ZF_sopromat_metod.ukaz_._2011

Решение

1. Определение расчѐтных значений нагрузок и расчѐтного сопротивления материала R:

F

Fn

f

20 1,1 22кН ,

т = т n

f

24

1,1

26,4 кН м ,

q

q n

f

18

1,4

25,2 кН / м

R

Rn

240

228,6 МПа .

m

1,05

2.

Определение

реакций

жѐсткой заделки. Мысленно освободим

балку (рис. 13,а) от связей и запишем уравнения равновесия:

т

А

0,

т А–

т – 2qa2

F 3a

0 ,

отсюда момент в заделке

т А = т

2qa2

3Fa .

F y

0 ,

V 2qa F 0 ,

V 2qa F.

A

A

Вычислим реакции от расчѐтных нагрузок:

т А = 26,4

2

25,4 1,22

3 22 1,2

178,2 кН м ,

V A

2 25,2 1,2

22

82,48 кН .

Реакции от нормативных нагрузок:

т А

24

2

18

1,22

3

20 1,2 147,8 кН м ,

V A

2 18 1,2

20

63 кН .

3.

Построение

эпюр

изгибающих

моментов

и поперечных сил от

расчѐтных нагрузок. Разобьем балку на три участка. Проведем на каждом участке произвольные сечения z. Рассматривая отсеченные части в состоянии равновесия, запишем аналитические выражения M x и Q y для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

42

			Рис.13
I участок,		0	z 1	a
M 1	F	z 1	(линейный закон),
при z 1	0 ,		M 1	0
при z 1	a ,		M 1	22 1,2	26,4 кН м

Поперечную силу найдѐм, исследуя дифференциальную зависимость:

Q1

d M 1

F

22 кН const .

d z 1

II участок,

0 z 2

a

M

F(a z )

qz2

(квадратная парабола),

2

2

2

при z 2

0 ,

M 2

F

a 22 1,2

26,4 Н м ,

при z 2 a , M 2

2F

a

qa2

2

22 1,2

25,2

1,22

71 Н м .

2

2

Q2		d M 2	F	qz 2	(линейный закон),
		d z 2
	при z 2		0 ,	Q2	F	22	кН ,
при z 2 a , Q 2			F	qa	22	25,2	1,2 52,2 кН .

при z 3 a,

	Q3	d M 3
		d z 3

III участок,

0 z 3

a

q

a

z

2

M 3

F 2a

z 3

3

т (квадратичная

2

парабола).

при z 3

0 ,

M 3

2F

a

qa2

т

97,3 кН м

2

M 3

3F

a

q ( 2 a )2

т

178,2 кН м .

2

F

q a

z 3

- это линейная зависимость:

при z 3 0 ,

Q3

F

qa

52,2

кН ,

				при z 3	a , Q3	F	2 qa 82,5 кН .
По найденным значениям					M x и	Q y на каждом участке строим эпюры
(рис.13,		б,в). Опасное сечение балки					находится возле заделки, где
M расч		178,2 кН м		.

4. Определение размеров поперечных сечений. Запишем условие прочности для опасного сечения по нормальным напряжениям:

		M расч	R ,
	max
		W x

откуда расчѐтный (требуемый) момент сопротивления сечения составит

	W x	M расч		178,2 103		0,866 10	3 м2 866 см3 .
		R c	228,6 106		0,9

Найдѐм размеры сечений для трѐх вариантов (рис. 12):

44

а. Осевой момент инерции и момент сопротивления данного сечения вычисляются по формулам:

J x	5b 3b 3			2		b4		11,08 b4 ,
	12
				12
W x		J x			11,08 b4			7,39 b	3	.
		ymax			1,5 b

Приравняв 7,39 b3 866 см3 , найдѐм размер сечения:

b	3		866		4,89 см .
	7,39

Тогда площадь сечения

A 15 b2 2 b2 13 b2 311 см2 .

