Механика_Термодинамика_290311

70

где k – волновой вектор, направленный вдоль вектора скорости волны.

Уравнение цилиндрической волны имеет вид:

		u
u	R,t		0	cos t kR ,
			R

а уравнение сферической волны:

		r,t	u	cos t kr .
	u		0
			r

Волны с одной фиксированной частотой и посто-

янной амплитудой u0 называют монохроматическими.

Получим дифференциальное уравнение, решение которого представляет собой уравнение плоской (но не гармонической) волны, для чего продифференцируем дважды по t и дважды по x волновую функцию вида u = f(ωt–k x):

u

t kx ;

u

t kx k ;

t f

x f

2u

2

2u

2

t kx ;

t kx k .

t2 f

x2 f

Штрих означает дифференцирование по аргументу

(ωt–kx).

Из сравнения выражений для вторых производных от волновой функции по времени и координате получаем, что

2u v2 2u ,t2 x2

где v – фазовая скорость. k

Полученное уравнение называют волновым. Его решение в общем виде можно записать как

u = f1(ωt – kx) + f2(ωt + kx),

где первое слагаемое описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x, а второе сла-

71

гаемое – волну, распространяющуюся в противоположном направлении.

В более общей форме волновое уравнение имеет

вид

1

2u

2u

2u

1 2u

2u

или u

,

x2

y2

z2

v2

t2

v2

t2

где

2

2

2

– оператор Лапласа.

x2

y2

z2

ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ 8

1. Уравнение

движения

пружинного

маятника

d 2 x

b dx

k

x 0 является дифференциальным уравне-

dt2

m dt

m

нием … .

а) вынужденных колебаний б) свободных затухающих колебаний

в) свободных незатухающих колебаний г) нет правильного ответа

										Ответ: б)
			2. Уравнение							движения пружинного маятника
	d 2 x		b dx				k		F
								x	0	cos t является дифференциальным
	dt2		m dt				m		m

уравнением … .

а) вынужденных колебаний б) свободных затухающих колебаний

в) свободных незатухающих колебаний г) нет правильного ответа

Ответ: а)

	72
3. На рисунке изображен график затухающих коле-
баний, где S – колеблющаяся вели-
		Сейчас не удает ся от образит ь рисунок .
чина, описываемая	уравнением
S(t)=A0e–βtsin(ω1t+φ).	Определите
коэффициент затухания β.
а) 0,5 б) 1	в) 2 г) 2,7

Ответ: а) 4. Уравнение плоской сину-

соидальной волны, распространяющейся вдоль оси OХ, имеет вид

ξ = 0,01sin(103t – 2x).

Период колебаний (в мс) равен … .

а) 6,28 б) 1 в) 2 г) нет правильного ответа

Ответ: а)

9.ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

9.1.Постулаты специальной теории относительности

9.2.Релятивистская кинематика

9.3.Основной закон релятивистской динамики

9.4.Энергия в специальной теории относительности

9.1.В механике Ньютона считалось, что пространство, понимаемое как "вместилище" тел, и время – "длительность событий", абсолютны, то есть не связаны друг с другом и не зависят от находящихся в пространстве тел и состояния их движения.

Одним из основных выводов специальной теории относительности (СТО) является утверждение о взаимосвязи пространства и времени.

СТО базируется на двух постулатах (А. Эйнштейн,

73

1905 г.):

1. Принцип относительности постулирует эквива-

лентность инерциальных систем отсчета относительно всех явлений природы, т.е. все законы природы и уравнения, их

	y			y				описывающие, не меняют-
								ся при переходе от одной
								инерциальной системы к
						vo		другой.
								2. Принцип постоян-
								ства скорости света:
	O			O		x, x
								скорость света в вакууме
z		z						одинакова (является инва-
								риантом) во всех инерци-

альных системах отсчета. Рис. 16 Эти постулаты подтверждаются результатами многочисленных опытов и наблюдений.

9.2. Если одна инерциальная система движется относительно другой со скоростью, сравнимой со скоростью света, то, как показал анализ экспериментальных данных, переход из одной из них в другую нельзя осуществить, применяя преобразования Галилея. Лоренцем были получены соотношения, связывающие между собой координаты материальной точки в различных инерциальных системах отсчета (рис. 16).

Выражения (9.1) называют прямыми, а выражения (9.2) обратными преобразованиями Лоренца.

Обычно вводят обозначение v02 c2 2 .

	74
		x v0t
x'
		1 v02 c2
	y' y

z' z

						v0
	t'			t x c2						.
			2				c	2
				1 v0
					x' v0t'
	x
					1 v02		c2
			y y'
или			z z'
							v0
	t		t' x' c2
			2				c	2
				1 v0

Следствия из преобразований Лоренца:

1.Релятивистское сокращение длины

(9.1)

(9.2)

x2 vo to

x1 vo to

x2 x1

o x2

x1

1 2

1 2

1 2

1 2

или

o

1 2 , то есть размеры тел,

измеренные в

системе отсчета, относительно которой тела движутся, в направлении движения сокращаются и тем сильнее, чем больше скорость движения.

2.Релятивистское замедление времени

x vo

x vo

t2 t1

t2

c2

t1

c2

o

.

