Раздел 3 РАСЧЁТЫ ПРИ КРУЧЕНИИ

Кручение возникает в элементах конструкций при таких воздействиях, которые можно схематизировать только скручивающими моментами. Такой брус в технике называют валом. Обычно эти элементы имеют вид прямого бруса как постоянного, так и переменного сечения. Например, испытывают кручение валы механических передач, несущие зубчатые колёса и другие детали передач; коренные валы машин, которые несут рабочие органы машин (колёса турбин, кривошипы и др.); валы двигателей и станков; оси автомобилей, моторных вагонов и локомотивов. Также подвергаются скручиванию и элементы пространственных конструкций (в частности, пространственных рам).

При составлении схем расчёта вала необходимо учитывать вид внешнего воздействия и способ присоединения (или опирания). Чаще способ крепления валов такой, что препятствует как линейному перемещению, так и угловому (т. е. повороту опорного сечения), поэтому на схеме вала изображается жёсткая заделка (защемление). По количеству защемлений схемы валов могут быть статически определимыми (вал с одной заделкой) и статически неопределимыми (вал с двумя и более заделками).

Вданном пособии приведены расчёты круглых ступенчатых валов, имеющих одну или две жёсткие заделки при действии сосредоточенных и распределённых моментов; выполнены расчёты как на прочность, так и на жёсткость. Рассматривается решение следующих задач:

Задача 12. Проектный расчёт ступенчатого вала.

Задача 13. Проектный расчёт ступенчатого статически неопределимого вала.

Задача 14. Проверочный расчёт ступенчатого вала.

Задача 15. Проверочный расчёт ступенчатого статически неопределимого вала.

Вкаждой из этих задач требуется выполнить расчёт на прочность, в котором оценивается сопротивление вала внешним воздействиям. От воздействия внешних скручивающих моментов в сечениях вала возникает только крутящий момент, который вычисляется, как и любое внутреннее усилие, методом сечений (с помощью правила РОЗУ: Разрезать, Отбросить, Заменить, Уравновесить). Для вычисления крутящего момента составляют уравнение равновесия отсечённой части вала в виде суммы мо-

84

ментов всех внешних нагрузок и внутреннего крутящего момента относительно оси вала:

∑ мом z = 0.

(3.1)

Для моментов используем известные общепринятые правила знаков: при взгляде на сечение внешние моменты, приложенные к рассматриваемой отсечённой части, считаем положительными, если они направлены против хода часовой стрелки, и положительный внутренний крутящий момент Мкр – по часовой стрелке. Таким образом, внешние и внутренние моменты действует навстречу и компенсируют друг друга. Положительные направления моментов показаны на рис. 3.1, а, на котором изображена схема вала в общем виде. На схеме сосредоточенный момент М приложен в начале вала, а по всему валу действует распределённый момент интенсивности m.

Уравнение равновесия (3.1) для отсечённой части вала принимает вид (рис. 3.1, б):

Mкр mz M 0 .
Отсюда получаем формулу крутящего момента
Mкр M m z .	(3.2)

а

б

в

г

Рис. 3.1

85

Как видно, крутящий момент Мкр в сечении равен алгебраической сумме моментов относительно оси z всех внешних моментов, действующих по одну стороны от рассматриваемого сечения. Подтверждается закономерность: положительные внешние моменты создают положительный

внутренний крутящий момент. Вычислим значения Mкр в начале участка (при z = 0) и в конце участка (при z = l). Получим Mкр(0) M и Mкр(l) M ml . Отложив полученные значения, построим эпюру Мкр

(рис. 3.1, в), которая будет нарастающей от свободного края по линейному закону. Подставляя в (3.2) цифровые значения внешних моментов реального вала, можно получить для него соответствующие значения момента Мкр. При вычислении момента Мкр рекомендуем следующие методические приёмы:

1.Крутящий момент в сечении лучше брать положительного направления (по часовой стрелке), тогда получаем его значение с истинным знаком.

2.Для вала с заделкой крутящий момент проще вычислять, рассматривая отсечённую часть со стороны свободного края, тогда не обязательно определение опорного момента в заделке.

По формуле крутящего момента (3.2) хорошо прослеживается влияние сосредоточенного и распределённого моментов на значение момента

Мкр, поэтому при изображении эпюры Мкр необходимо помнить: вопервых, на участке, где нет распределённого момента ( m 0 ), крутящий

момент Mкр const , и на эпюре Mкр будет прямая, параллельная оси; во-

вторых, на участке с распределённым моментом (m ≠ 0) крутящий момент Mкр изменяется линейно, и на эпюре Mкр – наклонная прямая, причём при

m > 0 крутящий момент растёт, при m < 0 крутящий момент уменьшается. Значения моментов Mкр необходимы для выполнения дальнейших расчётов

вала на прочность и на жёсткость.

Так как работа элементов деталей машин и механизмов на кручение допускается в пределах упругих деформаций, то для расчёта вала на прочность используют условие прочности по допускаемым напряжениям, которое при кручении имеет вид

τmax τ ,

(3.3)

где max модуль наибольшего касательного напряжения в сечении вала,

для вала круглого сечения max возникает в точках сечения у поверхности вала (рис. 3.2, а) и определяют по формуле

τmax	Мкр	,	(3.4)
	Wρ

86

в которой Мкр крутящий момент в рассматриваемом сечении;

Wρ πd3 (1 c4 ) – полярный момент сопротивления круглого сечения с со-

16

отношением внутреннего диаметра к наружному, равным с; τ допус-

каемое напряжение для материала вала.

Согласно условию прочности напряжения max не должны превышать допускаемого напряжения τ .

