Случайные_процессы

3.28. Пусть ξ(t, ω), t Т = [0,∞), — интегрируемый на Т скалярный случайный процесс с известной ковариационной функцией Kξ(t, s). Найдите взаимную ковариационную функцию Kξη (t, s), если

t

η(t,ω) = ∫ξ (t′,ω)dt′, t T .

0

4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

В классическом математическом анализе теории рядов и интегралов Фурье объединяет гармонический анализ. Своим названием он обязан простейшей периодической функции f(t) = Asin(ξ(ωt + φ)), t Т R, которую в приложениях называют гармоникой. Константы А, ω и φ представляют собой соответственно амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники. Одной из задач гармонического анализа является задача о представимости функции в виде суммы гармоник, каждая из которых соответствует определенной частоте. Множество этих частот образует спектр функции, который играет существенную роль для решения широкого класса прикладных задач, поскольку, располагая спектром, всегда можно восстановить исходную функцию с наперед заданной точностью.

При изучении случайных процессов гармонический анализ приобретает особо важное значение. В самом деле, ни одна из реализаций случайного процесса не может быть известна заранее. Однако заранее можно установить, как распределяется дисперсия случайного процесса по частотам составляющих его гармоник. Такая информация не уступает по значимости спектру детерминированной, т.е. неслучайной функции. Использование этой информации при изучении стационарных (в широком смысле) случайных процессов составляет существо их спектральной теории.

Спектральная теория позволяет заменить исследование исходного стационарного случайного процесса исследованием его изображения при интегральном преобразовании Фурье, являющегося случайной функцией некоторого вспомогательного переменного параметра, который во многих приложениях имеет размерность частоты. А так как применение интегрального преобразования Фурье зачастую существенно упрощает выкладки, то оно получило широкое распространение как в теоретических, так и в прикладных исследованиях.

4.1. Стационарные случайные процессы с дискретным спектром

В этом разделе, говоря о стационарных случайных процессах, будем иметь в виду стационарные случайные процессы в широком смысле.

31

Одним из основных вопросов является представимость стационарных случайных процессов в виде конечных или бесконечных сумм гармоник с различными частотами и случайными амплитудами.

Определение 4.1. Случайный процесс ξ(t, ω) = α(ω)φ(t) Т R, где α(ω) — случайная величина, a φ(t) — неслучайная функция, определенная на множестве Т, называют элементарным случайным процессом.

Определение. Каноническим разложением стационарного случайного процесса η(t, ω)

n

называется его представление в виде η(t,ω) = mη (t ) + ∑uk (ω)ϕk (t), где

k =1

uk(ω)(коэффициенты) — центрированные некоррелированные сл.в. с дисперсиями Duk(ω) = Dk, φk(t) (координатные функции) — неслучайные функции.

Вспомним, что в этом случае

n

Kη (t, s) = ∑Dkϕk (t)ϕk (s).

k =1

Определение. Спектральным разложением стационарного случайного процесса η(t, ω)

называется его представление в виде

n

η(t,ω) = mη (t ) + ∑(uk (ω) cos(ωk t ) + vk (ω) s in(ωk t)), где uk(ω), vk(ω) — центрированные не-

k =1

коррелированные сл.в. с дисперсиями Duk = Dvk = Dk, ωk — постоянная величина (часто-

та).

Пример 4.1. Пусть скалярный случайный процесс Sn(t, ω)представляет собой конечную сумму элементарных случайных процессов

	n			2π kt			2π kt
	Sn (t,ω) = ∑ uk		(ω) cos		+ vk	(ω) s in		, t T = [0, l]. (*)
				l			l
	k =1

Предполагая, что Muk(ω) = Mvk(ω) = 0, Duk = Dvk = Dk,, cov( uk(ω) vk(ω)) = 0, найдем кова-

риационную функцию и дисперсию случайного процесса Sn(t, ω).

