38

ГЛАВА 4 Применение переходных процессов для формирования сигналов

4.1. Пассивные дифференцирующие цепи

Линейные пассивные четырёхполюсники при определённых условиях могут использоваться для получения сигналов требуемой формы.

Наиболее широкое применение получили четырёхполюсники, называемые д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и м и и и н т е г р и р у ю щ и м и ц е п я м и. У первых напряжение на выходе приблизительно пропорционально производной, у вторых - интегралу от входного напряжения.

Простейшие дифференцирующие цепи изображены на рис. 4.1, а и 4.1 б.

i			i(t)	R
	C	u вых( t )	uвх (t )	L u вых( t )
uвх (t )	R

а

Рис. 4.1

б

Передаточная функция цепи (рис. 4.1 а)

K ( p) =

Uвых( p)

=

R

=

pRC

=

pτ

,

(4.1)

Uвх( p)

1

1

+ pRC

1+ pτ

где τ = RC.

R +

pC

Для цепи на рис. 4.1 б

L

Uвых ( p)

pL

p

pτ

K ( p)

=

=

=

R

=

,

(4.2)

Uвх ( p)

R

+ pL

L

1 + pτ

1 + p

L

R

где τ =

.

R

Изображение напряжения на выходе обеих схем

U вых ( p) = K ( p)Uвх ( p) =

pτ

Uвх ( p).

(4.3)

1

+ pτ

Четырёхполюсник с передаточной функцией (4.1) и (4.2) не является дифференцирующим звеном, однако при выполнении условия

39
	pτ			<<1		(4.4)
Uвых( p) ≈ pτUвх( p),						(4.5)
и в соответствии с теоремой дифференцирования (2.11),
uвых(t) ≈τ		duвх(t)			,	(4.6)
				dt
т.е. цепи на рис. 4.1 и 4.2 будут практически дифференцирующими.
Точность дифференцирования зависит от степени выполнения неравенства
(4.4) или при p = jω неравенства
ωвτ <<1.						(4.7)
Она тем выше, чем меньше постоянная времени цепи τ ( RC							L
						или		) и чем ниже
							R

ωв - верхняя частота спектра входного сигнала. Выходное напряжение uвых(t) , как следует из выражения (4.6), снижается пропорционально уменьшению τ.

В другом предельном случае при pτ >>1 (ωнτ >>1) напряжение на

выходе цепей рис. (4.1) и (4.2) мало отличается от входного. Такие цепи называют р а з д е л и т е л ь н ы м и .

При исследовании переходных процессов в цепях при воздействии импульсных сигналов удобно верхнюю граничную частоту спектра выразить

через длительность входного импульса tu .

Теоретически спектр импульса любой формы является бесконечным, однако на практике его ограничивают диапазоном частот, в пределах которого сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Так, спектр прямоугольного

импульса ограничивают частотой ωв = 2π , при этом в полосе частот от 0 до ωв tи

заключено 90,2% его энергии [7]. Примерно такую же ширину спектра имеет другой импульс со скачком – экспоненциальный. У импульсов плавной формы (синусоидальной, треугольной) спектр несколько меньшей протяжённости, однако для ориентировочных оценок граничную частоту спектров импульсов любой формы обычно принимают равной (с запасом)

		ω =	2π				(4.8)
			tи
		в			1
	или	fв[Гц] =				.	(4.9)
					tи

Таким образом, с учётом формулы (4.8) условие точного дифференцирования ωвτ <<1 примет вид

40

	2π	τ <<1 или	τ	<<	1	≈ 0,16.	(4.10)
					2π
	tи		tи

Формула (4.10) применима для периодической последовательности прямоугольных импульсов, а также для сигналов амплитудно-импульсной модуляции (АИМ), так как ширина их спектра определяется только длительностью импульсов tи.

Теоретически постоянная времени цепи τ может быть выбрана сколь угодно малой, однако в реальных схемах величина τ ограничена снизу внутренним сопротивлением источника входного сигнала Ri и паразитной ёмкостью нагрузки

Cн , шунтирующий выход цепи; Ri и Cн необходимо учитывать при выборе параметров дифференцирующей RC и RL-цепи (рис. 4.1 а, б) [5].

Пример 4.1

На вход цепи (рис. 4.1 а) подаётся сигнал в виде одиночного прямоугольного импульса (рис. 4.2 а).

Построить временные диаграммы выходного напряжения для различных

отношений τ к длительности tи входного импульса.

В примере 3.5 рассчитан ток в цепи. Выражения для выходного напряжения в схеме (рис. 4.1 а) имеют вид

при 0 ≤t <tи, τ = RC

uвых = Ri =Ue

− t

τ .

(4.11)

При tи ≤ t < ∞

tи

−

t

uвых = Ri = −U (eτ −1)e

τ

.

(4.12)

На рис. 4.2 а-е по формулам (4.11) и (4.12) построены кривые uвых(t) для

τ

∞

значений tи , равных: а)

; б)10; в)1,0; г)0,3; д)0,05; е)0.

Формулы ( 4.11) и (4.12) и графики uвых(t) справедливы также для

RL-цепи (рис. 4.1 б) при τ = RL .

Временные диаграммы (рис. 4.2) наглядно показывают преобразование

формы сигнала на выходе цепи во всем диапазоне изменения отношения τ от tи

0 до ∞.

При	τ >>1 (рис. 4.2 б) цепь является разделительной; её назначение–
	tи

пропускать сигнал без существенных переходных искажений.

41

При

τ << 0,16

(рис.