а

б

Рис. 3.2

В задачах КР и РГЗ рассматриваются ступенчатые круглые валы, имеющие несколько грузовых участков разного диаметра и различного характера нагрузки, поэтому условие прочности (3.3) записываем в виде

			Mкр
τ					[τ].	(3.5)
			W
	max
			ρ	max

Сечение вала, в котором касательные напряжения max принимает наибольшее по модулю значение, является опасным. Условие прочности (3.5) позволяет выполнять три вида расчётов:

проверочный (проверка прочности вала);

проектный (назначение диаметра вала);

определение несущей способности (вычисление допускаемого значения внешних моментов).

В рассмотренных ниже задачах выполняются первые два вида расчётов.

При работе машин и сооружений сечения валов получают угловую деформацию (рис. 3.2, б) − угол поворота сечения φ (или угол закручивания вала), который не должен превышать определённого значения, поэтому условие жёсткости вала имеет основополагающее значение для его успешной работы. Ввиду этого в задачах на кручение обязательна проверка жёсткости вала по условию жёсткости, которое записывают в виде двух выражений:

87

(1 c4 ).

θ max θ иφmax φ ,

(3.6)

где θmax и φ max – наибольшие по модулю значения соответственно относительного и абсолютного углов закручивания вала; θ и φ – значения допускаемых относительного и абсолютного углов закручивания вала. Значение θmax для ступенчатого вала определяется как

			Mкр
θ					.	(3.7)
	max		GI
				ρ max

При вычислениях необходимо помнить, что при расчёте в системе СИ получаем абсолютный угол закручивания φ в радианах, а относитель-

ный θ − в рад/м. Величина φ max выбирается по эпюре φ, которая обяза-

тельно выполняется при проверке жёсткости вала. Сначала вычисляют углы закручивания участков вала по формуле

l M

φ кр d z, (3.8)

0 GIρ

где l – длина участка вала; G – модуль упругости второго рода или модуль сдвига, для стали G = 0,8·105 МПа; Iρ – полярный момент инерции кругло-

го сечения, Iρ πd 4

32

Если крутящий момент на рассматриваемом участке постоянный, то

угол закручивания участка Δφ Mкр l . Как видно, угол закручивания за-

GI

висит обратно пропорционально от значения GIρ , которое поэтому назы-

вают жёсткостью сечения при кручении.

Из-за угловых деформаций отдельных участков вала происходит реальный поворот сечения на угол φ (рис. 3.2, б), который для вала называют углом закручивания вала, он является суммой угловых деформаций Δφ предшествующих участков. Поэтому запишем угол поворота сечения в виде

l	i
φi = φi–1 +Δφi = φi–1 + i	M кр	d z .	(3.9)
	i
0	GIρ

Поясним вычисление на нашем примере (рис. 3.1). Угол закручивания заделки φА равен 0, а сечение свободного края вала повернулось на угол φ, который найдём по формуле

88

		l	M	кр		1		z	2			l		1		ml	2
φ= φA φ 0		0			dz		Mz m								Ml			.	(3.10)
								2
			GIρ			GIρ						0		GIρ		2

Видно, что при наличии распределённого момента для угла φ име-

ем функцию 2-го порядка по отношению к переменной z, значит, величина угла изменяется вдоль вала по квадратичной зависимости от z (по квадратичной параболе). Тогда эпюра φ будет криволинейной, и нужно правильно изобразить форму кривой. Если нет распределённого момента, эпюра φ будет наклонной прямой. Чтобы уточнить форму кривизны квадратичной параболы, нужно знать угол наклона касательной к получаемой кривой, который равен производной по z от функции угла φ, т. е.

tgα dφ Mкр M mz . dz GIρ GIρ

Как видно из последнего выражения, закон изменения наклона касательной к кривой повторяет закон изменения момента Мкр, поэтому эпюра Мкр всегда позволяет определить наклон кривой φ: в рассматриваемом примере (рис. 3.1, г) эпюра углов закручивания φ будет нарастающей от заделки по кривой 2-го порядка, и выпуклость обращена вверх.

Эпюра φ наглядно показывает изменение угла поворота сечения вдоль вала и позволяет выбрать наибольшее значение φmax, которое необходимо для составления второго условия жёсткости (3.6) по φ. Оба условия жёсткости (3.6) позволяют выполнять те же три вида расчётов, что и условие прочности. Поэтому, когда условие жёсткости для рассматриваемого вала не соблюдается, по нему определяют требуемые величины.

Для контроля работоспособности круглых валов нужно иметь в виду, что в поперечном сечении возникают только касательные напряжения (рис. 3.2, а), а на любом наклонном к оси направлении действуют и нормальные, и касательные напряжения. Чтобы показать это, нужно сначала выделить прямоугольный элемент на поверхности вала, по граням которого действуют касательные напряжения = max (рис. 3.3, а). Как известно, это чистый сдвиг. Если рассечь элемент наклонной плоскостью и составить условия равновесия полученного треугольного элемента (рис. 3.3, б), то получаем нормальные и касательные напряжения, действующие на этой площадке:

σα τ sin 2α; τα τ cos 2α.

Площадка под углом α = 45º является особенной: напряжения на ней τα = 0 и σα = . На этой площадке будут только нормальные напря-

89

жения: при = +45º – растягивающие σ1 =σα = + , а при = –45º – сжимающие: σ2 = σα = – . Так, имеем одновременное растяжение и сжатие по

двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 3.3, в). Эти площадки являются главными, т. к. на них отсутствуют касательные напряжения. Характер разрушения вала зависит от способности данного материала сопротивляться действию и нормальных и касательных напряжений.

а

б

в

Рис. 3.3

Приведём вид разрушения валов, выполненных из трёх, наиболее распространённых материалов: дерева, стали и чугуна (рис. 3.4).

Деревянный вал претерпевает скалывание продольных волокон относительно друг друга: появляются трещины вдоль образующей. Это происходит вследствие того, что древесина хуже сопротивляется сдвигу (воздействию касательных напряжений τ), чем растяжению и сжатию (воздействию нормальных напряжений σ).