		n	2π k (s − t)		n
	Ответ: KS	(t, s) = ∑Dk cos		, DS	(t ) = ∑Dk .
		n	l		n
		k =1			k =1

Получили два результата:

1)случайный процесс Sn(t, ω) вида (*) с MSn(t, ω) = 0, является стационарным тогда и только тогда, когда uk(ω), vk(ω) являются некоррелированными случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсией Duk = Dvk = Dk;

2)спектральному разложению стационарного случайного процесса в ряд (*) соответствует разложение в ряд его ковариационной функции

32

		n	2π kτ
	KS	(τ ) = ∑Dk cos				, Dk — коэффициенты ряда Фурье для KSn.
		n		l
		k =1
	Известно выражение коэффициентов ряда Фурье через функцию K(τ), разлагаемую в ряд
				2	l		2π kτ
	по косинусам: D		=		∫	K (τ ) cos		dτ , k = 0, ∞.
				l
		k					l
					0

В общем случае: пусть скалярный стационарный случайный процесс ξ(t, ω), t T = [0, l], имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную функцию Kξ(τ), которая является непрерывной на отрезке [-l, l] и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

a

n

2π kt

2π kt

ξ (t,ω) =

0

+ ∑ ak

(ω) cos

+ bk

(ω) s in

,

t T = [0, l].

(1)

l

l

2

k =1

2 l

2π kτ

2 l

2π kτ

l

∫

l

l

∫

l

a

k

=

ξ (τ ) cos

dτ , k = 0, ∞, b

=

ξ (τ ) sin

dτ , k

= 1,

∞,

(2)

k

0

0

2 l

2π kτ

D =

l

∫

K (τ ) cos

l

dτ , k = 0, ∞,

(3)

k

0

∞

2π kτ

KS

(τ ) = ∑Dk cos

.

(4)

n

l

k =1

4.2. Стационарные случайные процессы с непрерывным спектром

В этом разделе, как и выше, под стационарным случайным процессом будем понимать стационарные случайные процессы в широком смысле.

Пусть ξ(t, ω), t T = [0, l], имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную функцию Kξ(τ), которая является непрерывной на отрезке [-l, l], удовлетворяет на нем условиям Дирихле и удовлетворяет (3), (4). В этом случае рассматриваемый случайный процесс представим суммой ряда Фурье (1), коэффициенты которого удовлетворяют (2). Если воспользоваться формулами Эйлера и ввести случайные величины

			1		(ak			− ibk ), k ≥ 1;
			2
			1
Φ		(ω) =						a , k = 0;
	k		2					0
			1	(a|k | + ib|k| ), k ≤ −1,
			2

то приходим к следующему представлению исходного скалярного случайного процесса:

∞			2π kt
ξ (t,ω) = ∑	Φk	(ω) exp i		, t T .
k =−∞			l

Нетрудно показать, что комплексные случайные величины Φk(ω), k Z, являются некоррелированными, имеют нулевые математические ожидания и дисперсии D[Φk(ω)] = 1/2·σ2k.

33

Кроме того, их можно представить в виде

2 l

2π kτ

Φk (ω) =

ξ (t,ω) exp −i

dt, k

Z .

l ∫

l

0

При этом

∞

2π kt

Kξ (τ ) = ∑

D[Φk

(ω)]exp i

.

k =−∞

l

Если ω

=

2π k

— частота k-й гармоники, то при l → ∞ приходим к случаю непрерывного

k

l

изменения частот и переходим от ряда Фурье к интегралу Фурье. При выполнении определенных условий этот переход приводит к интегральному представлению ковариационной функции Kξ(τ), и становится естественной задача об аналогичном представлении стационарного скалярного случайного процесса ξ(t, ω), t T = [0, ∞].