4.2

д)

RC(RL)

-

цепь

приближается

к

tи

τ

, тем короче экспоненциальные

дифференцирующей. Чем меньше отношение tи

импульсы на выходе цепи в моменты скачков входного напряжения. Результат

идеального дифференцирования прямоугольного импульса в виде двух дельта-

функций δ(t) показан на рис. 4.2 е.

u вх = u вых

U

τ

= ∞

t

и

a

0

tи

t

u

вых

U

∆U = 0,1U

τ

= 10

t

б

0

и

tи

t

uвых

U

τ =1,0

t

в

и

0

tи

t

uвых

U

τ

= 0,3

t

г

0

и

tи

t

uвых

U

τ

uвых = duвх

0,5U

tиа

= 0,05;

tи

dt

д

0

tи

t

uвых

τ

= 0

t

Uδ(t)

tи

и

е

0

t

−Uδ(t −tи )

Рис. 4.2

42

Пример 4.2

На входе цепи (рис. 4.1 а, б) действует экспоненциальный импульс

напряжения u (t) =Ue−αt ,t ≥0. Построить кривую напряжения на выходе при

вх

соблюдении условия дифференцирования.

В примере 3.6 получено выражение uвых(t) (3.18)

для RL-контура

(рис.

4.1 б); uвых (t) для RC-цепи (рис. 4.1 а) будет идентичным формуле (3.18).

uвых (t) =

αU

e−α t −

βU

e−β t ,

(4.13)

α − β

α − β

где β – коэффициент затухания цепи; β

=

1

β =

R

RC (рис. 4.1 а);

L

(рис. 4.1 б).

Производная входного напряжения

duвх

= −αUe−α t .

(4.14)

dτ

Для того чтобы из формулы (4.13) получить её приближённое выражение (4.14)

необходимо выполнить условие β >>α .

Для построения графика переходного процесса положим β =5α, тогда

uвых(t) =

αU

e−α t

− 5αU

e−β t = −0,25Ue−α t +1,25Ue−β t .

α −5α

α −5α

uвых(t)

1,25U

1,0U

0,75U

1, 25Ue−βt

0,5U

u

= 1,25Ue−βt − 0, 25Ue −α t

вых

0,25U

0

1/β

3 /β

1/α

t

2 /β

− 0,25U

участок

− 0, 25Ue −α t

u

вых

=

duвх

dt

ошибок

Рис. 4.3

43

Из графика рис. 4.3 видно, что через время 3τ = β3 в цепи устанавливается

принуждённый режим и uвых (t) достаточно точно воспроизводит производную входного сигнала. Сокращение участка ошибок может быть достигнуто за счёт

уменьшения постоянной времени τ = β1 . При этом, как следует из выражения

(4.13), уменьшается уровень выходного сигнала.

Пример 4.3

На рис. 4.4 в качестве дифференцирующего трансформатора используется широкополосный (высокочастотный) импульсный трансформатор ИТ, применяемый для трансформации и формирования импульсов различной формы

с tи до 0,1 мкс.

i1(t)		R1		M				R2
uвх (t )									u		( t )
		L1				L2				вых

ИТ

Рис. 4.4

Если пренебречь током во вторичной обмотке (и её постоянной времени

τ2 = L2 ), то

R2

uвых ( p) = M

di1

Uвых ( p) = pMI1 ( p);

I1 ( p) =

Uвх ( p)

;

dt

R + pL1

Uвых ( p)

pM Uвх ( p)

p

M

p

M

K ( p) =

=

=

R

=

R

,

U ( p)

(R + pL )U

( p)

1+ pτ

1

L1

вх

1

вх

+ p

R

1

где K( p) – передаточная функция апериодического звена.

44
При		pτ1		<<1 (ωвτ1 <<1) получаем	передаточную функцию
дифференцирующего трансформатора K ДТ ( p) = p					M	.
					R

Если pτ1 >>1 (ωнτ1 >>1) , то имеем идеальный импульсный трансформатор с передаточной функцией KИТ ( p) = ML .

Обратимся к области применения четырехполюсников, приведенных на рис. 4.1 и 4.4.

Дифференцирующие цепи, отвечающие условию ( 4.7) (ωвτ1 <<1) , обычно

используют для получения коротких импульсов с крутыми фронтами, а не для аналогового дифференцирования в установившемся режиме. Они работают в режиме наибольших переходных искажений, поэтому более точное название таких цепей укорачивающие (о б о с т р я ю - щ и е), а в импульсной технике – у с к о р я ю щ и е (ф о р с и р у ю щ и е) цепи.

Длительность выходного импульса tи , обычно отсчитываемая на уровне 0,5

U , называется а к т и в н о й ( tиa на рис. 4.2 д). Для экспоненциального импульса

−tиа
Ue τ = 0,5U , откуда tua ≈ 0,7τ.	(4.15)

Разделительные цепи, удовлетворяющие неравенству ωнτ >>1, где ωн -

нижняя частота спектра входного сигнала, предназначены для передачи сигналов через четырёхполюсник с допустимыми переходными искажениями.

Цепь на рис. 4.1 а используется для разделения переменной и постоянной составляющих сигнала, например в цепях межкаскадной связи в усилителях переменного тока. Импульсный трансформатор на рис. 4.4 применяется в качестве согласующего; для изменения полярности импульсов; обеспечивает гальваническую развязку входной и выходной цепей и т. д.

Переходные искажения разделительных четырёхполюсников характеризуются относительным спадом вершины импульса ( ∆):

		∆ =	U −uвых (tи )	=1−e−tиτ .	(4.16)
	−tи		U
Разложив e		τ в степенной ряд (1.23) и ограничившись двумя членами
этого ряда, что справедливо для малых ∆ ( ∆ ≤ 0,1),					получим приближённую
формулу для ∆ при t = tи