ZF_sopromat_metod.ukaz_._2011

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
Задача 10
Стальной стержень (табл. 12) сжимается нормативной силой	F . .
	п
Требуется:

-найти размер поперечного сечения стержня из расчета на устойчивость;

-определить величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Исходные данные, схему закрепления стержня и форму поперечного

сечения взять из табл. 12.

Порядок решения задачи 10

1.Вычертить схему стержня и его поперечное сечение.

2.Вычислить расчетное значение силы, приняв коэффициент

надежности по нагрузке			f	равным 1,2.
3.	Найти геометрические характеристики сечения и гибкость
стержня, выразив их через размер сечения (а или d).
4.	Задаваясь величиной коэффициента					0,5 , определить размер
						1
сечения	исходя из	условия устойчивости стержня. Использовать метод
последовательных		приближений.			Принять	расчетное	сопротивление
материала сжатию R		200 МПа , коэффициент условий работы					0,9 .
							с

5.Для полученного сечения стержня определить критическую силу.

Взависимости от гибкости стержня расчет вести либо по формуле Эйлера,

либо по формуле Ясинского.
Принять предельную гибкость для данного материала			пред	равной 100;
модуль продольной упругости	Е 2 105 МПа;	коэффициенты а=310 МПа,
b=1,14 МПа (для формулы Ясинского).
6. Найти величину	коэффициента	запаса устойчивости по
отношению к нормативной нагрузке.

				72
					Таблица 12
	Номер	Fn,	l,	Схема
				закрепления	Форма сечения стержня
	строки	кН	м
				стержня
				1	6
	1	100	2,1
	2	200	2,2

2

7

3	300	2,3
4	400	2,4

3

8

5	500	2,5
6	600	2,6

4

9

7	700	2,7
8	800	2,8

5

0

9	900	2,9
0	1000	3,0

г

д

д

е

Пример 10. Стальная стойка заданного поперечного сечения

(рис. 28 а, б), одинаково закрепленная в обеих главных плоскостях,

центрально сжата силой F.

Требуется:

1.Вычислить расчетное значение силы.

2.Определить геометрические характеристики сечения и гибкость стержня, выразив их через размер сечения а.

3.Найти размер а поперечного сечения из условия устойчивости

(путем последовательных приближений).
4.	Определить значение критической силы и коэффициент запаса
устойчивости.
Дано:		2,8 м;	коэффициент			приведения длины	стержня	1;
нормативное		значение	силы		Fn	650 кН ; коэффициент	надежности	по
нагрузке	f	1,2; расчетное сопротивление материала сжатию R=200 МПа;
предельная гибкость			100;		модуль продольной упругости E 2 105 МПа;
		пред
коэффициент условий работы				с	1.

Решение

1.Вычисление расчетного значение силы:

	F		Fn			f 650 1,2			780 кН.
2.	Определение	геометрических							характеристик сечения и
гибкости стержня. Площадь поперечного сечения:
	A		a	2		0,5a 0,25a			0,66a2 ,
		4
откуда размер сечения		a				A	.
				0,66

Осевые моменты инерции относительно главных осей:

		a4			0,5a (0,25a)3
	J x						0,0483a4	,
		64	12
		a4			0,25a (0,5a)3
	J y						0,0464a4 .
		64	12

	74
а	б

Рис. 28

Сопоставляя моменты инерции, находим, что Jmin=Jy, т.е. потеря устойчивости произойдет в плоскости, совпадающей с осью у. Минимальный радиус инерции -

imin	iy		J y				0,0464a4	0,264a,
			A				0,66a2

а наибольшая гибкость стойки -

max

1 2,8

10,6 .

imin

0,264a

a

Данная стойка может потерять устойчивость (изогнуться) на участке

длиной , как шарнирно-опертый стержень, см. рис. 28,а.

3. Определение

размера

поперечного

сечения

исходя из условия

устойчивости стойки:

F

R

c .

A

Необходимая площадь поперечного сечения стержня:

A

F

780 103

4,33 10

3

м2,

R

200 106 0,9

c

где - коэффициент продольного изгиба.

Первое приближение. Задаемся											1			0,5 . Тогда
	A	4,33 10 3			4,33 10							3	8,66 10 3								0,00866 м2,
					0,5
	1
		1
								A
												0,00866
		a					1												0,1145 м,
					0,66							0,66
		1
					10,6							10,6				92,57.
								a
				1								0,1145
					1
По табл. 13 для стали имеем:
					90										0,665
					100										0,599.
																					Таблица 13
Коэффициенты		продольного изгиба центрально сжатых стержней
				по СНиП 11-23-81
Гибкость	Сталь с расчетным										Гибкость										Сталь с расчетным
	сопротивлением																				сопротивлением R=200
	R=200 МПа																				МПа
10		0,988													120						0,479
20		0,967													130						0,425
30		0,939													140						0,376
40		0,906													150						0,328
50		0,869													160						0,290
60		0,827													170						0,259
70		0,782													180						0,233
80		0,734													190						0,210
90		0,665													200						0,191
100		0,599													210						0,174
110		0,537													220						0,160

Применив линейную интерполяцию, найдем значение коэффициента i ,

1

соответствующее гибкости	1 =92,57:
|	0,665	(0,665	0,599) 2,57	0,648.
1			10

Коэффициенты	и	|
1		1

76

существенно отличаются друг от друга,

следовательно, выбор неудачен, так как:

действительное напряжение в стойке равно

		F			780 103		90 МПа,
		A	8,66 10 3
	1
а допускаемое напряжение на устойчивость
|	R		0,648 200 0,9					116,6 МПа.
1	c
Следовательно, недогрузка				составляет			116,6 90			100% 22,8% 5%,
								116,6

что больше 5%, поэтому площадь нужно уменьшить.

Второе приближение. Принимаем

|

1 1

2 2

Тогда

0,5	0,648	0,574.
	2

			A			4,33 10			3			7,54 10 3			0,00754 м2,
						0,574
			2
			A													10,6
						0,00754							2
			2
a												0,107	м	,			99 .
	2		0,66			0,66									2	0,107

Использовав линейную интерполяцию, по табл. 13 найдем, что

	|	0,665	(0,665 0,599) 9	0,606 .
	2		10

В этом случае действительное и допускаемое напряжения соответственно равны:

		F		780 103	103,4	МПа,
		A	7,54 10 3
	2
|	R c		0,606 200 0,9			109 МПа,
2

т.е. недогрузка составляет 5,13%.

Третье приближение. Задаемся коэффициентом

		0,575			0,606		0,591;
		3
					2
A	4,33 10 3	4,33 10			3	7,326 10 3 0,007326 м2 ;
3		0,591
	3

							A3										10,6				10,6
					a3					0,007326				0,105 м;									100,95.
																	3
							0,66				0,66								a3		0,105
		Тогда коэффициент, соответствующий гибкости																	3 (табл. 13), равен
									|		0,599		(0,599			0,537)	0,95		0,593.
																10
									3
		Проверим выполнение условия устойчивости стойки:
		F			780 103				106,5 МПа						|	R c	0,593 200 0,9						106,7 МПа.
		A		7,326 10 3											3
	3
		Условие устойчивости выполняется,														недогрузка составляет 0,18%.
		Окончательно принимаем:												A	7,326 10 3 м2,				а=0,105м,
J		J			0,046 a4 0,0464(0,105)4								5,64 10 6 м4,				гибкость стойки						101.
	min			y																			max

4. Определение критической силы и коэффициента запаса устойчивости. Для данной стойки

max 101 пред 100,

следовательно, применима формула Эйлера для вычисления критической силы:

Fcr	2 EJ min		3,142 2 105	106 5,64 10	6	1408 кН.
	( )2	(1		2,8)2

Стойка будет работать с коэффициентом запаса устойчивости

K	Fcr	1408			2,17,
	Fn		650

что находится в пределах рекомендуемых значений .

Ответ: Размер сечения а=0,105 м; значение критической силы

F=1408кН; коэффициент запаса устойчивости К=2,17.

78

УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ

Задача 11

На плоскую раму (рис. 29) с высоты h падает груз G.

Исходя из условия прочности, подобрать диаметр поперечного сечения рамы.

Исходные данные взять из таблицы 14.

Порядок решения задачи 11

1.Вычертить расчетную схему рамы с соблюдением масштаба.

2.Определить реакции опор и построить эпюру изгибающего момента М от статически приложенной силы, равной весу падающего груза.

Найти опасное сечение.

3.Найти перемещение точки соударения по направлению падения груза под действием статически приложенной силы, равной весу груза G.

4.Записать условие прочности для опасного сечения при ударном нагружении и определить диаметр поперечного сечения стержня. Принять расчетное сопротивление материала изгибу R=210 МПа, коэффициент

условий работы		1.
		c
									Таблица 14
Номер	Схема	G,	h,	а,		Номер	Схема	G,	h,	а,
строки	стержня	Н	м	м		строки	стержня	Н	м	м
	рис. 29						рис. 29
1	1	400	0,2	1,2		6	6	300	0,2	1,4
2	2	100	0,6	1,0		7	7	900	0,5	1,8
3	3	700	0,3	1,6		8	8	500	0,3	2,0
4	4	200	0,4	1,3		9	9	600	0,7	1,5
5	5	800	0,8	1,7		0	0	1000	0,4	1,7
	е	г	д	е			е	г	д	е

1

6

2

7

3

8

4

9

5

0

Рис. 29

80

Пример 11. На плоскую раму (рис. 30), стержни которой имеют круглое

поперечное сечение, с высоты h падает груз весом G.

Требуется:

1.Определить реакции опор от статически приложенной силы G, равной весу падающего груза, и построить эпюру изгибающего момента М.

2.Найти перемещение точки соударения по направлению падения груза под действием статически приложенной силы G, равной весу груза.

3.Определить диаметр поперечного сечения стержня, исходя из условия прочности при ударном нагружении рамы.

			Рис. 30
Дано: G=100 Н;	h=0,4 м;	а=0,8 м; расчетное сопротивление материала
изгибу R=210 МПа,	модуль	продольной упругости материала E 2,05 105
МПа, коэффициент условий работы			1 .
			c

Решение

1. Определение реакций опор от статически приложенной силы G,

равной весу падающего груза (рис. 31), и построение эпюры изгибающего момента М. Запишем уравнения равновесия для грузового состояния: