновое уравнение

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, на преодоление которых затрачивается энергия колебательного движения, поэтому колебания затухают.

8.1. Колебания, амплитуда которых уменьшается со временем, называют затухающими.

Рассмотрим один из наиболее часто встречающихся на практике случаев, когда сила сопротивления пропорциональна скорости материальной точки

FC rv

или в случае движения вдоль оси х:

FC r x ,

где r – коэффициент сопротивления.

Второй закон Ньютона в данном случае запишем в

виде:

	m x		rx			kx .		(8.1)
Введем обозначения:
2		k		,	2		r	,
0		m					m

где β – коэффициент затухания.

Тогда уравнение (8.1) можно записать в виде:

x	2 x 2 x 0 .	(8.2)
	0

Уравнение (8.2) называют динамическим уравнением зату-

хающих колебаний.

			64
	Решение динамического уравнения затухающих ко-
лебаний имеет вид			cos t	,
		x A e t			(8.3)
		0	0
где		2 2 .
		0
	График затухающих колебаний представлен на рисунке.
x				В результате	затухающих
A0				колебаний система перехо-
				дит в равновесное состоя-
x0	A			ние. Процесс,	в результате
	1	A2		которого параметры, харак-
0			t	теризующие	физическую
				систему, переходят к своим
		T		равновесным	значениям,
				называют процессом релак-
	Рис. 14			сации.
Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьша-
ется в е раз, называют временем релаксации . Найдем
время релаксации затухающих колебаний:

A e t
0	e , откуда τ = 1/β.
A e t
0

Период затухающих колебаний:

2

T .

02 2

При увеличении коэффициента затухания β период возрастает и при β = ω0 стремится к бесконечности. Это означает, что движение материальной точки перестает быть периодическим: выведенная из положения равновесия она возвращается к исходному состоянию без колебаний.

Для характеристики затухающих колебаний вводит-

ся величина, называемая логарифмическим декрементом

65

затухания. По определению логарифмический декремент затухания равен:

	A( t )
ln	A( t T ) .	(8.4)

Подставив выражения для A( t ) и A( t T ) , получим

	A e t
ln	o	T .
	A e ( t T )
	o

Колебательная система характеризуется также величиной, называемой добротностью. Добротность – это величина, характеризующая относительную убыль энергии за период, и равная:

E t

Q 2 E t E t T .

При слабом затухании связь добротности с логарифмическим декрементом описывается выражением

Q ≈ π/λ.

8.2. Рассмотрим материальную точку, на которую кроме квазиупругой силы и силы сопротивления действует внешняя (вынуждающая) сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

F F0 cos t ,

тогда дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки запишется в виде:

x 2 x 2 x	Fo	cos t .	(8.5)
0	m

Рассмотрим движение, описанное уравнением (8.5), исходя из общих физических представлений. Пусть в начальный момент времени материальная точка покоится, находясь в положении равновесия. Приложение периодически изменяющейся силы приведет к раскачиванию материальной точки. Работа этой силы будет расходоваться на

66

сообщение кинетической энергии материальной точке и на преодоление силы сопротивления. Так как сила сопротивления пропорциональна скорости материальной точки, то увеличение кинетической энергии возможно только до некоторого предела. После этого наступает динамическое равновесие, когда работа внешней периодической силы полностью расходуется на преодоление сопротивления, а амплитуда колебаний остается постоянной. Начальному отрезку времени, когда наблюдается возрастание амплитуды, соответствует переходный режим колебаний. Далее, когда амплитуда колебаний перестает возрастать, наступает стационарный режим установившихся колебаний. Стационарный режим представляет собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Из-за инертности материальной точки, её колебания будут отставать по фазе от колебаний внешней силы:

x = A·cos (Ωt – φ). (8.6)

Уравнение (8.6) называют кинематическим уравнением вынужденных колебаний. Найдем амплитуду А и сдвиг фаз φ. Для этого (8.6) подставим в (8.5) и после преобразований получим:

A		F0	m	,	(8.7)

202 2 4 2 2

2arctg .

02 2

Зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой, определенной для данной системы частоте, амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой. Для нахождения резонансной частоты необходимо найти максимум выражения (8.7). В результате исследования функции А = f (Ω), получим:

67

1

0 ,

2,3

2 2 2 .

0

Первый корень соответствует постоянной внешней

силе, то есть отсутствию колебаний, отрицательный ко-

рень не имеет физического смысла, поэтому резонансная

частота определяется выражением:

РЕЗ

2 2 2 .

(8.8)

0

Зависимость

амплитуды

вынужденных

колебаний

A

от частоты при заданном ко-

эффициенте затухания назы-

вают

резонансной

кривой

0

или

амплитудно-частотной

характеристикой

(АЧХ). Из

1

рис.

15,

на

котором

пред-

2

ставлены

резонансные

кри-

3

A0

вые, видно, что чем меньше

, тем выше максимум дан-

0

ной кривой. При большом

3 2 1 0

коэффициенте

затухания

Рис. 15

2 2

02

выражение

для

резонансной частоты становится мнимым. При таком условии резонанс не наблюдается и с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает.

8.3. Волной называют процесс распространения в пространстве изменений (колебаний) какой-либо физи-

ческой величины. Волна, в которой изменения физической величины происходят вдоль направления распространения волны, называется продольной. Если изменяющаяся векторная величина перпендикулярна к направлению распространения волны, то волна называется поперечной. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называют фронтом волны. Фронт волны – это поверхность, которая отделяет часть простран-

68

ства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Расстояние между ближайшими точками пространства, в которых изменения (колебания) физической величины происходят в одинаковой фазе, называют длиной волны λ. Длина волны равна расстоянию, на которое волна распространяется за период колебания:

λ = v T; T 1 λν = v ;

					2
v				; k		,
			k
	2

где v – фазовая скорость, под которой понимают скорость перемещения в пространстве поверхности, соответствующей любому фиксированному значению фазы синусоидальной волны; k – это волновое число.

Геометрическое место точек, в которых колебания физической величины совпадают по фазе, называют волновой поверхностью. Если волновой фронт и волновые поверхности являются плоскостями, то волна называется плоской, если сферами, то волна – сферическая, если цилиндрами, то волна – цилиндрическая.

Уравнением волны (волновой функцией) называют выражение, которое позволяет определить значение из-

	в любой точке пространства и в
меняющейся величины u
любой момент времени:
		(x,y,z,t).
u u
Пусть ось x совпадает с направлением распростра-
нения плоской волны. Тогда
		u будет зависеть только от x
и t:
u	u (x,t).

Предположим, что колебания физической величины

	в плоскости x = 0 описываются выражением:
u
			·cos (ωt + φ).
	u	(0,t) = u0

69

Найдем уравнение колебаний величины u в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Для того, чтобы пройти путь от плоскости x = 0 до плоскости x = x, волне требуется время

vx ,

где v – скорость распространения волны. Следовательно,

в плоскости x = x бу-

колебания физической величины u

дут отставать по времени на τ от колебаний величины

в

u

плоскости x = 0, то есть будут иметь вид:

cos t

x

u

u

u cos

t

0

0

,

v

u0 cos t kx ,

где учтено, что v .

2 k

Таким образом, уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, имеет вид

u	u0 cos t kx .

Иногда, используя формулы Эйлера:

exp i cos i sin , exp i cos i sin ,

уравнение волны записывают в комплексном виде:

		exp i t kx .
u	x,t u
	0

Чтобы перейти от комплексной записи волнового уравнения к действительному значению, достаточно принять во внимание действительную часть комплексного выражения.

В случае гармонической плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, уравнение волны имеет вид:

u	r ,t u0 cos t kr ,