Определение 4.2. Если ковариационная функция стационарного скалярного случайного процесса ξ(t, ω), t T = [0, ∞], является оригиналом интегрального преобразования Фурье, т.е. на любом конечном интервале [-l, l] она удовлетворяет условиям Дирихле и является абсолютно интегрируемой в R, то ее изображение

∞

sξ (ν ) = 21π −∞∫ Kξ (τ )e−iντ dτ

называют спектральной плотностью этого случайного процесса. Приведем некоторые свойства спектральной плотности.

Свойство 4.1.

∞

Kξ (τ ) = ∫ sξ (ν )eiντ dν .

−∞

Свойство 4.2. Если исходный случайный процесс является вещественным, то:

	а) sξ(ν) ≥ 0;
	б) sξ(-ν) = sξ(ν);
	в)	lim sξ (ν ) = 0;
		ν →±∞
	г)	s (ν ) =	1	∞ K (τ ) cos(ντ )dτ ;
			π
		ξ		∫	ξ
				0
				∞
	д)	Kξ (τ ) = 2∫sξ (ν ) cos(ντ )dν ;
				0
						∞
	е)	Dξ (t,ω) = Kξ (0) = 2∫sξ (ν )dν .
						0

34

Из свойства 4.2 е) следует, что спектральная плотность sξ(ν) представляет собой плотность распределения дисперсии случайного процесса по частотам его гармоник. Спектральная плотность sξ(ν) стационарного скалярного случайного процесса ξ(t, ω), t T = [0, ∞], является аналогом последовательности {D[Φk(ω)]}, т.е. является аналогом последовательности {σ2k} дисперсий некоррелированных случайных амплитуд гармоник исходного случайного процесса.

Пример 4.3. Пусть стационарный скалярный случайный процесс ξ(t, ω), t T = [0, ∞], имеет ковариационную функцию Kξ(τ) = σ2e-α|τ|, где α > 0 и σ2 = Kξ(0) = D[ξ(t, ω)]. В этом случае спектральная плотность случайного процесса равна

1 ∞

σ 2 0

σ 2 ∞

σ 2

1

1

ασ 2

sξ

(ν ) =

∫

Kξ

(τ )e−iντ dτ =

∫

e(α −iν )τ dτ −

∫

e(α +iν )τ dτ =

+

=

.

2π

2π

2π

2π

α − iν

π (α 2

α + iν

+ν 2 )

−∞

−∞

0

В различных приложениях теории случайных процессов величину Kξ(0) = D[ξ(t, ω)] зачастую интерпретируют как энергию стационарного скалярного случайного процесса, а величину sξ(ν) — как плотность энергии на единицу частоты. Термин «энергия стационарного случайного процесса» обязан своим появлением реализациям стационарных случайных процессов в электротехнике (напряжение или сила электрического тока).

4.3. Белый шум

Определение 4.3. Скалярный случайный процесс ξ(t, ω), t T = [0, ∞], называют белым шумом, если он является стационарным (в широком смысле) и обладает постоянной спектральной плотностью с, называемой интенсивностью белого шума.

Рассмотрим свойства белого шума.

Свойство 4.3. Ковариационная функция Kξ(τ) для белого шума имеет вид

. Kξ(τ) = 2πсδ(τ), где δ(τ) — δ-функция Дирака.

Вспомним определение δ-функции Дирака — это обобщенная функция, равная производной от единичной функции I(τ),

	1, τ > 0;	∞,τ = 0
I (τ ) = 1/ 2, τ = 0;		Тогда: δ (τ ) =	.
	0, τ < 0.	0,τ ≠ 0

Интегральные представления δ(τ):

		1	∞	∞
	δ (x) =		∫ eiλ x d λ; ∫ δ (x)e−iλ x dx = 1.
		2π
			−∞	−∞

Если скалярный случайный процесс ξ(t, ω), t T = [0, ∞], является белым шумом, то для любого действительного ν: sξ(ν) = c = const. Таким образом, из свойств спектральной плотности и интегрального представления δ-функции Дирака следует

∞ ∞

Kξ (τ ) = ∫ sξ (ν )eiντ dν = ∫ ceiντ dν = 2π cδ (τ ).

