Случайные_процессы

Понятие стационарности случайного процесса отражает идею неизменности (стационарности) условий, в которых он протекает.

Пример. Пусть α(ω) и β(ω) — скалярные случайные величины с числовыми характери-

стиками: М[α(ω)] = 0; М[β(ω)] = 0, D[α(ω)] = D[β(ω)] = σ2, cov[α(ω), β(ω)] = 0.

Доказать, что случайный процесс ξ(t, ω) = α(ω) cos(φt) + β(ω) sin(φt), t T = [0, ∞), где φ R

— постоянная, является стационарным в широком смысле.

Решаем на занятии.

2.2. Нормальные процессы

Определение 2.3. Случайный процесс ξ(t, ω), t Т = [a, b], называют нормальным, или гауссовым процессом, если любые его конечномерные законы распределения являются нормальными.

Пусть ξ(t, ω), t Т = [a, b], — n-мерный нормальный процесс с математическим ожиданием mξ(t) и ковариационной функцией Кξ(t,s). В этом случае для любого N≥l, и для любых

tk Т известны значения его математического ожидания mξ(tk) = Mξ(tk, ω ), k = l, …, N, и

ковариационной функции Кξ(tk,tj) = M[(ξ(tk, ω) - mξ(tk))(ξ(tj, ω) - mξ(tj))T].

Введем в рассмотрение блочные матрицы-столбцы, которые при дальнейших рассуждениях будем называть блочными векторами:

ξ (t

,ω)

m (t

)

1

ξ

1

...

...

η N (t,ω) =

, mN

(t) =

,

...

...

ξ (t N ,ω)

mξ (t N )

и блочную матрицу VN:

K

ξ

(t , t )

K

ξ

(t , t

) ...

K

ξ

(t , t

)

1 1

1

2

1

N

V

=

Kξ (t2 , t1 )

Kξ (t2 , t2 ) ...

Kξ (t2 , tN )

.

...

...

...

...

N

Kξ (tN , t2 ) ...

Kξ (tN , t1 )

Kξ (tN , tN )

Не останавливаясь на анализе особых случаев, связанных с возможной линейной зависимостью сечений рассматриваемого случайного процесса, будем считать, что |VN| ≠ 0. Блочный вектор ηN(ω) является (nN)-мерным случайным вектором с математическим ожиданием mN и ковариационной матрицей VN. А так как ξ(t, ω), t Т, — нормальный случайный процесс, то случайный вектор ηN(ω) распределен по нормальному закону и

f ( y) =		1		exp{−	1	( y − m		)T V	−1 ( y − m		)}
							N			N
η		(2π )nN |VN |			2			N

является N-мерной функцией плотности вероятностей для случайного процесса ξ(t, ω),

t Т.

11

Таким образом, любой конечномерный закон распределения нормального случайного процесса полностью определяется его математическим ожиданием и ковариационной функцией.

Если ξ(t, ω), t Т, — n-мерный стационарный нормальный случайный процесс, то его математическое ожидание — постоянный n-мерный вектор, а аргументом ковариационной функции является параметр τ = s-t.

В силу центральной предельной теоремы нормальные случайные процессы в ряде случаев оказываются предельными для сумм возрастающего числа случайных процессов.

2.3. Процессы с независимыми приращениями

Определение 2.4. Случайный процесс ξ(t, ω), t Т R, называют процессом с независи-

мыми приращениями, если для любых N > 1 и tk Т, к = 1, …, N, таких, что t1 < t2 < ... < tN, случайные величины

ξ(t1, ω), ξ(t2, ω) - ξ(t1, ω), … , ξ(tN, ω) - ξ(tN-1, ω)

являются независимыми.

Встречаются случайные процессы, родственные (в определенном смысле) случайным процессам с независимыми приращениями. Отметим некоторые из них.

1. Если n-мерные случайные векторы ξ(t1, ω), ξ(t2, ω) - ξ(t1, ω), … , ξ(tN, ω) - ξ(tN-1, ω) являются, вообще говоря, зависимыми, но некоррелированными, то n-мерный случайный процесс ξ(t, ω), t Т, называют процессом с некоррелированными (ортогональными)

приращениями.

