45

∆ =

tи

.

(4.17)

τ

В примере 4.1 на рис. 4.2 б показан спад вершины импульса для случая

τ

=10 (

tи

= 0,1). При

этом

∆ =

tи

= 0,1(10%), ∆U = ∆ U = 0,1U

и

tи

τ

τ

погрешность формулы (4.16) составляет 5%.

Для сигнала на рис. 4.2 в

tи

=1 формула (4.17) не пригодна:

τ

uвых(tи ) =Ue

−

tи

=Ue−1 = 0,368U;

τ

−

tи

) = 0,632U; ∆ = 0,63(63%) .

∆U =U (1−e

τ

Сравнивая RC-цепь с RL-цепью (рис. 4.1 а, б), отметим, что конструкция и настройка первой схемы при её реализации проще, чем схемы с индуктивной катушкой, и RC-цепь имеет преимущественное применение. Тем не менее можно привести ряд примеров использования дифференцирующей RL-цепи. Так, в импульсных усилителях применяется простая и эффективная ВЧ индуктивная коррекция, расширяющая полосу пропускания усилительного каскада в области верхних частот и уменьшающая искажения фронта импульса [8]. В импульсной технике находят применение дифференцирующие трансформаторы (пример 4.3).

4.2. Пассивные интегрирующие цепи

Четырёхполюсники на рис. 4.5 а, б при определенных условиях осуществляют приближенное интегрирование сигналов.

i	R		i
uвх(t )				L	u вых(t)
	C	u вых(t)	u вх ( t )	R
	а		Рис. 4.5		б

Передаточная функция цепи рис. 4.5 а

46

1

Uвых ( p)

pC

1

1

K( p) =

=

=

=

,

(4.18)

Uвх ( p)

1

1+ pRC

1+ pτ

R +

где τ = RC.

pC

Для цепи на рис. 4.5 б

K( p) =

Uвых ( p)

R

1

1

=

=

=

,

(4.19)

Uвх ( p)

R + pL

L

1

+ pτ

1+ p R

где τ = RL .

Изображение напряжения на выходе схем рис. 4.5

	Uвых ( p) = K( p)Uвх ( p) =			1	Uвх ( p).	(4.20)
		1		+ pτ

Четырёхполюсник с передаточной функцией (4.18) и (4.19) называется апериодическим звеном.

	При выполнении условия
		pτ		>>1							(4.21)
	Uвых ( p) ≈					Uвх ( p)		,			(4.22)
						pτ
	и в соответствии с выражением (2.12) (теорема интегрирования)
				1 t
	uвых (t) ≈					∫uвх (t)dt.					(4.23)
			τ 0
	Точность интегрирования зависит от выполнения неравенства (4.21) или, при
	замене p на jω , условия
	ωнτ >>1,										(4.24)
	где τ = RC (рис. 4.5 а)		или τ =				L			(рис. 4.5 б) - постоянная времени; ωн–
							R
	нижняя граничная частота спектра входного сигнала. Выходное										напряжение
	(4.23) уменьшается с увеличением τ .

При интегрировании импульсов условие (4.24) эквивалентно неравенству

τ >> tи.	(4.25)
Если условия (4.24) и (4.25) не выполняются, то цепи (рис.	4.4) становятся
разделительными (переходными).
Пример 4.4

47

Построить кривые напряжения на выходе цепей (рис. 4.5 а, б) при действии

τ

на входе одиночного прямоугольного импульса для различных tи .

Для цепей (рис. 4.5 а, б) выражения uвых (t), рассчитанные в примере 3.5, будут одинаковыми:

uвых (t) =U (1−e			− t		τ ) при 0 ≤ t < tи;				(4.26)
tи		−1)e		−		t	τ при tи	≤ t < ∞.
uвых (t) =U (e	τ								(4.27)

Временные диаграммы, построенные по формулам (4.26) и (4.27), приведены на рис. 4.6 а-е.

При идеальном интегрировании в соответствии с формулой (4.23)

1 t

t

tu

uвых(t) =

∫uвхdt =U

при 0 ≤ t < tи

и

uвых (t) =U m

при t

> tи

τ

τ

τ

0

(рис. 4.6 е).

На выходе реальной цепи uвых(t) нарастает по экспоненте (4.26)

(рис. 4.6

б, в).

Представив экспоненту в виде ряда Маклорена (1.23), получим

uвых (t) =U[1−1+

t

1 t

2

1 t

3

−

+

+...].

(4.28)

τ

τ

t

2!

3!

τ

При малых

τ

2

uвых

(t)

≈U[

t

1

t

−

].

(4.29)

2

τ

τ

Первое слагаемое в выражении (4.29) дает uвых(t) при идеальном интегрировании, второе – погрешность интегрирования, которая достигает наибольшего значения при t = tu :

∆ =	U	t		u		2
					.		(4.30)
	2
			τ

Относительная погрешность при этом

δ =	∆			=	tu	.	(4.31)
		tu
	U				2τ
		τ

			48
Например, при	τ	=10 (рис. 4.6 д)	δ = 0,05(5%); выходное напряжение в
	tu

момент окончания импульса, согласно выражению (4.29), в 10 раз меньше входного напряжения

uвых(t) ≈U tτu = 0,1U.