а	Разрушение при кручении:
	а – деревянного вала;
	б – чугунного вала;
б	в – стального вала
в

Рис. 3.4

Чугунный вал разрушается по винтовым плоскостям, ориентированным под углом 45º к оси бруса. Объяснить такое разрушение можно

тем, что чугун хорошо сопротивляется сжимающим напряжениям σ2 = – , плохо сдвигающим касательным , и хуже всего – растягивающим σ1 = + .

90

В результате по плоскости, перпендикулярной растягивающим нормальным напряжениям σ1 = + (под углом ~α = 45º к оси вала), образуется раз-

рыв по наклонному направлению к оси вала – появляется трещина под углом ~ 45º к оси вала.

Стальной вал срезается по поперечному сечению, где действуют наибольшие касательные напряжения , т. к. сталь хуже всего сопротивляется касательным напряжениям.

Чтобы закрепить знание о напряжённом состоянии при кручении, в РГЗ и КР при расчёте вала можно предусмотреть указывать главные напряжения и описывать место и характер возможного разрушения для разных материалов.

Задача 12 Проектный расчёт ступенчатого вала

Для стального вала заданной конфигурации известны внешние скручивающие моменты (рис. 3.5, а): сосредоточенный момент M 0,6 ml , ин-

тенсивность распределённого скручивающего момента m 1,2 кН·м/м = 1,2 кН, длина l 0,2 м.

Требуется

1.Построить эпюру крутящих моментов M кр .

2.Составить выражения для касательных напряжений max по всем

участкам вала, используя указанные на схеме значения диаметров сечения через неизвестную величину d .

3. Установить наибольший модуль напряжений max и составить ус-

ловие прочности вала по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение d при допускаемом напряжении 100 МПа и

назначить диаметры всех участков вала, соблюдая указанное соотношение между ними.

4. Вычислить значения касательных напряжений max по участкам

вала и построить эпюру распределения касательных напряжений по длине вала (эпюру ).

91

а

б

в

г

д

е

ж

Рис. 3.5

92

5.Вычислить относительные углы закручивания по участкам вала

иабсолютные углы поворота характерных сечений, считая модуль упру-

гости G 0,8 105 МПа. Построить эпюры относительных углов закручивания и абсолютных углов поворота . Проверить жёсткость вала при допускаемых 2 /м и 0,5 . Если условие жёсткости не удовлетво-

ряется, то назначить новые диаметры.

Сечение на участке с большим диаметром принять в виде кольца, для которого соотношение внутреннего и наружного диаметров считать рав-

ным 0,5.

Решение

1. Построение эпюры крутящих моментов

Значения крутящих моментов M кр вычислим методом сечений, рас-

сматривая отсечённые участки со свободного края. При этом крутящий момент в сечении всегда изображаем положительным, т. е. направленным по часовой стрелке (при взгляде на это сечение).

Вал состоит из 3 участков. Уравнение равновесия при кручении (3.1) представляет собой равенство нулю суммы моментов относительно оси вала, т. е. мом z 0 .

Записывая уравнение (3.1) последовательно для всех участков (рис. 3.5, б), получим крутящие моменты:

			M кр1	M 0,6 ml ;
M 2	M mz		0,6 ml	mz		z2	0	0,6 ml;
кр		2			2	z2	2l	0,6 ml m 2l 1,4 ml;
M кр3	M m 2l 2M 3M m 2l 3 0,6 ml 2 ml 0,2 ml .

По этим значениям построим эпюру M кр (рис. 3.5, в).

На участке 2 эпюра крутящих моментов пересекает нулевую линию в точке K . Определим координату точки пересечения z2K :

M кр2 0,6 ml mz2K 0 .

Тогда

z2K 0,6mml 0,6 l .

93

2. Вычисление касательных напряжений

Касательные напряжения max вычислим по формуле

	max	M кр	,	(3.9)
		W
	где M кр – крутящий момент в рассматриваемом сечении; W			– полярный

момент сопротивления этого сечения.

Для сплошного круглого сечения W 16d 3 , для кольцевого сечения

W 16d 3 1 c4 , где c 0,5 – соотношение внутреннего и внешнего диа-

метров.

Составим выражения максимальных касательных напряжений max

для всех участков вала по (3.9). Используем указанные на схеме значения диаметров сечения через неизвестную величину d .

Для 1-го участка сечение кольцевое с внешним диаметром 2d , по-

этому

Mкр1

0,6 ml 16

0,6 ml 16

1,28 ml

.

max1

W

1

1

3

4

d 3

d 3

1 c4

2d

1

0,5

Участок 2,

на котором сечение круглое диаметром d , имеет напря-

жение

0,6 ml 16

1,28 ml

Mкр2 0,6 ml mz2 16

z2 0

;

max 2

d3

d3

W

d3

z2 2l

1,4 ml 16

22,4 ml

2

2

d3

d3 .

На участке 3 сечение кольцевое с внешним диаметром 3d , поэтому

Mкр3

0,2 ml 16

0,2 ml

16

0,1264 ml

.

max 3

W

3

3

3

4

d3

d 3

1 c4

3d

1

0,5

3. Составление условия прочности и подбор диаметров

Условие прочности вала при кручении по допускаемым напряжениям по (3.4) имеет вид

	τmaxmax		Mкр		τ ,
			W
			ρ	max

94

где τmaxmax – наибольшее по модулю значение касательных напряжений max ,

которое выбираем из полученных значений. Получаем

max 22,4 ml .

max d 3

Подставим maxmax в условие прочности: 22,4 ml ,

d 3

где – допускаемое касательное напряжение. Отсюда найдём требуемое значение d :

d 3	22,4 ml			3	22,4 1,2 103	0,2	0,0258 м 2,58 см.
					100 106

Округляя в большую сторону, принимаем d 2,6 см. Далее назнача-

ем диаметры всех участков вала, соблюдая указанные соотношения между ними:

d1 2d 2 2,6 5,2 см; d2 d 2,6 см; d3 3d 3 2,6 7,8 см.