2. Если для любых N > 1 и tk Т, k = 1, …, N, закон распределения приращения ξ(tk+1, ω) - ξ(tk, ω) зависит лишь от tk+1 - tk, то случайный процесс ξ(t, ω), t Т, с независимыми при-

ращениями называют процессом со стационарными независимыми приращениями.

Случайный процесс ξ(t, ω), t Т R, с независимыми приращениями полностью определен одномерным законом распределения fξ(x|t), характеризующим случайный вектор ξ(t1, ω), и двумерным законом распределения fξ(x1, x2|t1, t2), характеризующим приращения

ξ(tk+1, ω) - ξ(tk, ω).

Пример. Пусть ξ(t, ω), t Т R, — случайный процесс с ортогональными приращениями и требуется определить его ковариационную функцию.

Полагая s > t, имеем

Кξ(t,s) = cov [ξ(t, ω), ξ(s, ω)] = cov[ξ(t, ω), ξ(t, ω) + ξ(s, ω) - ξ(t, ω)] = cov[ξ(t, ω), ξ(t, ω)] + cov[ξ(t, ω), ξ(s, ω) - ξ(t, ω)] = Sξ(t),

где последние равенства следуют из свойств ковариации и некоррелированности случайных величин ξ(t, ω) и ξ(s, ω) - ξ(t, ω).

Рассуждая аналогично, при t >s получаем

12

Кξ(t,s) = Sξ(s).Таким образом, с учетом связи ковариационной функции случайного процесса и его ковариационной матрицы, имеем

Kξ	S	ξ (t ),		s ≥ t;
	(t, s) =		(s),	s < t.
	Sξ

Отметим, что процесс с независимыми приращениями является процессом с ортогональными приращениями. Поэтому результат, полученный при рассмотрении этого примера, имеет место для любого процесса с независимыми приращениями.

2.4. Винеровский процесс

Определение 2.5. Если ξ(t, ω), t Т = [0,∞), — n-мерный случайный процесс, то его называют винеровским процессом, выходящим из 0, если выполнены три условия:

1)ξ(0, ω) ≡ 0;

2)для любых N > 1 и tk T, k = 1, …, N, таких, что 0 < t1 < t2 < ... <tN, случайные векторы ξ(t1, ω), ξ(t2, ω) - ξ(t1, ω), … , ξ(tN, ω) - ξ(tN-1, ω) являются независимыми;

3)для любых tl, t2 Т, таких, что 0 < t1 < t2, случайный вектор ξ(t2, ω) - ξ(t1, ω) распределен по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей (t2 - t1)In, где In — единичная матрица.

Винеровский процесс, или процесс броуновского движения, имел большое значение при разработке теории случайных процессов. Многие распределения, используемые в теории управления, можно моделировать процессами, порождаемыми винеровскими процессами. В 1827 г. Р. Броун заметил, что маленькие частицы диаметром около микрона, погруженные в жидкость, находятся в постоянном хаотическом движении.

В 1905 г. А. Эйнштейн объяснил это движение как результат столкновения частиц с молекулами жидкости. Он разработал математическую модель броуновского движения и определил число Авогадро, равное числу молекул в объеме, занятом молем газа.

Строгий математический анализ броуновского движения дал Н. Винер в 1923 г. Эвристически броуновское движение можно объяснить следующим образом. Рассмотрим отдельную частицу, погруженную в жидкость, обозначив через ξ1(t), ξ2(t), ξ3(t) ее координаты в момент времени t > 0. Будем считать, что в начальный момент времени t = 0 она находится в начале координат, т.е. ξk(t) = 0, k = 1,2,3. Движение частицы на любом конечном временном интервале является результатом изменения импульса (количества движения) вследствие практически бесконечно большого числа независимых друг от друга соударений с молекулами жидкости. Поэтому естественно считать, что применима центральная предельная теорема. Кроме того, можно допустить, что:

а) смещения частицы в ортогональных направлениях происходят независимо;

13

б) ξk(t), k = 1,2,3, распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ2(t);

в) смещение частицы в каждом k-ом ортогональном направлении на различных непересекающихся временных интервалах 0 < t1 < t2 < ... <tN представляется независимыми случай-

ными величинами ξ(t1), ξ(t2) - ξ(t1), … , ξ(tN) - ξ(tN-1);

г) смещение частицы в каждом k-ом ортогональном направлении на временном интервале (t, t + h), равное ξk(t + h) - ξk(t), имеет ту же функцию распределения, что и смещение ξk(h)

- ξk(0) = ξk(h).

Отметим также, что дисперсия σ2(t) = D[ξk(t)] обладает любопытным свойством:

σ2(t) = σ2·t, где постоянную σ2 интерпретируют как коэффициент диффузии. Действительно, согласно допущению в), случайные величины ξk(t)и ξk(t + h) - ξk(t) являются независимыми. Поэтому

Dξk(t + h) = D[ξk(t)] + D[ξk(t + h) - ξk(t)], или σ2(t + h) = σ2(t) + D[ξk(t + h) - ξk(t)].

А так как, согласно допущению г), D[ξk(t + h) - ξk(t)] = D[ξk(h)], то

σ2(t + h) = σ2(t) + σ2(h), откуда и следует отмеченное свойство.

Замечание 2.1. Если в определении винеровского процесса условие ξ(0, ω) ≡ 0 заменить условием ξ(0, ω) ≡ x, то получим определение винеровского процесса, выходящего из точки х.

Замечание 2.2. Если ξ(t, ω), t Т, — винеровский процесс с коэффициентом диффузии σ2,

то случайный процесс η(t, ω) = ξ(t, ω)/ σ 2 , t Т, называют стандартным винеровским процессом. Для любых t1, t2 Т, таких, что 0 < t1 < t2 , случайный вектор η(t2, ω) - η(t1, ω) распределен по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей (t2 –t1)In.

Cвойства винеровских процессов.

1.Винеровский процесс является процессом со стационарными приращениями.

2.Для любых 0 ≤ t1 < t2 ковариационная функция винеровского процесса равна t1σ2In.

3.Винеровский процесс является нормальным процессом.

Доказать. Подсказка для 3: определите N-мерный закон распределения винеровского процесса.

14

2.5. Марковские процессы

Замечание. Для конечномерных функций плотности марковских процессов fξ(x(1), …,

x(N)|t1, …, tN) используют сокращенные обозначения fξ(x(1), …, x(N)).

Определение 2.6. Пусть ξ(t, ω), t Т R, —n-мерный случайный процесс, конечномерные функции плотности вероятностей которого fξ(x(1), …, x(N)) заданы для любых N ≥ 1 и tk Т, k = 1, …, N, таких, что t1 < t2 < ... < tN. Если при этом условная функция плотности вероятностей такова, что fξ(x(N)|x(N-1), …, x(1)) ≡ fξ(x(N)|x(N-1)), то ξ(t, ω), t Т, называют марков-

ским процессом.

Свойство.

Любой конечномерный закон распределения марковского процесса выражается через его двумерный закон распределения.

Доказать.

Пример. Винеровский процесс является марковским процессом.

Доказать.

2.6. Пуассоновский процесс Определение 2.7. Пуассоновским процессом с параметром λ > 0 называют скалярный

случайный процесс ξ(t, ω), t Т = [0,∞), обладающий следующими свойствами:

1)ξ(0, ω) ≡ 0;

2)для любых N > 1 и tk T, k = 1, …, N, таких, что 0 =t0< t1 < t2 < ... <tN, случайные векторы ξ(tk, ω) - ξ(tk-1, ω) , k = 1, …, N, являются независимыми;

3)для любых tl, t2 Т, таких, что 0 ≤ t1 < t2, случайный вектор ξ(t2, ω) - ξ(t1, ω) распределен по закону Пуассона с параметром λ(t2 – t1), т.е.

P[ξ (t		,ω) − ξ (t	,ω) = k ] =	[λ (t 2 − t1 )]k	e −λ (t2 −t1 ) , k N {0}.
	2
		1		k!

Замечание 2.3. Пуассоновский процесс играет важную роль в различных приложениях теории случайных процессов, в частности, в теории массового обслуживания.

Вопросы и задачи

2.1.Докажите, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.

2.2.Является ли винеровский процесс: а) гауссовским процессом; б) марковским процессом?

2.3.Определите N-мерный закон распределения пуассоновского процесса.

2.4.Какими общими свойствами обладают винеровские и пуассоновские процессы?

2.5.Докажите, что пуассоновскии процесс является марковским.

15

2.6. Пусть v — неслучайный параметр, а α(ω) и β(ω) — некоррелированные скалярные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковой дисперсией, равной σ2. Является ли скалярный случайный процесс

ξ(t, ω) = α(ω) sin(vt) + β(ω)cos(vt), t Т R,

а) стационарным в широком смысле; б) стационарным в узком смысле?

2.7. Решите задачу 2.6, если известна совместная функция плотности вероятностей случайных величин α(ω) и β(ω):

		24
fαβ			x 2 y 2 ,	x 2 + y 2 ≤ 1;
	(x, y) =	π
		0,			2	+ y	2	> 1.
				x

2.8. Является ли случайный процесс

η(t, ω) = ξ(t, ω) + u(ω), t Т R, стационарным в широком смысле, если ξ(t, ω) — стационарный в узком смысле случайный процесс и: а) для любого фиксированного t Т случайные векторы ξ(t, ω) и u(ω) являются независимыми; б) u(ω) = ξ(t0, ω), где t0 Т.

2.9.Пусть ξ(t, ω), t Т, — скалярный нормальный стационарный в узком смысле случайный процесс. Найдите одномерную и двумерную функции плотности вероятностей этого случайного процесса.

2.10.Ковариационная функция Kθ(τ) угла крена корабля θ(t, ω), имеет вид

Kθ(τ) = αe-β|τ|cos(vτ). Определите вероятность того, что в момент времени t2 = t1+ τ угол крена будет больше 15°, если θ(t, ω) — скалярный нормальный стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и θ(t1, ω) = 5°, τ = 2(с), α = 30 (град)2, β = 0,02(1/с), v = 0,75 (1/с).

Ответ: 0,0037.

Указание: использовать результаты решения задачи 2.9.

3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Стохастический анализ — это раздел математики, в котором случайные функции и их обобщения изучают методами математического анализа, объединяющими теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисление и их непосредственные приложения. и т.д. Далее используем лишь одно понятие сходимости — сходимость в смысле среднего квадратичного, или СК-сходимость.

Это связано с тем, что понятие СК-сходимости является наиболее приемлемым с точки зрения приложений.

Следует также отметить, что при использовании СК-сходимости изучение векторных случайных процессов в значительной степени сводится к изучению их координатных случайных процессов, а анализ существования предела, непрерывности, дифференцируемости и

16

интегрируемости скалярных случайных процессов — к изучению соответствующих свойств их математических ожиданий и ковариационных функций.

Напомним, что последовательность случайных величин {ξn(ω)} сходится к случайной величине ξ(ω) в среднем квадратичном, если

lim M [(ξ n (ω) − ξ (ω))2 ] = 0.

n→∞

3.1. Сходимость в смысле среднего квадратичного (СК-сходимость)

Определение 3.1. Пределом n-мерного случайного процесса ξ(t, ω) = (ξ1(t, ω), …, ξn(t, ω))T при t→t0 в смысле СК-сходимости называют случайный вектор η(ω) = (η1(ω), …, η n(ω))T и

обозначают limξ (t,ω) = η(ω), если существует предел

t →t0

	n
lim M [|| ξ (t,ω) −η (ω) ||2 ] = 0, где || ξ (t,ω) −η (ω) ||= ∑[ξ k (t,ω) −ηk (ω) ]2 − евклидова
t →t0	k =1

норма n-мерного случайного процесса ξ(t, ω) - η(t, ω).

Приняв за основу понятие СК-сходимости, мы тем самым определили выбор нормы для анализа случайных процессов:

|| ξ (t,ω) ||ск = M [|| ξ (t,ω) ||] 2 ≡ ∫ xT x fξ (x | t) dx.

R n

Будем рассматривать только такие случайные процессы, для которых указаная СК-норма является конечной. Случайные процессы, удовлетворяющие этому условию, называют случайными процессами второго порядка. Таким образом, видим, что в основе понятия сходимости в смысле среднего квадратичного лежит понятие СК-нормы,

которую мы ввели как неотрицательную скалярную функцию параметра t Т. Убедимся в том, что при любом фиксированном t Т эта функция действительно определяет норму. Для этого рассмотрим множество HnТ(R) n-мерных случайных процессов второго порядка, определенных на Т R, и будем считать, что случайные процессы ξ(t, ω), t Т и η(t, ω),

t Т из этого множества равны, если ||ξ(t, ω) - η(t, ω)||ск = 0, t Т.