После окончания входного импульса uвых(t) , в соответствии с выражением (4.27), затухает по экспоненте до уровня 0,05uвых(tu ) за время, равное 3τ .

При выполнении неравенства	ω τ <<1	(или τ <<1) цепь является
	в	tu

разделительной (рис. 4.6 б). В этом случае переходные искажения выходного импульса оценивают по времени нарастания (установления) фронта tф от уровня

0,1U до 0,9U и времени спада (среза) импульса tc от уровня 0,9U до уровня

0,1U (рис. 4.6 б).

Вычислим tф и tc :

uвых(t0,9 ) =U (1−e			−t0,9		τ ) = 0,9U ;		(4.32)
uвых (t0,1 ) =U (1−e				−t0,1		τ ) = 0,1U .	(4.33)
Из выражений (4.32) и (4.33) найдём
e−t0,9 τ		= 0,1; t0,9		=τ ln10;
e−t0,1τ		= 0,9; t0,1	=τ ln10 ;
						9
tф = tc	= t0,9 −t0,1 =τ ln9 ≈ 2,2τ.						(4.34)
Таким образом,	tф и tc зависят только от τ ( RC или						L	) - постоянной
							R

времени цепи.

Простейшие интегрирующие цепи выполняют разнообразные функции. С частотной точки зрения RC и RL - четырёхполюсники (рис. 4.4) - это фильтры нижних частот: они подавляют высокочастотные составляющие спектра входного сигнала и пропускают составляющие низких частот. Такие схемы применяют, например, для уменьшения воздействия импульсных помех, для сглаживания пульсаций напряжения на выходе выпрямителей переменного тока в постоянный и т.п.

				49
uвых=uвх		U
						τ		= 0
						t
							и
a	0			tи					t
uвых
	0,9U
				U		τ	= 0,1
						t
б	0,1U					и
	uвых0	tф		t		τ			t
	U			c			= 0,3
						t
						и
в	uвых0			tи	τ	τ		= 1,0	t
0, 632U						tи
г	0			tи	=τ			2τ	t
						τ
	uвых					tи		= 10
д	0,1U
	0		t	tи					t
		uвых= τ1
			∫ uвх dt			tи
			0
е						U τ
	0			tи					t
				Рис.4.6

50

С помощью интегрирующей цепи можно преобразовать сигналы, отличающиеся по длительности, в сигналы, отличающиеся по амплитуде (рис. 4.7).

uuвыхвх	uвх
	uвых
0	t

Рис.4.7

Сочетание интегрирующих RC - цепей с диодами и активными элементами (транзисторами и операционными усилителями) значительно расширяет возможности их использования в схемах фильтров, детекторов, генераторов, в схемах НЧ коррекции и в других устройствах [5].

4.3. Применение операционных усилителей для повышения точности дифференцирования и интегрирования

Операционным усилителем (ОУ) называют усилитель постоянного тока прямого усиления, выполненный в виде интегральной микросхемы, который по

своим характеристикам приближается к идеальному усилителю.
Современные	ОУ	имеют	высокий		коэффициент	усиления
(KU 0 ≈105 ÷107 ) , широкую полосу частот ( f1				до 500 МГц), высокое входное
сопротивление (R	≈106 ÷1010 Ом) , малое выходное сопротивление ( R ≈
вх						вых
десятки омов) [5].					Rвых → 0 ) дают основание
Такие параметры ОУ ( KU 0 → ∞, Rвх →∞,

считать его идеальным с достаточной точностью при анализе многих схем. Условное обозначение ОУ показано на рис. 4.8 а.

f1 - частота единичного усиления, на которой модуль коэффициента усиления ОУ равен единице (0 дБ).

51

		IОС ( p)
	Iвх( p)	Z2( p)
uвх1	Z1( p)	а
uвых	Uа( p)
uвх2	Uвх(p)	Uвых(p)

а

б

Рис. 4.8

Знаком “ o”обозначен и н в е р т и р у ю щ и й вход ОУ. Сигнал, поданный на этот вход (uвх1), и сигнал на выходе ОУ (uвых ) находятся в противофазе.

Сигнал uвх2 на неинвертирующем входе и uвых совпадают по фазе.

На рис. 4.8 б приведена схема ОУ, в которой с помощью сопротивления Z2 ( p) введена отрицательная обратная связь(ОС) по напряжению.

Найдём передаточную функцию K ( p) четырёхполюсника при условии, что ОУ -

идеальный ( Rвх = ∞; KUОУ →∞).

Из схемы на рис. 4.8 б следует

Uвх ( p) −Ua ( p)

U

вх

( p) = Z ( p)I

вх

( p) +U

а

( p),

Iвх ( p) =

;

1

Z1 ( p)

U a ( p) = Z2 ( p)IОС ( p) +Uвых ( p), IОС( p) =

Uа( p) −Uвых( p)

.

При Rвх = ∞

Iвх ( p) = IОС ( p),

Z2 ( p)

Uвх ( p) −U a ( p)

=

Uа ( p) −Uвых ( p)

.

Z1 ( p)

Uвых ( p)

Z2 ( p)

ПолагаяKUОУ → ∞,

Uа ( p) =

≈ 0,

KUOC

Uвх ( p)

= −

Uвых ( p)

,

Z1 ( p)

Z2 ( p)

52

K( p) = Uвых( p) = − Z2 ( p) .