б. Вычисляем осевой момент инерции и момент сопротивления сечения:

d 4

(0,25 d )4

J x

0,0487 d 4

,

64

12

W x

J x

0,0487 d 4

0,097 d

3

.

ymax

0,5 d

Приравняв 0,097 d 3

866 см3 , найдѐм диаметр:

d

3

866

20,7

см .

0,097

Площадь сечения

d 2

A

0,25 d 2

0,722 d 2 336 см2 .

4

в. Момент сопротивления одного швеллера:

				W x	866	433 см3 .
					2
Из	табл.	2	приложения	выбираем швеллер № 33, для которого
W x	486 см3 ,	A	46,5 см2 ,	J x	7980 см4 .

5.Вычисление удельных моментов сопротивления полученных сечений:

	а.	W уд		866		2,78	,
				311
	б.	W уд		866		2,58	,
				336
	в.	W уд	2	486		10,5 .
			2	46,5
	Наиболее рациональным	является сечение балки из двух швеллеров

(вариант в), у которого при наименьшей площади осевой момент сопротивления имеет наибольшее значение.

6. Определение прогиба и угла поворота сечения методом начальных параметров. Заметим, что перемещения определяются от нормативной нагрузки. Реакции найдены в п.2.

Поместим начало координат O на левом конце балки, в заделке (рис.14).

Продлим пунктиром линию действия распределѐнной нагрузки q до правого конца балки и покажем компенсирующую нагрузку на участке СД.

Рис. 14

Очевидно, что начальные параметры равны нулю:

y0 0,

0 0.

Для участка СД запишем универсальные уравнения прогибов и углов

поворота учитывая нагрузки, расположенные левее сечения z :

E J y z т А	(z 0)2	V (z 0)3			q (z 0)4	т	( z a )2		q( z 2a )4	, (1)
			A
	2!	3!		4!			2!	4!

46

E J z

т А

(z 0)1

V (z 0)2

q (z 0)3

т

(z a)1

q (z 2a)3

A

. (2)

1!

2!

3!

1!

3!

Полагая в уравнении (1)

z

3a, найдѐм прогиб свободного конца D

балки, состоящей из двух швеллеров № 33:

E J y D

т

( 3a )2

V A ( 3a )3

q ( 3a )4

т

( 3a a )2

q( 3a 2a )4

А

2!

3!

4!

2!

4!

147,8 3 1,2

2

63 3 1,2

3

18 3 1,2

4

24 1,2

2

18 1,2

4

575 кН м3 ,

2

6

24

2

24

y D

575

575 103

0,018 м .

E J x

2 105

106

2 7980 10 8

Знак минус означает, что точка D переместится вниз.

Полагая в уравнении (2) z 2a и учитывая слагаемые, соответствующие нагрузкам от начала координат до точки С, найдѐм угол поворота сечения:

E J C					т	А		(2a)1			V (2a)2					q (2a)3			т		(a)1
													A
								1!						2!	3!					1!
	147,8			2 1,2				63 2 1,2					2		3		24 1,2			1
														18(21,2)							186		кН м2 ;
				1				2							6				1
	186										186 103								0,0058 рад				0,33о .
C
			EJ x			2 105					106 2 7980 10 8

Знак минус означает, что сечение С повернѐтся по направлению часовой стрелки.

Ответ: Прогиб свободного конца уD = -0,018 м, угол поворота С = - 0,33 .

Задача 6

Для шарнирно–опѐртой двутавровой балки (рис. 15), требуется определить несущую способность и проверить прочность балки по касательным

напряжениям. Для нагрузок принять соотношения M	q a2 , F	q a .
Исходные данные взять из таблицы 8.
Порядок решения задачи 6

1.В масштабе вычертить схему балки и еѐ поперечное сечение.

2.С учетом значений коэффициентов и выразить нагрузки в долях qa и проставить их значения на расчѐтной схеме.