В этом случае множество HnТ(R) со стандартными операциями сложения своих элементов и их умножения на число является линейным пространством, а n-мерный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т, является нулевым, т.е. является нейтральным элементом линейного пространства HnТ(R) , если

||ξ(t, ω)||ск = 0, t Т.

Пусть теперь для любых двух элементов ξ(t, ω) и η(t, ω), линейного пространства HnТ(R) определена скалярная функция параметра t Т:

17

HnТ(R), λ R и t Т имеет место равенство

|| (ξ (t,ω),η(t,ω)) ||ск = M [ξ T (t,ω) η(t,ω)]2 ≡ ∫	∫ xT y fξ (x, y | t) dxdy,
Rn	Rn

где fξ(x,y|t) — одномерная функция плотности вероятностей (2n)-мерного случайного процесса (ξ(t, ω), η(t, ω))

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что при каждом фиксированном

t Т скалярная функция (ξ(t, ω), η(t, ω))ск удовлетворяет аксиомам скалярного умножения: 1) для любого ξ(t, ω) HnТ(R) имеет место неравенство

(ξ(t, ω), ξ (t, ω))ск ≥ 0,

причем равенство (ξ(t, ω), ξ (t, ω))ск = 0 выполняется тогда и только тогда, когда ξ(t, ω) = 0; 2) для любых ξ(t, ω), η(t, ω) HnТ(R) и t Т имеет место равенство

(ξ(t, ω), η(t, ω))ск = (η(t, ω), ξ(t, ω))ск

3) для любых ξ(t, ω), η(t, ω)

(λξ(t, ω), η(t, ω))ск = λ(ξ(t, ω), ξ (t, ω))ск.

4) для любых ξ(t, ω), η(t, ω), α(t, ω) HnТ(R), и t Т имеет место равенство

(ξ(t, ω)+ η(t, ω), α(t, ω))ск = (ξ(t, ω), α(t, ω))ск + (η(t, ω), α(t, ω))ск.

Так как линейное пространство HnТ(R) с введенным скалярным произведением является евклидовым пространством, то при любом фиксированном t Т норма может быть введена стандартным способом как корень из скалярного произведения:

|| ξ (t,ω) ||ск = (ξ (t,ω),ξ (t,ω))ск ,

и при этом автоматически удовлетворяются все аксиомы нормы: 1) для любого ξ(t, ω) HnТ(R) имеет место неравенство

||ξ(t, ω)||ск ≥ 0,

причем ||ξ(t, ω)||ск = 0 тогда и только тогда, когда ξ(t, ω) = 0;

2) для любых ξ(t, ω) HnТ(R), λ R и t Т имеет место равенство

||λξ(t, ω)||ск = |λ|·||ξ(t, ω)||ск;

3) для любых ξ(t, ω), η(t, ω) HnТ(R) и t Т имеет место неравенство треугольника

||ξ(t, ω) + η(t, ω)||ск ≤ ||ξ(t, ω)||ск + ||η(t, ω)||ск.

Заметим, что СК-норма и порождающее ее скалярное произведение, введенное на линейном пространстве n-мерных случайных процессов HT(R), обладают известными свойствами, в частности, для любых ξ(t, ω), η(t, ω) HnТ(R) и t Т выполняется неравенство Коши

— Буняковского

|(ξ(t, ω), η(t, ω))ск | ≤ ||ξ(t, ω)||ск · ||η(t, ω)||ск.

Теорема 3.1. n-мерный случайный вектор

18

	η		(ω)			ξ		(t,ω)
		1					1
			.					.
η(t,ω) =			.		является пределом n-мерного случайного процесса ξ (t,ω) =			.
						ξ n
ηn			(ω)					(t,ω)

при t → t0 Т тогда и только тогда, когда для любого k = 1, …, n случайная величина ηk(ω) является пределом при t → t0 скалярного случайного процесса ξk(t, ω), t Т. Определение 3.2. n-мерный случайный процесс ξ(t, ω), t Т R, называют пределом по- следовательности n-мерных случайных процессов {ξ(m)(t, ω), t Т R}∞m=1 и обозначают

lim ξ(m) (t,ω) = ξ (t,ω), t T ,
m→∞
если существует предел
			ξ		(t,ω)			ξ		(t,ω)
				(m)1					1
lim M [|| ξ(m) (t,ω) − ξ (t,ω) ||2	] = 0, t T , гдеξ				.					.
		(m) (t,ω) =			.	, ξ (t,ω) =				.	.
m→∞
			ξ(m)n					ξ n
					(t,ω)					(t,ω)