Uвх ( p) Z1 ( p)

(4.35)

Таким образом, передаточная функция ОУ, охваченного отрицательной ОС, при большом значенииKUОУ определяется только сопротивлениями внешней

цепи Z1 ( p) и Z2 ( p). Знак “ минус” показывает инверсию фазы выходного сигнала относительно входного.

Если в схеме (рис. 4.8 б) Z1 ( p) = pC1 , а Z2 ( p) = R , то получим дифференцирующий усилитель (рис. 4.9 а) с передаточной функцией

	K ( p) = −pRC,								(4.36)
которой отвечает следующая связь между uвх(t) и uвых(t):
	uвых(t) = −RC		duвх (t)					.	(4.37)
						dt
При	Z1 ( p) = R и Z2 ( p) =					1
						pC
		1
	K( p) = −					.			(4.38)
		pRC

В этом случае получим интегратор входного сигнала (рис. 4.9 б), для которого

u

(t) = −

1

t

u

(t)dt.

(4.39)

вых

RC 0∫

вх

R

C

C

R

uвх(p)	p	u	вх	( t)	uвых( t)
	uвых( )
	а				б

Рис. 4.9

Таким образом, если ОУ близок к идеальному, то схемы на рис. 4.9 а, б обеспечивают точное дифференцирование и интегрирование входного сигнала.

На практике качество дифференцирования и интегрирования зависит от неидеальности характеристик ОУ.

53

Передаточная функция идеального дифференцирующего усилителя не может быть реализована из-за ограниченной полосы пропускания и конечного коэффициента усиления реального ОУ. Кроме того, схема на рис. 4.9 а может самовозбудиться из-за спада коэффициента усиления ОУ на высоких частотах и

	дополнительных фазовых			сдвигов,	вносимых цепью	ОС [5].	Уменьшение
	XC =	1	с увеличением	частоты	приводит к	тому,	что схема
		ωC

дифференцирующего усилителя имеет высокий коэффициент усиления на верхних частотах, даже за пределами полосы частот полезного сигнала. Поэтому, наряду с ВЧ составляющими спектра входного сигнала, схема усиливает собственные шумы и внешние помехи, которые накладываются на полезный сигнал и искажают его.

В схеме интегратора на рис. 4.9 б смещение нуля выходного напряжения изза разбаланса ОУ, а также наличие входных токов смещения, обусловленных конечным значением входного сопротивления, ограничивают максимальную длительность интегрирования, так как с течением времени напряжение ошибки будет нарастать. Из-за конечного значения коэффициента усиления ОУ напряжение на выходе интегратора изменяется по экспоненциальному закону, а не строго линейно (при интегрировании перепада напряжения), однако при этом постоянная времени экспоненты и выходное напряжение приблизительно в

KU ОУ раз больше,

а погрешность интегрирования в

KU ОУ раз меньше, чем у

пассивной интегрирующей цепи при тех же номиналах R и C.

На практике применяют модифицированные схемы дифференцирующего

устройства и интегратора (рис. 4.10 а, б).

Чтобы избежать проявления нежелательных свойств четырёхполюсника на

рис. 4.9 а, используют скорректированную схему (рис. 4.10 а), которая

дифференцирует сигналы до частоты ω1 =

1

, является усилителем с

R1C1

R2

K

U

= −

в полосе частот от ω =

1

до ω

=

1

и интегратором на

R1

1

R1C1

2

R2C2

1

частотах выше ω2 =

.

R2C2

54

S

	C
	C2
	R2
	R2
	R
R1	C1

u ( t)		uвх(t)
	u (t)
вх
	вых	R1	uвых(t)
а			б

Рис. 4.10

Такой четырёхполюсник, представляющий собой интегродифференцирующее звено, можно использовать в качестве полосового фильтра.

Улучшенная схема интегратора показана на рис. 4.10 б. Резисторы R1 и R2

позволяют уменьшить ошибку интегрирования, вызванную разностью входных токов и напряжением смещения нуля ОУ. Для сброса интегратора на нуль (при

отсутствии R2 ) перед началом интегрирования конденсатор С кратковременно

закорачивают с помощью электронного ключа S , выполненного на микросхеме или МОП - транзисторе.

Интеграторы широко применяют при создании генераторов линейно изменяющегося и синусоидального напряжений, точных фазосдвигающих устройств, в качестве ARC - фильтров нижних частот и др.

55

ГЛАВА 5 Моделирование переходных процессов в линейных электрических цепях

5.1. Лабораторная работа №1 Исследование переходных процессов в цепях первого порядка

Общие сведения

Реальные электрические процессы всегда отличаются от стационарных и лишь при некоторых условиях, зависящих от вида воздействия и свойств цепи, могут приближаться к ним. Если цепь содержит только постоянные активные сопротивления, то изменения вида внешнего воздействия или вида схемы «мгновенно» вызывает соответствующие изменения напряжения и тока в ветвях. Однако при наличии реактивных элементов картина будет принципиально иной. Переход цепи к новому стационарному состоянию сопровождается появлением переходных или нестационарных процессов. Возникновение таких процессов связано с особенностями изменения энергии электромагнитного поля в реактивных элементах. Из физических соображений ясно, что энергия поля в индуктивностях и ёмкостях системы не может меняться во времени мгновенно. Изменение энергии за единицу времени, как известно, представляет собой мощность, отдаваемую или потребляемую соответствующим элементом схемы,

т.е. dwdt = p . Если допустить, что энергия w изменяется скачком, то величина

производной обращается в бесконечность, и, следовательно, мощность p

принимает бесконечно большое значение. Последний вывод, разумеется, не имеет физического смысла. Таким образом, в цепи с реактивными (энергоёмкими) элементами величины, определяющие запас энергии, при переходе к новому стационарному состоянию должны меняться во времени плавно, без скачков. В результате выходной ток и напряжение будут в большей или меньшей степени отличаться по форме от внешнего воздействия. Теоретически все переходные процессы имеют бесконечно большую продолжительность. Однако на практике значения напряжения и тока уже по истечении определённых промежутков времени становятся близкими к установившимся значениям. Нестационарные явления играют важную роль в работе многих устройств, применяемых в радиотехнике и электронике. Например, велика их роль в схемах, предназначенных для получения напряжений (или токов) специальной формы. В то же время иногда возникновение этих процессов нежелательно. Процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга режимов - принуждённого, который как бы наступил сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса. Свободная составляющая представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, принуждённая отражает частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

56

Цель работы: исследовать электрические процессы в простейших RCили RLцепях, возникающих при включении источников внешнего напряжения, а также при коротком замыкании участка цепи.

Задание

1.Рассчитать зависимости uC , iC в RC-цепи при подключении к постоянной ЭДС

(рис. 5.1)

2.Получить осциллограммы uC , iC , по ним определить iC (0+ ), uC (0+ ) и

постоянную времени τ , сравнить с расчётными значениями.

3.Рассчитать зависимости uL , iL в RL-цепи при подключении к постоянной ЭДС

(рис. 5.3).

4.Получить осциллограммы uL , iL , по ним определить iL (0+ ), uL (0+ ) и

постоянную времени τ , сравнить с расчётными значениями.

5.Рассчитать зависимости uC , iC , в RC-цепи при подключении конденсатора с начальным напряжением к источнику синусоидальной ЭДС (рис. 5.5).

6.Получить осциллограммы uC , iC , по ним определить iC (0+ ), uC (0+ ) и

постоянную времени τ , сравнить с расчётными значениями.

7.Рассчитать зависимости uL , iL , в RL-цепи при подключении катушки индуктивности с начальным током к источнику синусоидальной ЭДС (рис. 5.4).

8.Получить осциллограммы uL , iL , по ним определить iL (0+ ), uL (0+ ) и

постоянную времени τ , сравнить с расчётными значениями.

Методические указания

К пункту 1. Открыть файл П1 (рис. 5.1), установить заданные параметры схемы.

Рассчитать напряжение uC = uV1 −(uV1 −uC0 )e−tτ , ток iC = C dudtC , где τ = RC .

Рис. 5.1

57

К пункту 2. Запустить программу моделирования EWB. Используя клавишу «пробел», осуществить коммутацию ключа, зафиксировать осциллограмму, нажав кнопку «пауза». Используя курсоры расширенной модели осциллографа этой программы, определить постоянную времени переходного процесса. Для этого первый курсор устанавливается на момент коммутации, а второй – на уровне 0.63 от установившегося значения напряжения или на уровне 0.37 от установившегося значения тока (рис. 5.2).

Рис. 5.2

К пункту 3. Открыть файл П2, установить заданные параметры схемы (рис.

5.3).

Рассчитать ток iL = uV1 / R −(uV1 / R −iL0 )e−tτ , напряжение uL = L didtL .

Рис. 5.3

К пункту 4. Запустить программу моделирования EWB. Используя клавишу «пробел», осуществить коммутацию ключа, зафиксировать осциллограмму, нажав кнопку «пауза». Используя курсоры расширенной модели осциллографа этой программы, определить постоянную времени переходного процесса. Для этого первый курсор устанавливается на момент коммутации, а второй – на уровне 0.63

58

от установившегося значения напряжения или на уровне 0.37 от установившегося значения тока (рис. 5.4).

Рис. 5.4

К пункту 5. Открыть файл П3 (рис. 5.5), установить заданные параметры схемы.

Определить uc по формуле

uc = uc уст +[uc (0+ ) −uc уст (0)]e−tτ , где uc (0+ ) - начальное напряжение на

конденсаторе; uc уст – напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.

После подстановки выражения для установившегося значения напряжения получим

uC =

U

m

sin(ω t +αu −ϕ −

π

) +[uc (0+ ) −

U

m

sin(αu −ϕ −

π

)]e

−t

τ ,

2

2

1

+(ωRC)2

1+(ωRC)2

где ϕ = arctg(−ωRC1 ) . Ток iC = C dudtc .

59

Рис. 5.5

К пункту 6. Запустить программу моделирования EWB. Используя клавишу «пробел», осуществить коммутацию ключа, зафиксировать осциллограмму, нажав кнопку «пауза». Используя курсоры расширенной модели осциллографа этой программы, определить постоянную времени переходного процесса. По

осциллограммам определить i C (0+ ) , uC (0+ ) , ∆uC 0 , сравнить с расчётными

значениями.

К пункту 7. Открыть файл П4 (рис. 5.6), установить заданные параметры схемы.