1 2

1 2

1 2

75

Длительность события в системе, относительно которой событие движется ( ), всегда больше собственной длительности ( o ), т.е. длительности события в системе

отсчета, относительно которой событие покоится. Другими словами, движущиеся часы отстают по сравнению с часами, находящимися в покое.

Чтобы получить теорему сложения скоростей, справедливую при скоростях, сравнимых со скоростью света (релятивистская теорема сложения скоростей), необходимо продифференцировать выражения (9.1) и (9.2) и подставить их в следующие выражения:

v x

dx

,

v y

dy

,

vz

dz

dt

dt

dt

v x

dx

, v y

dy

, vz

dz

.

dt

dt

dt

Тогда будем иметь:

v

v

o

v y

1

2

vx

x

; vy

; vz

1

vo vx

1

vo vx

c2

c2

Рассмотрим два частных случая:

1. vo c и v x c , тогда

v x v'x v0

v y v' y

,

v z v'z

;

vz	1		2		.
1		vo vx
		c2

то есть при малых (по сравнению со скоростью света) скоростях релятивистская теорема сложения скоростей переходит в классическую теорему сложения скоростей, а преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Это означает, что специальная теория относительности включает классическую механику как частный случай.

76

2. vo v'x c , тогда v x c ,

то есть движение материальных объектов друг относительно друга со скоростями, большими скорости света, невозможно.

9.3.

имеет вид:

где p

В релятивистской динамике закон движения

d
				mv
									F ,		(9.3)
							1
dt			1		v2			2
					c2

m v

– релятивистский импульс.

1v2 c2

9.4.Чтобы получить релятивистское выражение для кинетической энергии, будем исходить из того, что работа, совершенная над телом, равна приращению его кинетической энергии:

dKкин dA

(9.4)

Умножим правую часть уравнения (9.3) на перемещение частицы dr , а левую часть – на равное dr про-

изведение vdt . В результате получим

	d
				mv
v								dt F dr .			(9.5)
	dt					v	2
			1
					c2

Правая часть в выражении (9.5) представляет собой элементарную работу, значит, в соответствии с (9.4), левая часть – это приращение кинетической энергии:

77

	d
				mv
dKкин v
					v2
	dt
			1 c 2

				mv
	dt v d
					v2
			1 c2

.

После преобразований этого выражения получим:

			mc2
dKкин d							.
				v2
			1 c2

Функции, дифференциалы которых равны друг другу, могут отличаться только на постоянную величину. Поэтому

		mc2
Kкин						const .
	1			v2
				c2

Кинетическая энергия должна обращаться в нуль вместе со скоростью частицы v. Отсюда следует, что кон-

станта должна быть равна mc2 и соответственно

mc2

1

2

2

Kкин

mc

mc

1

. (9.6)

v2

v2

1 c2

1 c2

Т.к.

при

v c

справедливо

соотношение

1

1

v2

, то при малых скоростях выражение

v2

2c2

1

c2

(9.6) переходит в известную из классической механики

78

формулу Kкин mv2 . 2

Полная энергия свободной частицы определяется выражением

	E		mc2				(9.7)
			1	v2
				c2
	При v→ 0 выражение (9.7) приобретает вид
	E mc2						(9.8)
	o

Энергию Eo называют энергией покоя. Она пред-

ставляет собой внутреннюю энергию частицы. Из (9.8)

следует, что всякое изменение массы частицы m сопровождается изменением энергии покоя Eo , причем

эти изменения пропорциональны друг другу:

Eo c2 m .

Закон взаимосвязи массы и энергии

В энергию покоя (9.8) и в полную энергию (9.7) не входит потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле. В отличие от классической механики, в которой под полной энергией понималась сумма кинетической и потенциальной энергии, в СТО под полной энергией понимается сумма кинетической энергии и энергии покоя частицы.

Из сопоставления формулы (9.7) с выражением для

			mv
	релятивистского импульса P						следует, что им-
			1		v2
					c2

пульс и полная энергия частицы связаны соотношением

E m2c4 P2c2 cm2c2 P2 .

79

ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ 9

1. Космический корабль с космонавтом Х летит со скоростью V = 0,8c (c – скорость света в вакууме) мимо наблюдателя Y на неподвижной плане-

те. Космонавт Х медленно поворачивает параллелепипед размером 3м × 2м × 1м из положения «1», при котором длинное ребро параллелепипеда парал-

лельно направлению движения корабля, в положение «2», при котором направлению движения параллельно короткое ребро параллелепипеда. Тогда объем параллелепипеда с точки зрения неподвижного наблюдателя Y … .

а) увеличится в 1,67 раз; б) уменьшится в 1,67 раз; в) равен 6,0 м3 при любой ориентации изображен-

ного на рис. сечения параллелепипеда; г) равен 3,6 м3 при любой ориентации изображен-

ного на рис. сечения параллелепипеда.

Ответ: г) 2. На борту космического корабля нанесена эм-

блема в	виде геометрической		A
фигуры. Из-за релятивистского
сокращения длины эта фигура
изменяет свою форму. Как она
будет выглядеть для непо-
движного	наблюдателя, если	B	C

корабль движется в направлении, указанном на рисунке стрелкой, со скоростью, срав-

нимой со скоростью света?
1) А 2) В 3) С	4) нет правильного ответа
	Ответ: 1)