Теорема 3.2. n-мерный случайный процесс ξ(t, ω), t Т, является пределом последовательности n-мерных случайных процессов {ξ(m)(t, ω), t Т}∞m=1 тогда и только тогда, когда для любого k = 1, …, n скалярный случайный процесс ξk(t, ω) является пределом последовательности скалярных случайных процессов {ξ(m)k(t, ω), t Т}∞m=1.

Как следует из теорем 3.1, 3.2, сходимость векторного случайного процесса и сходимость последовательности векторных случайных процессов эквивалентны сходимости координатных скалярных случайных процессов и их последовательностей. Поэтому далее основное внимание уделено скалярным случайным процессам.

Теорема 3.3. Если существует предел скалярного случайного процесса ξ(t, ω), t Т, второго порядка при t→t0 Т, равный случайной величине η(ω), то существует и предел скалярной функции M[ξ(t, ω)] при t→t0 Т, равный М[η(ω)].

Справедливы и стохастические критерии Коши для случайных процессов и для последовательностей случайных процессов.

Теорема 3.5. Пусть ξ(t, ω), t Т, — скалярный случайный процесс второго порядка. Предел ξ(t, ω), t Т, при t→t0 Т, существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел скалярной функции M[ξ(t, ω) - ξ(τ, ω)] двух переменных t и τ при (t, τ) →(t0, t0). Следствие 3.1. Для скалярного случайного процесса второго порядка ξ(t, ω), t Т, предел

lim[ξ (t,ω)] существует тогда и только тогда, когда существуют и конечны пределы

t →t0

lim[M ξ (t,ω)] = m0 ,	lim [Kξ (t,τ )] = K0 .
t →t0	t ,τ →t0

19

3.2. Непрерывность случайного процесса

Определение 3.3. Скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т, называют непрерывным в точке τ Т, если существует предел

lim M [(ξ (t,ω) − ξ (τ ,ω)) 2 ] = 0, или, что то же самое, lim || ξ (t,ω) − ξ (τ ,ω) ||2 ск = 0.

t →τ t →τ

Определение 3.4. Если скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т, является непрерывным в каждой точке t Т, то его называют непрерывным на множестве Т. Пример. Пусть ξ(t, ω), t Т = [0, ∞) — скалярный винеровский процесс. Докажем, что он непрерывен на T.

Для любых t, τ Т , имеет место равенство

M [(ξ (t,ω) − ξ (τ ,ω))2 ] = (t − τ )σ 2 .

Таким образом, скалярный винеровский процесс является непрерывным на Т, так как

lim M [(ξ (t,ω) − ξ (τ ,ω))2 ] = lim(t − τ )σ 2 = 0.

t →τ t →τ

Теорема 3.6. Скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т, непрерывен на Т тогда и только тогда, когда на Т непрерывно его математическое ожидание а на Т х Т непрерывна его ковариационная функция.

Пример. Случайный процесс из ранее рассмотренного примера, ξ(t, ω) = α(ω) cos(φt) + β(ω) sin(φt), t T = [0, ∞), где φ R — постоянная, имеющий параметры М[α(ω)] = mα; М[β(ω)] = mβ, D[α(ω)] = σ2α, D[β(ω)] = σ2β, cov[α(ω), β(ω)] = k, является непрерывным на Т.

Доказать.

3.3. Дифференцируемость случайного процесса

Определение 3.5. Скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т, называют

дифференцируемым в точке t0 Т, если существует случайная величина ξɺ(t0 ,ω), для ко-

торой

		ξ (t,ω) − ξ (t0 ,ω)			2
			ɺ
lim M							= 0.
		t − t0	− ξ (t0	,ω)
t →t0

Определение 3.6. Если скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т, явля-

ется дифференцируемым в точке t0 Т, то случайную величину ξɺ(t0 ,ω) называют его

производной в этой точке.

Определение 3.7. Если скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т, является дифференцируемым в каждой точке открытого множества T0, то его называют

20