Рассчитать
iL =	U m	sin(ω t +αu −ϕ) +[iL (0+ ) −	U m	sin(αu −ϕ)]e−tτ ,
	(ωL)2 + R 2		(ωL)2 + R 2

где ϕ = arctg ωLR

60

Рис. 5.6

К пункту 8. Запустить программу моделирования EWB. Используя клавишу «пробел», осуществить коммутацию ключа, зафиксировать осциллограмму, нажав кнопку «пауза». Используя курсоры расширенной модели осциллографа этой программы, определить постоянную времени переходного процесса. По

осциллограммам определить iL (0+ ) , uL (0+) , сравнить с расчётными значениями.

Контрольные вопросы

1.Сформулировать законы коммутации при корректных включениях.

2.Что такое характеристическое уравнение, и как его составить?

3.Как вычисляется постоянная времени переходного процесса в резистивных схемах с одним конденсатором?

4.Как вычисляется постоянная времени переходного процесса в резистивных схемах с одной катушкой?

5.Как по графику переходного процесса для схем с одним реактивным элементом измерить постоянную времени?

6.Каковы необходимые и достаточные условия для возникновения в схемах переходного процесса?

61

5.2. Лабораторная работа №2 Исследование и изучение формирующих цепей

Общие сведения

Простейшая дифференцирующая цепь приведена на рис. 5.7.

i

uвх (t )	C			u вых( t )
	R

Рис. 5.7

Напряжение на выходе RC-цепи

uвых

= Ri = RC

duC

. Так как uC = uвх − Ri , то при

duвх

dt

достаточно малом R

uвых ≈ RC

, т. е. RC-цепь будет дифференцирующей.

dt

Комплексный коэффициент передачи RC-цепи

K( jω) =

Uвых(jω)

=

R

=

jωRC

R +

1

1+ jωRC

Uвх (jω)

Заменив

jω

p ,

jωC

на

перейдем

к

изображению

по

Лапласу

K( p) =

Uвых( p)

=

R

=

pRC

=

pτ

,

где τ = RC

-

постоянная

Uвх( p)

1

1

+ pRC

1+ pτ

R + pC

времени RC-цепи.

τ p

Определим Uвых (p) =

Uвх ( p) .

1+τ p

При

τ p <<1 Uвых (p) ≈τ pUвх ( p) .

Перейдя

от

изображения

к

оригиналу,

получим

u =τ

duвх

. Таким образом, точность дифференцирования зависит от

вых

dt

степени выполнения неравенства ωRC <<1. Это неравенство выполняется тем точнее, чем меньше τ и чем ниже частоты, входящие в спектр входного сигнала. Напряжение на выходе цепи снижается пропорционально уменьшению τ . На рис. 5.8 б показан результат точного дифференцирования прямоугольного импульса в виде двух дельта-функций, соответствующих положительному и отрицательному

62

перепадам входного напряжения. На рис. 5.8 в изображено напряжение на выходе

дифференцирующей цепи при различных отношениях τ . tи

uвх

Um

0

t

			tи
			а
duвх
dt			+ ∞
			Um δ(t )
0			tи	t

−Um δ (t −tи )

−∞

б

uвых
Um	10
	1
	0,3
0	0,1

t

10

0,3 1

0,1

в

Рис. 5.8

3τ = 3RC . Расчёт

uвых

63

При малых отношениях представляет собой два остроконечных импульса, начала которых совпадают по времени с перепадами uвх . Такая RC -

цепь выполняет задачу укорочения импульсов. Выражение для uвых можно найти

в операторной форме.	Так как	Uвх ( p) =	Um		, то U	вых( p) =		Um	.	Используя
								p +1 τ
			p
таблицы изображений	функций по			Лапласу,			перейдем к			оригиналу
uвых(t) = Ume−t τ . Из	этого	выражения			следует,		что амплитуда			выходных

импульсов равна Um , а длительность на уровне 0,05 равна дифференцирующей цепи сводится к выбору её элементов R и C по заданной

амплитуде и форме	входного uвх	и выходного	uвых напряжений.	При этом
следует учитывать	внутреннее	сопротивление	источника Ri	входного

напряжения и влияние паразитной ёмкости Cп, шунтирующей сопротивление нагрузки. Ёмкость Cп выполняет роль интегрирующей и искажает форму выходного импульса (рис. 5.9 б).

			uвых,,	uвх=Um
	Ri	C	uвх
			Cп uвых′	u вых(R i ≠0 ,Сп=0)
uвх		R		uвых′ (R i ≠0 ,Сп≠0)
				t
		а		б

Рис. 5.9

Максимальное напряжение на выходе цепи можно определить по формуле

′		Um		RC .
Uвыхm ≈	(Ri + R)(Cп +С)
Постоянная времени равна			τ′ ≈ (Ri + R)(C + Cп) .
Таким образом, наличие		Ri и Cп ведёт к уменьшению амплитуды и

длительности импульса на выходе дифференцирующей цепи. При этом уменьшать ёмкость конденсатора С для получения заданной длительности выходного импульса можно до определённого предела. Её необходимо выбирать

как C ≥ 3Cп для уменьшения влияния нестабильности паразитных ёмкостей на

64

положение переднего фронта выходных импульсов. При дифференцировании импульсов с конечной длительностью фронта постоянную времени

укорачивающей цепи рекомендуется выбирать в пределах tф < RC < 5tф , где tф -

длительность фронта, при этом tи вых ≈ tф +0,8RC (на уровне 0,5 от

максимального значения амплитуды).

Простейшая интегрирующая цепь изображена на рис. 5.10.

i R 1 kΩ

u вх(t)		C					uвых (t)
		1 µF

Рис. 5.10

Ток в цепи равен i =

uвх −uвых

. uвых

= uС =

1

t

idt =

1 t

(uвх −uвых)dt .

C

∫0

RC ∫0

R

При выполнении условия

uвых

<< uвх цепь будет интегрирующей, т.е.

uвых ≈

1

t

uвхdt .

RC ∫0

Комплексный коэффициент передачи RC-цепи

K( jω) =

(1/ jωC) I

=

1

1

.

(R +1/ jωC) I

jωC

1+1/ jωC

	В операторной форме K( p) =			1						1	=			1	,
				pRC		1			+1/ pRC			1		+ pτ
	где τ - постоянная времени цепи.
	При pτ >>1 K( p) =	1	, Uвых(p) =						1	Uвх( p) , поэтому
									pτ
		pτ

uвых =	1	∫t	uвхdt .
	τ
0

Точность интегрирования зависит от выполнения неравенства ωRC >>1. Чем больше τ , тем точнее интегрирование. Однако с увеличением τ уменьшается амплитуда выходных импульсов. Интегрирование прямоугольного импульса показано на рис. 5.11.

				65
uвых
				Um
0			t и		t
				а
1	t	u	dt
	∫
τ		вх
	0
				U	t и
				m τ
0			tи		t
				б
uвых	Um		0,1	0,1
			0,3	0, 3
				1
			1		10
			10
0			tи		t
				в
			Рис. 5.11

66

Напряжение на выходе идеального интегратора изображено на рис. 5.11 б,

t

оно равно uвых = U m τи = const при t > tи. Напряжение на выходе реальной цепи

имеет вид экспоненты, соответствующей заряду конденсатора (рис. 5.11 в). После окончания импульса конденсатор разряжается также по экспоненциальному закону. Расчёт интегрирующей цепи сводится к определению значений R и C по заданной амплитуде, длительности и форме входного и выходного напряжений. Допустим на входе этой цепи действует прямоугольный импульс длительностью

tи и амплитудой Um . Найдём напряжение на конденсаторе в операторной форме для скачка напряжения Uвх( p) = Upm .

Uвых(p) =Uвх(p)K( p) =						Um1/τ	. Переходя к оригиналу, получим
						p( p +1/τ)
uвых	= Um (1− e−tτ ) при t < tи . После окончания импульса при t > tи
uвых	tи		−1)e	−t	τ .
	=U m (e	τ
	На рис. 5.11 в приведены кривые						uвых для различных τ . Отсюда видно, что
							tи

выходной импульс имеет большую длительность, чем входной и амплитуду

Uвых m = Um (1 − e−tи τ ) . При	τ ≥ 2	Uвых m ≈Um	τ , при этом ошибка не
	tи		tи

превышает 10%.

После окончания входного импульса через 3τ конденсатор С разряжается до 0,05Uвых m . Таким образом, длительность импульса на выходе интегрирующей

цепи на уровне 0,05Uвых m составляет tвых = tи +3τ . Данная формула позволяет

выбрать постоянную времени интегрирующей цепи по заданной длительности импульса на входе и выходе и рассчитать необходимую амплитуду входного напряжения по заданному выходному. Определив τ =RC, можно выбрать величины сопротивления и ёмкости, причем С должна быть в несколько раз больше паразитной ёмкости этой цепи.

Цель работы: изучение принципа действия формирующих устройств, исследование переходных процессов в дифференцирующих и интегрирующих цепях.

67

Задание

1. Для заданных параметров дифференцирующей RC - цепи рассчитать амплитуду и длительность импульсов на уровне 0,05 на выходе идеализированной цепи

( Ri =0, Cп=0) для значений	τ	=0,1; 0,3; 1.
	tи

2.Используя программу EWB, собрать схему реальной цепи для тех же значений параметров. Получить осциллограммы на входе и выходе этой цепи, измерить амплитуду и длительность импульсов на уровне 0,05, сравнить расчётные и экспериментальные результаты.

3.Для заданных параметров интегрирующей RC-цепи рассчитать амплитуду и

длительность импульсов на уровне 0,05 на выходе идеализированной цепи ( Ri =0,

Cп=0) для значений τ =0,1; 0,3; 1. tи

4.Используя программу EWB, собрать схему реальной цепи для тех же значений параметров. Получить осциллограммы на входе и выходе этой цепи, измерить амплитуду и длительность импульсов на уровне 0,05, сравнить расчётные и экспериментальные результаты.

5.Исследовать метод повышения точности дифференцирования на основе операционного усилителя.

6.Исследовать метод повышения точности интегрирования на основе операционного усилителя.

7.Исследовать линию связи при подключении на ее вход сигналов прямоугольной формы.

Методические указания

Кпункту 1. Для расчета необходимых параметров дифференцирующей цепи воспользоваться общими теоретическими сведениями по этой лабораторной работе или обратиться к [5].

