ZF_sopromat_metod.ukaz_._2011

mA

0,

VB 2a Ga 0,

VB

G

;

2

Fy

0,

VA

G 0,

VA

G;

F

0,

H

V

0;

H

G

.

A

B

A

x

2

Рис. 31

Разделим раму на четыре участка: АС, СК, ВD и КD. На каждом участке в произвольном месте проведем сечение и составим выражения для изгибающего момента.

	На участке АС,					0	z1	a :
M1		H A	z1 (линейный закон);
		при z1=0				M1=0,
при z1=а M1	H A	a		G a		(растянутые левые волокна).
			2
	На участке СК,					0	z2	a :
M 2	H A	a	VA z2			(линейный закон);

82

при z2=0

M 2 H A a

Ga

(растянуты верхние волокна),

2

при z2=а

M 2

Ga

Ga

Ga

(растянуты нижние волокна).

2

2

На участке ВD,

0

z3

a :

M3

VD z3 (линейный закон);

при z3=0

M3=0,

при z3=a

M 3

VВ a

Ga

(растянуты правые волокна).

2

На участке KD,

0

z4

a :

M 4

VB a

Ga

(const) (растянуты нижние волокна).

2

По найденным значениям построена эпюра М (рис. 32). Из эпюры

находим M max

Ga

.

2

	Рис. 32
2. Определение перемещения	st	точки соударения К по направлению

падения груза под действием статически приложенной силы G, равной весу

груза. Приложим к раме в точке К единичную силу и определим опорные реакции (рис. 33).

Рис. 33

Построим эпюру M (рис.34) для единичного состояния рамы.

											Рис. 34
Перемножив по способу Верещагина эпюры М и																						M ,			найдем искомое
перемещение:
	1 1				Ga		2		a		1			Ga a 2						a			Ga			a Ga3
st						a				2											2				a				.
	EJ	2		2			3	2			2		2		2		3		2			2				2		2EJ

84

При перемножении эпюр М и M учтено, что площади эпюр на участках

АС и ВD, СР и РК равны.

3. Определение диаметра стержня из условия прочности при ударном нагружении для опасного сечения. Условие прочности имеет вид:

d

st

Kd

R c ,

где

st

M max

M max

-

напряжение

в

опасном сечении

от статически

Wx

0,1d 3

приложенной силы, равной весу G падающего груза; Wx

–

осевой момент

сопротивления

сечения

стержня

рамы;

Kd

2h

-

динамический

st

коэффициент при ударе;

st - линейное перемещение точки соударения под

действием статически приложенной силы, равной весу падающего груза (по направлению его движения). С учетом сказанного перепишем условие прочности:

								M max												2 h				R .
								0,1d					3
																				st						с
Подставим выражения							Мmax									и				st , осевого момента инерции круглого
сечения J 0,05d 4 в условие прочности и определим диаметр стержня:
						Ga												2h 2E 0,05d									4		R c ;
					2		0,1d 3																Ga3
d			Ga							2h 2E 0,05
		2 0,1d		3 R	c											Ga3
		100		0,8								2			0,4					2	2,05 105						106			0,05		3,4 10	2 м.
	2	0,1	210 106			1															100					0,83
Ответ: Искомый диаметр стержня d																							3,4 см.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Задача 12

На балке из двух двутавров установлен электромотор весом G (рис. 35). Частота вращения ротора мотора n; вес неуравновешенных частей Р; их эксцентриситет е.

Определить номер профиля двутавра, исходя из условия «отстройки» от резонанса, т. е. частота собственных колебаний балки должна быть на 30% выше частоты возмущающей силы, возникающей из-за неуравновешенности ротора. Проверить прочность и жесткость балки с учетом возникших колебаний. Массой балки пренебречь. Исходные данные взять из табл. 15.

Порядок решения задачи 12

1.Определить статический прогиб сечения балки, в котором установлен мотор, а также наибольшие статические напряжения.

2.Установить частоту возмущающей силы и частоту собственных колебаний балки.

3.Определить номер профиля двутавра, исходя из условия «отстройки» от резонанса.

4.Вычислить коэффициент нарастания колебаний и динамический

коэффициент.

5. Записать условия прочности и жесткости балки с учетом возникших

колебаний и проверить их выполнение. Принять R=70 МПа, E						2 105 МПа,
допускаемый прогиб f		/1000.
						Таблица 15
Номер	Схема балки,	, м	G, кН	Р, Н	е, см	n, об/мин.
строки	по рис. 35
1	1	2,2	8	800	0,10	500
2	2	2,4	9	1000	0,12	550
3	3	2,6	10	1200	0,14	600
4	4	2,8	11	1400	0,16	650
5	5	3,0	12	1500	0,18	700
6	6	3,2	13	1600	0,20	800
7	7	3,4	14	1800	0,22	850
8	8	3,6	15	2000	0,25	900
9	9	3,8	16	2200	0,28	950
	10	4,0	17	2400	0,30	980
	е	а	г	д	е	д

86

1

6

2

7

3

8

4

9

5

0

Рис. 35

Пример 12. На балке из двух двутавров установлен электромотор весом

G (рис. 36). Частота вращения ротора n; вес неуравновешенных частей ротора - Р; их эксцентриситет - е.

Требуется:

1.Найти статический прогиб сечения балки С, в котором установлен мотор, а также наибольшие статические напряжения. Массой балки пренебречь.

2.Определить частоту возмущающей силы и частоту собственных колебаний балки.

3.Установить номер профиля двутавра, исходя из условия «отстройки» от резонанса, т. е. частота собственных колебаний балки должна быть на 30% выше частоты возмущающей силы, возникающей из-за неуравновешенности ротора.

4.Вычислить коэффициент нарастания колебаний и динамический коэффициент.

5.Проверить прочность и жесткость балки с учетом возникающих колебаний.

	Дано: 3,1 м; G=12,5 кН; Р=1400 Н; е=0,5 см;	n=720	об/мин;
	расчетное сопротивление материала балки изгибу R=70 МПа, модуль
	продольной упругости E 2 105 МПа; допускаемый прогиб балки f				;
			1000

Рис. 36

88

Решение

1. Статический расчет. Найдем статический прогиб сечения в точке С балки от силы G, равной весу двигателя. Для грузового состояния

(рис. 37, а) определим реакции опор и построим эпюру MF (рис. 37, б).

Составим единичную схему, прикладывая безразмерную силу, равную единице, в точке С балки, освобожденной от нагрузки (рис. 37, в). Определим реакции опор и построим эпюру M (рис. 37, г).

Рис. 37

Перемножив эпюры MF и M по способу Верещагина найдем прогиб в точке С:

	1	1			G		2					1			G					2				5G 3
yst																									;
	E2J x	2		4			3			4		2		4			4		3 4
																								384EJ x
Найдем наибольшее статическое напряжение. В опасном сечении В
значение изгибающего момента равно
							M max						G			.
														4

Тогда статическое напряжение равно

st	M max		G		G	.
	2Wx		4 2Wx		8Wx

1. Определение частоты возмущающей силы и частоты собственных колебаний балки. Из-за неуравновешенности ротора возникает возмущающая сила, и балка испытывает вынужденные колебания с частотой

n	3,14 720			75,36 1/ c .
30	30

Частота собственных колебаний балки зависит от ее жесткости,

определяется она по формуле

g , yst

где g - ускорение свободного падения.

В соответствие с условием задачи принимаем частоту собственных

колебаний равной
							1,3			,		или							g					1,3 .
																		yst
2.	Определение номера двутавра.													Запишем условие «отстройки» от
резонанса:
							1,3				,	или						g					1,3 .
																yst
Преобразуем полученное										неравенство и,									подставив								выражение yst ,
определим необходимый момент инерции двутавра:
				g			1,3			2	,		g	384EJ x										1,3		2	,
				yst										5G 3
Отсюда
	J x	5G 3	1,3			2	5 12,5 103 3,13 1,32																75,362				2374 см 4 .
		g	384E																5					6
												9,81 384 2 10							10

90

Из сортамента выбираем двутавр №22 с Jx=2550 см4, Wx=232 см3.

Найдем частоту собственных колебаний балки, соответствующую

выбранному сечению двутавру №22:

g

g 384EJ x

9,81 384

2 105 106 2550 108

101,6 1/ c .

yst

5G 3

5

12,5 103 3,13

То есть условие «отстройки»

1,3 выполняется. Действительно

101,6 1,3 1,3 75,36 98.

3. Определим коэффициент нарастания колебаний:

1					1		2,22.
2					75,36	2
1			1
					101,6

Наибольшее значение возмущающей силы (вертикальная составляющая центробежной силы инерции):

P	P	2 e		1400	75,362 0,5 10 2 4052 H.
o	g		9,81

Динамический коэффициент:

	Kd 1	Po	1		4052		2,22 1,72.
		G		12500

4. Динамический расчет. Запишем условие прочности балки и проверим его выполнение:

d st Kd R.

Динамическое напряжение в опасном сечении балки

	G	K d	12,5 103 3,1			1,72 36 МПа,
d	8Wx			8 232 10 6

d	36 МПа R 70 МПа,

т.е. условие прочности выполняется.