3.Изгиб прямых брусьев

3.1.Краткие теоретические сведения

Плоским поперечным изгибом называют такой вид деформации стержня, при котором в его поперченных сечениях возникают два внутренних силовых фактора – поперечная сила Q и изгибающий момент M . Если в поперечном

сечении возникает только изгибающий момент, то такой изгиб называется чистым. Стержень с прямолинейной осью, испытывающий изгиб, называется

балкой.

Используя метод сечений, рассечем балку плоскостью и отбросим одну часть балки. Действие отброшенной части на оставшуюся заменим двумя силовыми факторами – поперечной силой Q и изгибающим моментом M .

Поперечная сила Q в произвольном сечении балки численно равна

алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения, на поперечную ось балки.

Изгибающий момент M в произвольном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов от внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения относительно его центра тяжести.

Правило знаков.

1.Поперечные силы считаются положительными, если они стремятся повернуть элемент по часовой стрелке (рис. 3.1,а).

2.Изгибающий момент считается положительным, если элемент бруса изгибается выпуклостью вниз (рис. 3.1,б).

а)	б)
	Рис. 3.1.

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, которые используют для контроля правильности построения эпюр Q и M .

	dQ	q ,	dM	Q ,	d 2 M	q .	(3.1)
	dz		dz		dz2

1. Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.

18

2.Если на участке поперечная сила Q 0 , то изгибающий момент возрастает. Если Q 0 , то изгибающий момент убывает.

3.Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила меняется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы. При этом парабола всегда обращена выпуклостью навстречу распределенной нагрузке.

4.Если поперечная сила Q на участке меняет знак с плюса на минус, то в

сечении, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент достигает максимального значения. Если поперечная сила Q на участке меняет знак с

минуса на плюс, то в сечении, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент достигает минимального значения.

5. В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, перпендикулярная к оси элемента, эпюра Q имеет скачок направленный в

сторону внешней силы и равный по модулю этой силе, а эпюра M – излом. 6. В сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент, эпюра M

имеет скачок на величину этого момента.

При прямом поперечном изгибе прямого бруса в его поперечных сечениях возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 3.2).

y

b/2

b/2

h/2

h/2

z	x

Рис. 3.2.

Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяют по формуле

	M x y ,	(3.2)
	I x

19

где M x – изгибающий момент в рассматриваемом сечении; y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой вычисляется напряжение; I x – осевой

момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и достигают наибольших значений в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси

				max M x		ymax .		(3.3)
		I x		I x
	Отношение		Wx	называется осевым моментом сопротивления при
		ymax
	изгибе.
	Условие прочности при изгибе имеет вид
				max M max .				(3.4)
				Wx
	Касательные напряжения в любой точке поперечного сечения определяют
	по формуле Журавского				Qy Sx*
							,	(3.5)
						I xb
	где Qy – поперечная		сила	в рассматриваемом сечении; Sx*				– статический

момент отсеченной части площади сечения относительно нейтральной оси;	I x	–
осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси;	b	–
ширина поперечного сечения на уровне рассматриваемой точки.
Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид
max .	(3.6)

3.2 Пример решения задачи 4

Условие задачи. Известны размеры балки и внешняя нагрузка. Требуется определить опорные реакции, построить эпюры поперечных сил Q и

изгибающих моментов M x , вычислить величину M x в опасном сечении. Исходя из условия прочности по нормальным напряжениям в опасном

сечении балки подобрать размеры сечений в пяти альтернативных вариантах. В
первом варианте – двутавровое сечение		( 160		МПа), во втором –	два
симметрично	расположенных швеллера	( 160		МПа), в третьем –	два
неравнополочных уголка ( 160 МПа),			в	четвертом – труба	из
алюминиевого	сплава ( 130 МПа),	в	пятом – деревянный брус с
прямоугольным профилем ( 12 МПа).

20

	Решение. Для балки, показанной на рис. 3.3, дано: длина					l 0,8 м,
равномерно		распределенная	нагрузка	q 25 кН/м,	отношения	P 1,2 ,
M						ql
	1,3. Откуда P 1,2ql , M 1,3ql 2 .
ql 2
	Рис. 3.3. Схема балки, эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Выбираем направления опорных реакций R1 ,					R2 и находим их из двух
уравнений равновесия в моментах всех сил относительно точек a и b :
ma 0 , R2 3l q 2l l M P 4,5l 0 ,
R	q 2l l M P 4,5l		2ql2	1,3ql 2	1,2ql 4,5l	2,03ql . (3.7)
2	3l			3l

mb 0 , R1 3l q 2l 2l M P 1,5l 0 ,

21

R	q 2l 2l	M P 1,5l			4ql 2 1,3ql 2 1,2ql 1,5l	1,17ql
1		3l			3l
Для проверки полученных результатов целесообразно составить
уравнение равновесия в проекциях всех сил на вертикальную ось y :
			Y 0 , R1 R2 2ql P 0 .				(3.8)
Подстановка		значений R1 ,			R2 по формулам (3.7) в уравнение		(3.8)

приводит к выводу о том, что проверка сходится:

1,17ql 2,03ql 2ql 1,2ql 3,2ql 3,2ql 0 . (3.9)

Приступаем к определению Q и M x на всех трех участках балки, вводя координаты z1 , z2 , z3 проведенных сечений.

Участок 1:

Q R

qz 1,17ql qz ,

M

R

z

qz2

1,17qlz

qz2

.

(3.10)

x

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

Следует найти вначале значения Q и M x на границах участка:

при z1 0

Q 1,17ql ,

M x 0 ,

1,17ql 2l q 2l 2

при z 2l

Q 1,17ql

2ql 0,83ql , M

x

0,34ql 2 .

1

2

M x

от z1 –

В силу того, что

график

функции

параболический,

необходимо исследовать данную функцию на экстремум, применяя условие:

при z1 zэкс Q 0

и M x M экс . Пользуясь формулами (3.10), получаем:

1,17ql qzэкс

0 ,

zэкс

1,17l ,

qz2

M экс 1,17ql zэкс

экс

0,684ql 2 .

(3.11)

Участок 2:

2

Q P 1,2ql , M x

P z2 1,2ql z2 ,

(3.12)

при z2 0

M x 0 ,

при z2 1,5l

M x 1,2ql 1,5l 1,8ql2 .

Найденных значений Q и M x достаточно для построения эпюр на втором

участке, поскольку здесь Q не меняется, а M x – линейная функция от z2 .

Участок 3:

Q P R2 1,2ql 2,03ql 0,83ql ,

M

x

P (1,5l z

3

) R

2

z

3

0,83ql z

3

1,8ql 2

(3.13)

при z3 0

M x 1,8ql 2 ,

при z3 l

M x 0,83ql 2 1,8ql 2 0,97ql 2 .

Оценивая достоверность расчетов, отмечаем следующее.

Скачок на

эпюре изгибающих моментов составляет величину 0,34ql2 0,97ql 2

1,31ql 2 , а

22

сосредоточенный момент в данном сечении M 1,3ql 2 . Расхождение в третьем

знаке допустимо, поскольку весь расчет произведен с точностью до трех значащих цифр. Скачок на эпюре Q , равный величине 1,2ql 0,83ql 2,03ql ,

полностью совпадет с найденным значением опорной реакции R2 . Наконец, возрастания и убывания функций Q и M x от z логически увязываются с дифференциальными зависимостями:

	dQ	q ,	dM	x Q ,	d 2 M	x q .	(3.14)
	dz		dz		dz2
	Завершаем расчеты вычислением изгибающего момента в опасном
	сечении: M x 1,8ql 2 1,8 25 0,82			28,8 кН·м.
	Известно значение изгибающего момента в опасном сечении M x 28,8
	кН·м. Последовательно рассматриваем каждую форму сечения.
	Двутавровая балка по		ГОСТ 8239 – 89. Допускаемое				напряжение
	160 МПа.
	Из условия прочности max M x				, где Wx – момент сопротивления
				Wx

сечения, находим минимальное значение Wx :

Wx	M		x			28,8 103		1,8 10		4		3	3
						160 106					м		180 см .	(3.15)
При желании выбрать балку берем из таблицы ГОСТа Wx 184 см3 для
двутаврового сечения №					20. При этом
max		M			x		28,8 103		156 106			Па 156 МПа.		(3.16)
							184 10	6
		Wx

Два симметрично расположенных швеллера по ГОСТ 8240 – 97.

Допускаемое напряжение 160 МПа.

Полагая, что швеллеры поровну воспринимают внешнюю нагрузку, делим пополам известное значение изгибающего момента: M x1 28,8/ 2 14,4

кН·м. Затем находим из условия прочности:

Wx	M	x		14,4 103		5	3	3
				160 106	9 10		м	90 см .	(3.17)

При желании выбрать балку берем Wx 93,2 см3 для швеллера № 16. При

этом

max	M	x	14,4	103	154,5 106	Па 154,5 МПа.	(3.18)
			93,2 10 6
	Wx

Два симметрично расположенных неравнополочных уголка по ГОСТ 8510

– 86. Допускаемое напряжение 160 МПа.

23

Исходя из прежнего условия прочности (3.17) и необходимого значения Wx , принимаем уголки 180x110x12 при Wx 93,3 см3.

Труба из алюминиевого сплава. Допускаемое напряжение 130 МПа,

соотношение между внутренним и внешним диаметрами d / D 0,9 .

Подстановка Wx		Wx	D3		d 4
	по формуле		32	1					в условие прочности
						D

max M x дает возможность вычислить необходимое значение внешнего

Wx

диаметра трубы:

D 3	32M x					3	32 28,8 103
							3,14 130 106 1 0,94 0,187 м.	(3.19)
		d		4
	1		D
В результате имеем: D 187							мм, d 0,9D 0,9 187 168 мм.

Деревянная балка с прямоугольным поперечным сечением. Допускаемое напряжение 12 МПа, отношение высоты сечения к его ширине h / b 2 .

Подстановка Wx по формуле Wx bh62 b 26b 2 23b3 в прежнее условие прочности приводит к расчету:

	3M		3	28,8 103
b 3	x	3		12 106	0,153 м, b 153 мм, h 2b 306 мм. (3.20)
	2		2

24