Кпункту 2. В реальной цепи необходимо учитывать сопротивление источника входного сигнала (типовые значения 50 Ом, 600 Ом), которое включается последовательно с конденсатором. Кроме этого нужно учесть паразитную ёмкость монтажа схемы (десятки пикофарад), которая включается параллельно нагрузке этой цепи.

Кпункту 3. Для расчёта необходимых параметров интегрирующей цепи воспользоваться общими теоретическими сведениями по этой лабораторной работе или обратиться к [5].

Кпункту 4. В реальной интегрирующей цепи сопротивление источника сигнала суммируется с задающим резистором R, а паразитная ёмкость монтажа суммируется с задающим конденсатором С.

68

Кпункту 5. Открыть файл П5 (рис. 5.12), получить осциллограммы входного

ивыходного сигналов для трех режимов функционального генератора (прямоугольные импульсы, треугольные и синусоидальное напряжение). Параметры осциллографа подобрать так, чтобы было удобно производить измерения длительности и амплитуды. Изменить параметры сопротивления источника сигналов, паразитной ёмкости и оценить характер их влияния на выходной сигнал. Сделать выводы.

Кпункту 6. Открыть файл П6 (рис. 5.13), получить осциллограммы входного

ивыходного сигналов для трёх режимов функционального генератора (прямоугольные импульсы, треугольные и синусоидальное напряжение). Оценить время установления выходного сигнала.

Рис. 5.12

Рис. 5.13

К пункту 7. Открыть файл П7 (рис. 5.14), запустить программу моделирования EWB, получить амплитудно-частотную характеристику цепи и осциллограммы входного и выходного сигналов. Исследовать влияние сопротивления источника сигналов и сопротивления нагрузки на форму сигналов. Оценить искажения путем измерений длительности импульсов и длительности фронтов, сделать выводы.

69

Рис. 5.14

Контрольные вопросы

1.Обьяснить принцип действия дифференцирующей цепи. Каково влияние внутреннего сопротивления источника сигнала, паразитной ёмкости на форму выходных импульсов?

2.Обьяснить принцип действия интегрирующей цепи.

3.Каким образом в этих цепях повышают точность дифференцирования и интегрирования?

4.Привести примеры конкретного использования этих цепей в электронике и схемотехнике.

5.Почему дифференцирующие и интегрирующие цепи называют ещё соответственно укорачивающими и расширяющими?

6.Каким фильтрам сигналов соответствуют дифференцирующие и интегрирующие цепи?

70

5.3. Лабораторная работа №3 Исследование переходных процессов в цепях второго порядка

Общие сведения

Для цепи, состоящей из последовательно соединённых резистора, конденсатора и катушки индуктивности, получаем дифференциальное уравнение второго порядка. Характер свободного процесса зависит только от параметров цепи, т.е. от вида корней характеристического уравнения

p2 + R Lp +1 LC = 0 .

Так как эти корни определяются равенством p1,2 = −R 2L ± R2 4L2 −1 LC ,

то характер свободного процесса зависит от знака подкоренного выражения, который и определяет, будут ли корни вещественными или комплексными.

Если R24L2 >1LC или R > 2 L C , то имеет место апериодический характер

свободного процесса. При этом конденсатор разряжается до нуля, т.е. не происходит перезарядки конденсатора. С энергетической точки зрения это означает, что при разряде конденсатора отдаваемая им энергия лишь в малой доле переходит в энергию магнитного поля катушки, а большая её часть поглощается в резисторе. Начиная с некоторого момента времени, в тепло переходит не только оставшаяся энергия электрического поля конденсатора, но и энергия, которая запаслась в магнитном поле катушки. Напряжение на конденсаторе монотонно уменьшается с некоторого начального значения, а ток, возрастая от нуля, достигает максимума, а затем также уменьшается. Напряжение на катушке индуктивности изменяется от некоторого отрицательного значения, затем проходит через нуль, когда ток максимален, и возрастает до некоторого положительного максимума, после чего стремится к нулю. Пока ток алгебраически уменьшается, ЭДС самоиндукции, поддерживая его, будет по закону Ленца положительной, а напряжение на индуктивности отрицательным. Когда ток алгебраически начинает возрастать, ЭДС самоиндукции противодействует ему и будет отрицательной, а напряжение на катушке положительным. Предельный случай апериодического процесса получается, если корни вещественны и равны. Кривые изменения токов и напряжений в контуре при этом по форме не изменяются.

Если корни уравнения становятся комплексными и сопряженными, разряд будет колебательным. Ток и напряжение на конденсаторе и катушке индуктивности представляются затухающими синусоидальными функциями с

угловой частотой собственных колебаний ωс = ω0

2 − β2

и

коэффициентом затухания β = R2L . Ток в контуре опережает по фазе напряжение на конденсаторе на угол ϕ и отстает от напряжения на катушке

71

индуктивности на тот же угол. Добротность колебательного контура определяется как Q = ρR , где ρ = L C - характеристическое сопротивление контура.

Цель работы: исследовать процессы разряда конденсатора на катушку индуктивности при отсутствии потерь в колебательном контуре, при высокой и низкой добротностях контура.

Задание

1. Рассчитать временные зависимости напряжения на конденсаторе uC и тока iC

через него при переключении реле времени в идеальном колебательном контуре

(рис. 5.15).

2. Получить осциллограммы uC и iC , по ним определить величины T0 и p , сравнить с расчетными значениями.

3.Рассчитать энергию в конденсаторе WC и энергию в катушке индуктивности

WL для моментов времени t=0, To/8, To/4, 3To/8, To/2, 5To/8, 3To/4, 7To/8, To.

4.Получить осциллограммы WC и WL , по ним определить экспериментальные

значения энергий в указанные моменты времени, сравнить с расчётными значениями (рис.5.16).

5. Рассчитать временные зависимости напряжения на конденсаторе uC и тока iC через него при переключении реле времени в колебательном контуре с высокой добротностью (рис.5.17), рассчитать параметры ωс и β .

6.Получить осциллограммы uC и iC , по ним определить величины ωс и β , сравнить с расчётными значениями.

7.Рассчитать энергию в конденсаторе WC и энергию в катушке индуктивности

WL для моментов времени t=0,Tсв/8,Tсв/4,3Tсв/8, Tсв/2, 5Tсв/8, 3Tсв/4, 7Tсв/8, Tсв.

8. Получить осциллограммы WC и WL , по ним определить экспериментальные

значения энергий в указанные моменты времени, сравнить с расчётными значениями (рис.5.18).

9. Рассчитать временные зависимости напряжения на конденсаторе uC и тока iC через него при переключении реле времени в колебательном контуре с низкой добротностью (рис.5.19), рассчитать параметры p1 и p2 .

10. Получить осциллограммы тока iC конденсатора при его разряде на RL-цепь и тока iL через катушку индуктивности при подсоединении её через резистор к источнику ЭДС, равной начальному напряжению на конденсаторе.

72

Методические указания

К пункту 1. Открыть файл П8 (рис.5.15), установить заданные параметры схемы, вычислить uC =UC0 cosω0t , i = −UC0 ρ sin ω0t , где ρ = L C .

Рис. 5.15

К пункту 2. Запустить программу моделирования EWB, используя расширенную модель осциллографа, измерить период To сигнала, амплитуду тока

и амплитуду напряжения на конденсаторе (рис.5.16). Определить ρ = Uc .

Ic

К пункту 3. Для расчета энергий воспользоваться известными выражениями:

WC = CU2 2 и WL = LI22 , где U, I - установившиеся значения тока и напряжения в соответствующие моменты времени.

Рис. 5.16

73

К пункту 4. Открыть файл П11 (рис.5.17), получить осциллограммы энергий, по ним определить конкретные значения WC и WL , в заданные моменты времени.

Рис. 5.17

К пункту 5. Открыть файл П9 (рис.5.18).

Переходный процесс при подключении заряженного конденсатора к последовательной RL-цепочке отображается уравнением

LC

d 2i

+ RC

di

+i = 0 , где i - ток в контуре.

dt2

dt

Корни

его

характеристического

уравнения

p

= −β ± j β 2 −ω2

= −β ± jω

с ,

1,2

0

где

ωс = ω02 − β 2

-

частота свободных (собственных)

колебаний, период

T

=

2π

,

с

ω

с

коэффициент затухания β =

R

, резонансная частота ω0 =

1 .

2L

LC

74

Рис. 5.18

Решение уравнения получают в виде

	Uc0		−β t		ω0	−β t		ωс
i = −		e		sinωсt ,	uC = ωc UC 0 e		sin(ωсt +ϕ) , где ϕ = arctg	β .
	ωсL
К пункту 6. Запустить программу моделирования EWB, получить
осциллограммы тока и					напряжения,	определить путем измерения		Tс и β
(рис.5.19).

Рис. 5.19

75

Для определения β необходимо измерить фазовый сдвигϕ между током и

напряжением, а затем вычислить β =	2π
		.
	T tgϕ
	с

Кпункту 7. Открыть файл П10 (рис.5.20).

Кпункту 8. Выполнить действия, аналогичные действиям пункта 4.

Кпункту 9. При разряде конденсатора на катушку индуктивности (рис.5.21) процесс имеет апериодический характер. Корни характеристического уравнения являются действительными и вычисляются из выражения

p = −β ±ω	с , где	ωс = β 2 −	1
1,2			LC .

Рис. 5.20

Тогда	i =	U c0	(e p1t − e p2t )	,	u	C	=	Uc0	( p	e p1t − p e p2t )	. Постоянные времени
		2ωс L						2		1
								2ωс

1 p1 = LR (для нижней схемы) и 1 p2 = RC (для верхней правой схемы).

К пункту 10. Открыть файл П11, запустить программу моделирования EWB, получить осциллограммы i при разряде конденсатора на RL-цепь и на резистор с сопротивлением R

76

Рис. 5.21

Контрольные вопросы

1.Какие характерные точки можно выделить на осциллограммах мгновенных значений энергии в катушке и конденсаторе при разряде конденсатора на идеальную катушку индуктивности?

2.Как происходит обмен энергией между компонентами схемы при переходном процессе в отсутствие потерь?

3.Какими величинами характеризуется затухание тока при колебательном переходном процессе?

4.От чего зависит добротность колебательного контура?

5.Сравнить форму кривых тока и напряжения при апериодическом переходном процессе с соответствующими кривыми для RL и RC-цепей.

6.Привести примеры конкретного использования колебательного и апериодического разрядов в контуре в схемотехнике.