4. Вычисление значений касательных напряжений

Используя полученные выше выражения τmax , подсчитаем касательные напряжения по участкам вала:

		τ					1,28 ml					1,28 1,2 103 0,2			5,56 10			6	Па		5,56 МПа;
				max1			π d3						π 0,026 3
		z2	0				1,28 ml						1,28 1,2 103		0,2		5,56 106 Па 5,56 МПа;
							d	3						0,026 3
max 2
							22,4 ml					22,4 1,2 103 0,2
		z2			2l											97,36		10		6	Па 97,36 МПа;
							d	3						0,026 3
					0,1264 ml					0,1264 1,2 103 0,2 0,55 106											Па 0,55 МПа.
	max 3						d3						0,026 3

Откладывая полученные значения от базисной линии, построим эпюру распределения касательных напряжений по длине вала − эпюру

(рис. 3.5, г).

95

5. Вычисление углов закручивания и проверка жёсткости

Относительные и абсолютные углы закручивания по участкам вала вычислим по следующим формулам:

		M кр	l	M кр	d z ,
			;			(3.10)
		GI		GI
			0

где G – модуль упругости второго рода или модуль при сдвиге; I – полярный момент инерции сечения; l – длина участка вала.

Для сплошного круглого сечения I 32d 4 , для кольцевого сечения

I 32d 4 1 c4 , где c 0,5 – соотношение внутреннего и внешнего диа-

метров.

На 1-м участке, где сечение кольцевое диаметром 5,2 см, по (3.10) находим

			M кр1				0,6 ml			32					0,6 1,2 103 0,2 32
	1		G1I 1			G d14 1 c4								0,8 1011 0,052 4					1 0,54
			0,002675 рад 0,002675													180		0,153	/ м;
					l		Mкр1				Mкр1 l
			1						d z1						0,153			0,2 0,031 .
							G I	1			GI		1
					0		1

На 2-м участке сечение круглое диаметром 2,6 см, по (3.10) получим

					M кр 2					0,6 ml mz2 32							z2	0		0,6 ml 32
		2																			G d24
													G d24							1,4 ml 32
				G2 I 2													z2	2l
																					G d24
z		0		0,6			1,2				103		0,2 32		0,040122					180			2,299 / м;
	2				0,8 1011						0,026 4
z		2l			1,4	1,2 103						0,2 32			0,093617				180			5,364		/ м;
	2				0,8	1011						0,026 4
								2l		M кр 2			2l	0,6 ml mz2						32
			2										d z2					4					d z2
									G2 I 2
							0						0		G d2

96

	0,6 ml z2						0,5 mz22 32								2l				0,6 ml 2l2 0,5 m 2l 2 32
				G d24											0							G d24
	0,8 ml 2 32								0,8 1,2 103				0,22							32			180
		G d24								0,8 1011			0,026 4 0,010699											0,613 /м.
На 3-м участке имеем сечение кольцевое диаметром 7,8 см, по (3.10)
получим
				M кр3						0,2 ml 32												0,2 1,2 103	0,2	32
		3		G3 I 3				G d34 1 c4												0,8 1011 0,078 4 1 0,54
										0,000176						180					0,010 / м;
								l		M кр3		d z3	M кр3							l
				3																		0,010 0,2 0,002 .
										G I	3			GI					3
							0		3

Определим углы поворота характерных сечений, обозначив сечения буквами A , B , C , D . Так как точкаA находится в заделке, A 0 ; далее

используя формулу (3.7), найдём углы поворота следующих сечений:

B 3 0,002 ; C 3 2 0,002 0,613 0,615 ;

D 3 2 1 0,002 0,613 0,031 0,584 .

Согласно линейному закону изменения крутящих моментов на 2-м

участке имеем пересечение нулевой линии при zK

0,6ml 0,6l . В этом

2

m

сечении наблюдается экстремальный угол закручивания φ K ,

значения ко-

торого нужно найти. Сначала вычислим угол закручивания участка CK:

0,6 l

M кр 2

d z2

0,6 ml z2

0,5 mz22 32

0,6 l

CK

0

G

d24

0

G2 I 2

0,6 ml 0,6 l 0,5 m 0,6 l 2 32

0,18 ml 2

32

G d24

G d24

0,18 1,2 103 0,22

32

0,002407

180

0,138 / м.

0,8 1011 0,026

4

Далее найдём угол поворота сечения K, используя формулу (3.7):

97

K C CK 0,615 0,138 0,753 .

По полученным значениям построим эпюры относительных углов закручивания и абсолютных углов поворота сечений (рис. 3.5, д, е).

Выберем из полученных значений и наибольшие по модулю:

max 5,364 / м; max 0,753 .

Теперь проверим вал по условиям жёсткости (3.5), по которым должно быть следующее:

max и max .

В нашем случае имеем

5,364 / м 2 / м и 0,753 0,5 .

Как видно, условие жёсткости не выполняется. Необходимо назначить новые диаметры из условия жёсткости (3.5). Удобно вычислять через относительные углы закручивания, поэтому условие жёсткости в нашем случае выглядит так:

Отсюда
d 4	1,4 ml 32	4
	G π θ

Принимаем d 3,4

вала:

d1 2d 2 3,4 6,8

max 1,4 ml 32 .

G d 4

1,4 1,2 103 0,2π 32 0,03327 м 3,327см. 0,8 1011 π2180°

см и окончательно назначаем диаметры участков

см; d2 d 3,4 см; d3 3d 3 3,4 10,2 см.

Задача 13 Проектный расчёт ступенчатого статически неопределимого вала

Стальной ступенчатый вал заданной конфигурации имеет жёсткие защемления с торцов (рис. 3.6, а). Известны внешние скручивающие моменты, для которых M 1,25 ml; m 1,2 кН·м/м = 1,2 кН; длина l 0,2 м.

98

а

б

в

г

д

е

Рис. 3.6

99

Требуется

1.Используя уравнение равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных моментов, возникающих в жёстких заделках.

2.Построить эпюру крутящих моментов M кр.

3.Составить выражения для касательных напряжений max по всем

участкам вала, используя указанные на схеме значения диаметров сечения через неизвестную величину d .

4. Установить наибольший модуль напряжений max и составить усло-

вие прочности вала по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение d при допускаемом напряжении τ 80 МПа и назначить

диаметры всех участковвала, соблюдаяуказанноесоотношениемежду ними. 5. Вычислить значения касательных напряжений max по участкам

вала и построить эпюру распределения касательных напряжений по длине вала (эпюру ).

6.Вычислить относительные углы закручивания по участкам вала

иабсолютные углы поворота характерных сечений, считая модуль упру-

гости G 0,8 105 МПа. Построить их эпюры. Проверить жёсткость вала при допускаемых 2 /м и 0,5 . Если условие жёсткости не удов-

летворяется, то назначить новые диаметры.

Сечение на участке с большим диаметром принять в виде кольца, для которогосоотношениевнутреннегоинаружногодиаметровсчитатьравным0,5.

Решение

1. Нахождение реактивных моментов

Обозначим реактивные моменты, возникающие в жёстких заделках, M A и MC (рис. 3.6, а). Их величины должны удовлетворять уравнению

равновесия всего вала, которое при кручении записываем по (3.1):

M A M MC 0 .	(3.11)
Как видно, это уравнение содержит два неизвестных M A	и MC , по-

этому вал является статически неопределимым. Для нахождения M A и MC необходимо составить еще одно уравнение – уравнение перемещений.

При кручении уравнение перемещений записывают через углы закручивания участков . Данный вал состоит из двух участков, поэтому

1 2 0,

(3.12)

где для 1 и 2 используем выражения (3.10).

100

Итак, величины реактивных моментов найдём, используя уравнение равновесия (3.11) и уравнение перемещений (3.12).

Необходимые выражения крутящих моментов для всех участков вала (рис. 3.6, б) получим из уравнений равновесия отсечённых частей:

M кр1 M A ; Mкр2 M A M.

Далее запишем по (3.10) углы закручивания:

1

Mкр1 l1

M

A

2l

; 2

Mкр2

l2

M

A

M l

.

GI 1

GI 2

GI 2

GI 1

Здесь полярные моменты инерции сечения участков принимают следующие значения:

I 1	d 4	1 c	4		d 4	1 c	4	; I 2		d	4		0,7d 4	.
	32				32					32			32
	1									2

Подставляя найденные величины в (13.2), получим уравнение перемещений:

	M A 2 l 32				M A M l 32		0.
	G d 4 1 c4				G 0,7d 4
После сокращения имеем				M A M
	M A 2
	1 c4				0,7 4	0

или

6,298 M A 4,165 M 0.

Вычислим из этого уравнения реактивный момент

MA 4,1656,298M 0,661M 0,6611,25ml 0,826ml 0,826 1,2 103 0,2 198,4 Н м.

Второй реактивный момент можно не вычислять, его значение получится при построении эпюры крутящих моментов.

2. Построение эпюры крутящих моментов

Подставив найденный момент M A в выражения крутящих моментов по участкам, получим:

Mкр1 M A 0,826 ml 198,4 Н м;

101

Mкр2 MA M 0,826ml 1,25ml 0,424ml 0,424 1,2 103 0,2

101,6 Н м.

Откладывая эти значения от базисной линии на рис. 3.6, в, построим эпюру крутящих моментовMкр.

3. Нахождение выражений для касательных напряжений.

Вычислим касательные напряжения по (3.9), для которых полярные моменты сопротивления W участков вала запишем согласно заданным

значениям диаметров сечения через величину d :

W	d13	1 c4	d 3	1 c4 ; W	d23		0,7d 3	.
1	16	16		2	16	16

Максимальные касательные напряжения τmax по участкам получают следующие выражения:

max 1

M

кр1

0,826 ml 16

14,097 ml

;

W 1

d 3 1

0,54

d 3

max 2

M кр 2

M

A

M 16

0,424 ml 16

19,778 ml

.

d33

0,7d 3

d 3

W 2

4. Составлениеусловияпрочностииопределениеразмеровсечения

Из полученных значений касательных напряжений выбираем наибольшее по модулю и составим условие прочности по (3.4):

19,778 ml .

d 3

Найдём из этого условия требуемое значение d:

	d 3	19,778 ml	3	19,778 1,2 103 0,2	0,0266 м 2,66 см.
				80 106

Принимаем d 2,7 см. Назначаем диаметры всех участков вала, соблюдая указанные соотношения между ними:

d1 d 2,7 см; d2 0,7d 0,7 2,7 1,9см; d3 3d 3 3,4 10,2 см.

102

5. Вычисление значений касательных напряжений

Вычислим значения касательных напряжений max по участкам вала, используя полученные выражения:

				14,097 ml			14,097 1,2 103	0,2		54,71 10	6		Па 54,71 МПа;
	max 1			d3			0,027 3
max 3		19,778 ml				19,778 1,2 103 0,2			76,76 10			6	Па 76,76 МПа.
			d 3				0,027 3

Откладывая полученные значения в масштабе на рис. 3.6, г, построим эпюру распределения касательных напряжений по длине вала (эпюру ).

6. Вычисление углов закручивания

Вычислим относительные углы закручивания и углы закручивания участков вала по записанным выражениям.