3.Определить реакции опор и проверить их.

4.Составить аналитические выражения M x и Q y для каждого участка.

5. Построить эпюры поперечной силы Q y и изгибающих моментов M x и найти их расчѐтные (наибольшие) значения в буквенном виде.

6.Исходя из условия прочности по нормальным напряжениям, определить расчѐтную нагрузку q (несущую способность балки). Принять расчѐтное сопротивление материала изгибу R = 210 МПа; коэффициент условий работы c 0,9 .

7.Исходя из найденной нагрузки q, выполнить проверку прочности балки по касательным напряжениям. Принять расчѐтное сопротивление

материала сдвигу Rs			= 130 МПа; c				0,9 .
												Таблица 8
Номер	Схема		,	Расстояние в долях пролета							Двутавр
	балки
					a 1				a 2
строки			м								ГОСТ 8239-89
	рис.15
					a				a
1	1		3	1				1			24		1,2	2,0
2	2		4	2				2			33		1,3	2,1
3	3		5	3				3			40		1,4	2,2
4	4		6	4				4			50		1,5	2,3
5	5		7	5				5			55		1,6	2,4
6	6		4	5,5				1			30		1,7	2,5
7	7		3	4,5				2			27		1,8	2,2
8	8		6	3,5				3			45		1,9	2,4
9	9		8	2,5				4			60		2,0	2,3
0	0		5	1,5				5			36		1,6	2,5
	д		е		г				д		е		г	д

48

1)

6)

2)

7)

3)

8)

4)

9)

5)

10)

Рис.15

Пример 6. Шарнирно-опертая двутавровая балка (рис. 16) нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, нагружена силой F=1,2qa и

нагружена моментом m =2,4 qa2.

Требуется:

1.Определить реакции опор в долях qa и проверить их.

2.Построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx

инайти их расчетные (наибольшие) значения.

3.Определить несущую способность балки q, исходя из условия прочности по нормальным напряжениям.

4.Проверить прочность балки по касательным напряжениям при найденной нагрузке q.

Дано: Длина пролета	балки	6м ,		а1		3,		а2	4.	Расчетное
				а				а
сопротивление материала изгибу		R=210	МПа,				срезу RS=130 МПа,
коэффициент условий работы	0,9. Сечение балки двутавр №30а.
	c

Из табл.1 приложения для двутавра №30а находим: Wx=518 см3, Jx=7780

см4, статический момент полусечения Sx=292 см3, толщина стенки s=6,5 мм.

Решение

1. Определение реакций опор. Запишем уравнения равновесия для балки (рис. 16,а):

mA

0,

VB

10a

F

7a

q 7a 3,5a

m

0,

VB

1,2qa 7a 24qa2

2,4qa

2

3,5qa.

10a

mB

0,

m V

10a

q 7a 6,5a

F

3a

0,

A

2,4qa2

45,5qa2

3,6qa2

V

4,67qa.

10a

A

Проверка:

Y

0,

V

7qa

1,2qa

V

0,

A

B

3,53qa

7qa

1,2qa

4,67qa

0,

8,2qa

8,2qa

0.

50

Рис. 16

2. Построение эпюр Мх и Qy. Разобьем балку на три участка и составим аналитические выражения изгибающего момента Мх и поперечной силы Qy.

I участок,

0

z1

4a

m 2,4 qa2 (const),

dM

M1

Q

1

0.

dz

1

1

II участок,

0

z2

7a

M

m V

z

qz2

(квадратичная парабола) ,

2

2

A

2

при

z2

0,

M 2

m 2,4 qa2 ,

при z2

7a,

M 2

2,4qa2

4,67qa 7a

q(7a)2

10,6qa2 .

2

Исследуем изгибающий момент на экстремум:

Q2

dM2

VA

qz2

0,

z2

VA

4,67a.

dz2

q

При z2 4,67а изгибающий момент имеет наибольшее значение: