3.10. Идеальное дифференцирующее звено

Звено описывается уравнением

(3.74)

или в операторной форме

. (3.75)

Передаточная функция

. (3.76)

Примеры идеальных дифференцирующих звеньев изображены на рис. 3.25. Единственным идеальным дифференцирующим звеном, которое точно описывается уравнением (3.74), является тахогенератор постоянного тока (рис. 3.25, а), если в качестве входной величины рассматривать угол поворота его ротора, а в качестве выходной – напряжение якоря U. Приближенно в качестве идеального дифференцирующего звена может рассматриваться операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 3.25,б).

Рис. 3.25. Идеальные дифференцирующие звенья

Рис. 3.26. Переходная функция идеального дифференцирующего звена

Переходная функция звена при х₁= 1(t);A(t) = k 1’(t) = k (t) представляет собой импульсную функцию, площадь которой равнаk(рис. 3.26). Функция веса представляет собой импульсную функцию второго порядка.

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны

w(j) = kj;(3.77)

A() = k;  = +90⁰при > 0;    = -90⁰при < 0. (3.78)

Частотные характеристики изображены на рис. 3.27.

Из амплитудной характеристики видно, что звено пропускает сигнал тем сильнее, чем выше его частота. Это свойство является в автоматических системах часто нежелательным, так как звено может в значительной степени повышать уровень действующих в системе помех, которые, как правило, являются высокочастотными.

Рис. 3.27. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) идеального дифференцирующего звена

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с положительным направлением оси мнимых.

ЛАХ строится по выражению

. (3.79)

Нетрудно видеть, что ЛАХ представляет собой прямую с положительным наклоном 20 дБ/дек (рис. 3.28). Эта прямая пересекает ось нуля децибел при частоте среза .

Рис. 3.28. ЛАХ и ЛФХ идеального дифференцирующего звена

ЛФХ представляет собой прямую линию = +90⁰, параллельную оси частот.

3.11. Реальное дифференцирующее звено

Звено описывается уравнением

. (3.80)

Передаточная функция звена

. (3.81)

Звено условно можно представить в виде двух включенных последовательно звеньев – идеального дифференцирующего звена и апериодического звена первого порядка.

На рис. 3.29 изображены примеры реальных дифференцирующих звеньев: дифференцирующая RC-цепь (рис. 3.29, а), RL-цепь (рис. 3.29,б) и дифференцирующий трансформатор (рис. 3.29,в).

Рис. 3.29. Реальные дифференцирующие звенья

Переходная функция определяется решением (3.80) при х₁ = 1(t) и нулевых начальных условиях

. (3.82)

Функция веса

. (3.83)

Временные характеристики изображены на рис. 3.30. Там же показаны построения, позволяющие по экспериментальным характеристикам определять параметры звена.

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны:

; (3.84)

(3.85)

Рис. 3.30. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) реального дифференцирующего звена

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики звена изображены на рис. 3.31.

Рис. 3.31. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) реального дифференцирующего звена

Амплитудная характеристика реального звена отличается от амплитудной характеристики идеального дифференцирующего звена (показана пунктиром). Характеристики совпадают в области низких частот. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное звено. Коэффициент передачи стремится к значению k / T при . Для звеньев, представляющих собой RC- или RL-цепь (см. рис. 3.29), коэффициент k / T = 1, и на высоких частотах коэффициент передачи стремится к единице.

Это означает, что в дифференцирующей RC-цепи конденсатор имеет сопротивление, стремящееся к нулю, а в дифференцирующей RL-цепи индуктивность имеет сопротивление, стремящееся к бесконечности. И в том, и в другом случаях напряжение на выходе будет равно напряжению на входе.

Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю при . Здесь также видно, что реальное звено ведет себя подобно идеальному только в области низких частот.

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот представляет собой полуокружность с диаметром, равным k/T. На полуокружности нанесены характерные точки:. Дополнив эту полуокружность её зеркальным изображением относительно вещественной оси, получим полную амплитудно-фазовую характеристику для всех частот, лежащих в пределах.

ЛАХ строится по выражению

. (3.86)

Для построения асимптотической ЛАХ (рис. 3.32) проведем вертикальную линию при сопрягающей частоте .

Рис. 3.32. ЛАХ и ЛФХ реального дифференцирующего звена

Левее этой линии, то есть при , можно воспользоваться приближенным выражением. Этому выражению соответствует прямая линия с положительным наклоном 20 дБ/дек (прямая а–b). Она может быть построена, например, по частоте среза.

Для частот можно пользоваться приближенным выражением. Этому выражению соответствует прямая, параллельная оси частот (b– с). Действительная ЛАХ отличается от асимптотической в точке излома «b» на величину 3 дБ.

На рис. 3.32 показана асимптотическая ЛАХ для случая k = 1 (ломаная прямая d–e–f).

ЛФХ строится по второму уравнению системы (3.85). Для этого сначала строится первое слагаемое ₁= +90⁰, а затем второе₂= –аrctg ωТ. Результирующая ЛФХ показана сплошной линией. Прифазовый сдвиг равен +45⁰.