Участок 1 имеет сечение кольцевое диаметром 2,7 см, поэтому

			M кр1										0,826 ml 32																	0,826 1,2 103		0,2 32
	1				1		1											1	1
			G I							G							d	4				c	4							11		4	1	0,5		4
																													0,8 10		0,027
															0,050661											180				2,90 / м;
									1					M кр1 2l													2l 2,90 2 0,2 1,16 .
																	G1I 1							1
Для 2-го участка, где сечение круглое диаметром 1,9 см,
		θ					Mкр2								0,424 ml 32															0,424 1,2 103		0,2 32
				2			G2 Iρ2									G		π	0,7d 4											0,8 1011 π 0,019 4
														0,101541											180					5,82 / м;
								2								Mкр2			l	2						l 5,82 0,2 1,16 .
																	G2 I 2

Определим углы поворота характерных сечений по (3.7), обозначив сечения буквами A, B , C . Так как точкаA находится в заделке, то

A 0 ; B 1 1,16 ; C 1 2 1,16 1,16 0 .

103

Угол поворота в сечении C оказался равным нулю, поскольку это сечение находится в заделке. По полученным значениям построим эпюры относительных углов закручивания и абсолютных углов поворота ха-

рактерных сечений (рис. 3.6, д, е).

7. Проверка вала по условиям жёсткости

Выберем из полученных значений наибольшие по модулю:

max 5,364 / м и max 1,16 .

Проверим вал по условию жёсткости (3.5), в нашем случае имеем:

5,82 / м 2 / м;

1,16 0,5 .

Условие жёсткости не выполняется. Необходимо назначить новые диаметры из условия жёсткости, которые запишем через относительные углы закручивания:

			0,424 ml 32	.
	max		G 0,7d 4

Отсюда

d 4	0,424 ml 32					0,424 1,2 103	0,2 32				0,0353 м 3,53 см.
	G 0,7	4			4 0,8 1011 0,7 4		2
								180

Принимаем величину d 3,6 см и окончательные диаметры участков

вала:

d1 d 3,6 см; d2 0,7d 0,7 3,6 2,52 см.

Задача 14 Проверочный расчёт ступенчатого вала

Для круглого стального ступенчатого вала (рис. 3.7) известны внешние сосредоточенные и распределённые моменты, заданы размеры поперечного сечения и длины участков. На более широком участке вала считать сечение кольцевым с соотношением внутреннего диаметра к наруж-

ному с = 0,3.

104

Требуется

1. Построить эпюры крутящих моментов Мкр, касательных напряжений τ относительных углов закручивания θ и абсолютных углов поворота сечений вала φ. Модуль упругости принять G = 0,8· 5 МПа.

2.Указать опасное сечение и значение τmax, проверить прочность при допускаемом напряжении τ = 100 МПа. Если условие прочности не удовлетворяется, то указать диаметры, при которых оно будет соблюдаться.

3.Указать значения θmax и φmax, проверить жёсткость при допускае-

мом относительном угле закручивания θ = 2,5 º/м и допускаемом абсолютном угле поворота сечения φ = 1º. Если условие жёсткости не удовлетворяется, то указать диаметры, при которых оно будет соблюдаться.

Решение

В этой задаче использована унифицированная схема ступенчатого вала (рис. 3.7), в которой на валу в начале каждого участка приложены сосредоточенные моменты Мi, на каждом участке действует распределённый крутящий момент интенсивности mi.. Принимаем следующее правило знаков для внешних моментов: за положительное считаем направление внешних моментов против часовой стрелки (при взгляде на сечение).

	m	M	2		M	1
		2
				m	1
			d	1
d	2
	L	2		L	1

Рис. 3.7

Пусть заданы следующие величины: сосредоточенные моменты в начале участков равны М1 = 0,12 кН·м и М2 = 0; интенсивность распределённого моментапоучасткамm1 = 0 иm2 = –2 кН·м/м= –2 кН; длиныучастковl1 = 0,26 м и l 2 = 0,18 м; диаметры сечений участков d1 = 25 мм и d2 = 30 мм.

Сначала по этим исходным данным изобразим в масштабе схему заданного вала и действующую на него нагрузку (рис. 3.8, б). Вал имеет два грузовых участка, здесь нумерацию участков удобно брать со свободного края, поэтому начало 1-го участка положим на торце вала.

105

1. Построение эпюр крутящих моментов, напряжений и угловых деформаций

Для оценки прочности и жёсткости вала необходимо иметь значения крутящих моментов M кр , касательных напряжений max , относительных

углов закручивания θ и углов закручивания φ участков вала.

Вычисление значений крутящих моментов выполняем методом сечений по уравнению суммы моментов относительно оси вала (3.1)

мом z 0 . При этом положительный внутренний крутящий момент в се-

чении направляем по часовой стрелке (напомним: такое правило существует для внутреннего момента). Для вычисления max , и φ используем

следующие формулы:

	Mкр		Mкр		l Mкр
τmax		; θ			; Δφ			d z,
	W		GI	ρ		GI	ρ
где Wρ – полярный	ρ				0
	момент		сопротивления круглого сечения,

Wρ π32d3 1 c4 , где c 0,3 – соотношение внутреннего и внешнего диаметров; G – модуль упругости второго рода или модуль сдвига; Iρ – поляр-

ный момент инерции круглого сечения, Iρ π32d4 1 c4 ; l – длина участка вала.

1-й участок 0 z1 l 1 = 0,26 м. В текущем сечении (рис. 3.8, а), удалённом от начала 1-го участка на расстоянии z1, крутящий момент Mкр1 ,

касательные напряжения

τmax 1

, относительный угол закручивания θ1 и

угол закручивания участка φ1

принимают значения:

Mкр1 M 0,12

кН м;

τ

Mкр1

0,12 103

16

39,1 МПа;

W

0,0253

max1

ρ1

θ

Mкр1

0,12 32 103

180°

2,24 º/м;

1

GIρ1

0,8 1011 π 0,025 4

π

l

M

M

φ

0

кр1

d z

кр1

l l

2,24 0,26 0,582º.

1

G Iρ1

1

1

1

1

G Iρ1

2-й участок 0 z2 l2 = 0,18 м. В текущем сечении 2-го участка (рис. 3.8, б), удалённом от его начала на расстоянии z2, крутящий момент

Mкр2 , касательные напряжения τmax 2 , относительный угол закручивания θ2 и угол закручивания участка φ2 принимают значения:

106

Mкр2 M m2 z2

0,12 – 2 z2

z2 0

0,12

кН м,

z2 0,18 м

0,24кН м;

τ

max 2

Mкр2

0,12 - 2 z2 16

z2 0

τmax2

22,8,

Wρ2

π 0,033 (1 0,34 )

z2 0,18м

τmax2

45,7;

M

кр2

0,12 - 2 z2 32 103

180

z2

0 1,09 °/м,

θ 2

z2 0,18м

2

11

π 0,03

4

4

)

π

2,18 °/м;

G I

0,8 10

(1 0,3

l2

Mкр2

l2

0,18

0,12 – 2z2 32 103

180

φ2

0

d z2

0

d z2

G I 2

0,8 1011 π 0,034 (1 0,34 )

π

0,12z2

– 2z2

2 / 2

00,18

32 103

180°

11

4

4

π

0,8 10 π

0,03 (1

0,3 )

( 0,0108) 32 103

180°

0,098°.

11

π

4

4

π

0,8 10

0,03

(1 0,3 )

Как и следовало ожидать, на участке с распределённым моментом крутящий момент, напряжение и относительный угол закручивания изменяются по линейному закону.

Определим углы поворота характерных сечений, обозначив сечения буквами A, B , C . Так как точкаA находится в заделке, то

φA 0 ; φ B φ 2 0,098 ;

φC φ 2 φ1 0,098 0,582 0,484 .

Видим, что на 2-м участке значения крутящих моментов проходят через 0, и эпюра Mкр 2 в таком случае пересечёт нулевую линию. Обозна-

чим это сечение точкой К, а координату этого сечения как z0 . Необходимо

помнить, что это характерное сечение имеет важную особенность: для него угол закручивания вала К принимаем экстремальное значение для этого

участка, а на криволинейной эпюре φ будет перегиб.

Определим координату z0 , используя равенство крутящего момента Mкр 2 в сечении К нулю. Составим уравнение:

Mкр2 0,12 2z0 0 ,

из которого получаем z0 0,06 м. Теперь вычислим угол закручивания

участка CK, подставляя в угол закручивания 2-го участка границы интегрирования от 0 до z0 0,06 м:

107

z0

φCK

0

0,12z2

а

б

в

г

д

е

Mкр2				z0	0,06		0,12 – 2z2 32 103					180
	d z2				0									d z2
G Iρ2							0,8 1011 π 0,034 (1 0,34 )						π
– 2z2	2 / 2			0,06				32 103		180°			0,033°.
							11	4	4
				0		0,8 10		π 0,03	(1 0,3 )	π

Рис. 3.8

108

Далее согласно (3.7) и зная φCK , найдём угол поворота сечения K:

φ K φ B φCK 0,098 0,033 0,131 .

По полученным значениям построим эпюры изменения по длине вала крутящих моментов Mêð , касательных напряжений τmax, относительных углов

закручиванияθиабсолютныхугловповоротаφсечений(рис. 3.8, в, г, д, е).

2–3. Проверка прочности и жёсткости вала

Укажем наибольшие по абсолютной величине значения напряжений и углов закручивания:

τmax = 45,7 МПа; θmax =2,18 º/м; φмах = 0,484º.

Сделаем выводы о прочности и жёсткости вала:

τmax = 45,7 МПа < [τ] = 100 MПa;

θmax = 2,18 /м < [θ] =2,5 /м; φmах = 0,484º < [φ] = 1 ,

значит, прочность и жёсткость вала обеспечены.

Задача 15 Проверочный расчёт ступенчатого статически неопределимого вала

Стальной ступенчатый вал (схема изображена на рис. 3.9) имеет жёсткие заделки по торцам. Известны внешний сосредоточенный и распределённые моменты, заданы диаметры поперечного сечения и длины участков.

На более широком участке вала считать сечение кольцевым с соотношением внутреннего диаметра к наружному с = 0,3.

m 2	M
	m 1
	d 1
d 2
L 2	L 1
	Рис. 3.9

109

Требуется

1.Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных моментов, возникающих в жёстких заделках.

2.Построить эпюры крутящих моментов Мкр, касательных напряжений τ, относительных углов закручивания θ и абсолютных углов поворота

φ. Модуль упругости G = 0,8· 5 МПа.

3.Указать опасное сечение и значение τmax, проверить прочность при допускаемом напряжении τ = 100 МПа. Если условие прочности не выполняется, указать диаметры, при которых оно будет удовлетворено.

4.Указать значения θmax и φmax, проверить жёсткость при допускае-

мом относительном угле закручивания θ = 2 /м и допускаемом абсолют-

ном угле поворота сечения φ = 0,5 . Если условие жёсткости не выполняется, указать диаметры, при которых оно выполняется.

Решение

В этой задаче использована унифицированная схема ступенчатого вала (рис. 3.9): в начале участка приложен сосредоточенные момент М, и на каждом участке действует распределённый крутящий момент интенсивности m. Пусть заданы следующие величины: сосредоточенный момент М = –0,42 кН·м; интенсивность распределённого момента m1 = 0 и m2 = 1,3 кН·м/м = 1,3 кН; длины участков l1 = 0,16 м и l 2 = 0,18 м; диаметры сечений участков d1 = 25 мм и d2 = 40 мм.

Сначала изобразим по этим данным в масштабе заданный вал и действующую на него нагрузку (рис. 3.10, б). Вал разделим на два грузовых участка; нумерацию участков возьмём справа, начало 1-го участка положим на торце вала в сечении С.

1. Определение реактивных моментов

Обозначим реактивные моменты, возникающие в жёстких заделках, как MА и MС. Вал является статически неопределимым. Составим два уравнения.

Первое – уравнение равновесия вала по (3.1):

мом z 0 : M A 0,42 1,3 0,18 MC 0.

Второе – уравнение перемещений. Для вала с двумя заделками угол поворота заделок относительно друг друга равен нулю, можно записать уравнение перемещений в виде

АC CA 0.

110

m 2		M
		m 1
а
		d 1
d 2
L	2	L 1

б

в

г

д

е

Рис. 3.10

Расписать это уравнение через нагрузку можно двумя приёмами. Первый из них заключается в записи двух углов закручивания 1 и 2

через крутящий момент по формуле угла закручивания:

111

			l1	M 1				l2 M 2
φ				кр	d z ; φ				кр	d z	,
	1		0			2		0 G I 2
				G Iρ1	1					2

и дальнейшей записи их суммы, равной нулю:

1 + 2 = 0.

По второму приёму учитываем влияние каждого слагаемого Mкр на

деформацию: сосредоточенный момент закручивает на угол φ Ml , а

GIρ

распределённый – на угол φ l	mz	d z mz2 / 2 .
0 G Iρ		G Iρ

Запишем угол CA как сумму углов от момента MC , момента0,42 кН·м и распределённого момента m =1,3кН. Начинаем с левого торца бруса и получаем следующее уравнение перемещений:

MС 0,16 32			MC 0,18 0,42 0,18+1,3 0,182					/ 2 32	0.
G π 0,025	4		4			4
			G π 0,04 1		0,3

Такое же уравнение получим и после подстановки углов закручивания участков вала в сумму 1 + 2 = 0. Из последнего уравнения

MC 0,045 кН·м, а из уравнения равновесия M A = 0,141 кН·м.

2. Построение эпюр крутящих моментов, напряжений и деформаций

Для оценки прочности и жёсткости вала запишем значения крутящих моментов Mкр , касательных напряжений τmax, относительных углов закру-

чивания θ и углов закручивания φ участков вала:

τmax Mкр ; θ MGIкр ; Δφ l MGIкр d z,

ρ0 ρ

где Wρ – полярный момент сопротивления сечения, для кольцевого сечения

Wρ π32d3 1 c4 , где c 0,3 – соотношение внутреннего и внешнего диаметров; G – модуль упругости второго рода или модуль сдвига; Iρ – полярный момент инерции круглого сечения, Iρ π32d4 1 c4 ; l – длина участка вала.

112

1-й участок 0 z1 l1 = 0,16 м. Для 1-го участка в текущем сечении (рис. 3.10, б), удалённом от торца С на расстоянии z1, крутящий момент

M 1кр , касательные напряжения

τ1max , относительный угол закручивания

θ1 и угол закручивания участка φ1

принимают значения:

1

1

Mкр

1

0,045 103 16

Mкр MС 0,045кН·м; τmax

3

14,7 МПа;

W

1

π

0,025

ρ

θ

M 1кр

0,045 32 103

180

0,842 /м;

1

G Iρ1

0,8 1011

π

0,025 4

π

l

M 1

M 1 l

φ1

кр

d z1

кр

1 l1

0,842 0,16 0,135 0,14 .

GIρ1

0

G Iρ1

2-й участок 0 z2

l 2 = 0,18 м. В текущем сечении участка (рис.

3.10, б), удалённом от его начала на расстоянии z2, крутящий момент Mкр 2 ,

касательные напряжения

τmax 2 , относительный угол закручивания θ2 и

угол закручивания участка φ2

получают значения:

Mкр2 МС + M m2 z2 0,045 – 0,42 +1,3z2 0,375 +1,3z2 ,

при z2 0

0,375 кН м; при z2 0,18м

0,141кН м;

τmax 2

Mкр2

( 0,375 +1,3 z2 ) 16

при z2 0

τmax 2 30 МПа,

Wρ2

π 0,04

3

4

при z2 0,18м

τmax 2 11,3 МПа;

(1 0,3 )

θ 2

Mкр2

0,375 1,3z2 32 103

180

( 1,08 3,74z2 ),

11

π

0,04

4

4

π

G Iρ2

0,8 10

(1 0,3 )

при z2

0

θ 2 1,08°/м;

при z2 0,18м

θ2 0,41°/м;

l2

Mкр2

0,18

0,375 +1,3z2 32 103

180

φ2

0

d z2 0

d z2 0,14 .

G Iρ2

0,8 1011 π 0,044 (1 0,34 )

π

Определим углы поворота характерных сечений A , B и C . Так как точкаA находится в заделке, то

A 0 ; φ B =Δφ 2 0,14 ; φВ=Δφ1 +Δφ2 0,14 ( 0,14 ) 0 ,

как и следовало ожидать, угол поворота в заделке В равен нулю.

113

По полученным значениям построим эпюры изменения по длине вала крутящих моментов Mкр, касательных напряжений τmax, относительных углов

закручивания θ и абсолютных углов поворота φ сечений (рис. 3.8, в, г, д, е).

2–3. Проверка прочности и жёсткости вала

Укажем наибольшие по абсолютной величине значения напряжений и углов закручивания:

τmax = 30 МПа; θmax = 1,08 /м; φmax = 0,14 .

Сделаем выводы о прочности и жёсткости вала. Для нашего примера:

τmax = 30 МПа < [τ] = 100 MПa;

θmax = 1,08 /м < [θ] = 2 /м; φmax = 0,14 < [φ] = 0,5 ,

значит, прочность и жёсткость вала обеспечены.

114