−∞ −∞

35

Свойство 4.4. Если ковариационная функция стационарного скалярного случайного процесса ξ(t, ω), t T = [0, ∞],имеет вид 2πсδ(τ), то этот случайный процесс является белым шумом.

Это свойство непосредственно следует из определения 4.2 и того, что

	s (ν ) =	1	∞	K (τ )e−iντ dτ =	1	∞	2π cδ (τ )e−iντ dτ = c.
		2π	∫		2π	∫
	ξ			ξ
			−∞			−∞

Свойство 4.5. Случайные величины, являющиеся сечениями белого шума, некоррелированы.

Для любых t, s T = [0, ∞], t ≠ s, имеем τ = s - t ≠ 0 и Kξ(τ) = 2πсδ(τ) = 0.

Свойство 4.6. Белый шум обладает бесконечной дисперсией. Это вытекает из равенства D[ξ(t, ω)] = Kξ(0) = 2πсδ(0) = ∞.

Появление термина «белый шум» объясняется следующим. Слово «белый» указывает на сходство с белым светом, у которого спектральный состав примерно однороден, а слово «шум» говорит о том, что подобные процессы впервые привлекли к себе внимание в радиотехнике, где их наличие приводит к возникновению шумов в линиях радиопередач.

Белый шум обладает бесконечной дисперсией и практически не может быть реализован. Но из физических соображений ясно, что любая динамическая система является инерционной и очень высокие частоты не могут оказывать значимого влияния на ее поведение.

Это открывает возможность моделирования с помощью белого шума реальных случайных процессов. Например, белый шум часто используют для моделирования случайных процессов, имеющих постоянную (или почти постоянную) спектральную плотность в определенной полосе частот, пренебрегая поведением спектральной плотности вне этой полосы. Подобные ситуации возникают при изучении многих физических явлений, связанных с воздействием отдельных молекул или электронов на макроскопические системы (например, во всех явлениях, родственных броуновскому движению). Подобные случайные процессы мы также будем называть «белым шумом».

Пример 4.5. Пусть скалярный случайный процесс ξ(t, ω), t T = [0, ∞), является стацио-

c, |ν |< N ;

нарным и его спектральная плотность равна sξ (ν ) =

0, |ν |> N.

Рассматриваемый случайный процесс имеет ковариационную функцию

	N	2c
	Kξ (τ ) = ∫ ceiντ dν =		sin(Nτ ).
	− N	τ

36

Чтобы он обладал свойствами «белого шума», значение параметра N должно быть достаточно большим, но в этом случае достаточно большой будет и дисперсия D[ξ(t, ω)] = Kξ(0)

= 2сN. А так как | K		(τ ) |=	2c		| sin(Nτ ) |≤	2c	,
	ξ
			| τ |			| τ |

то можно получить сколь угодно малое абсолютное значение коэффициента корреляции для любых двух сечений ξ(t, ω)и ξ(s, ω) при достаточно большом значении |τ| = |s – t|.

N

2c

Чтобы найти предел ковариационной функции Kξ (τ ) = ∫

ceiντ dν =

sin(Nτ ) при N → ∞,

− N

τ

введем функцию R (τ ) =

τ

K (λ)d λ = 2c

τ

sin(N λ)

d λ = 2cNτ

sin µ

d µ.

∫

∫

µ

ξ

ξ

λ

∫

−∞

−∞

−∞

0

sin x

+∞

sin x

π

Так как ∫

dx =

∫

dx =

, то нетрудно убедиться, что существует предел

2

−∞

x

0

x

0, τ < 0;

lim Rξ (τ ) = π c, τ = 0; N →∞ 2π c, τ > 0.

Формально дифференцируя полученную функцию, приходим к δ-функции Дирака:

lim Kξ	(τ ) = lim[Rξ (τ )]′ = 2π cδ (τ ).
N →∞	N →∞

Рассмотренный случайный процесс является одной из возможных моделей „белого шума".

Вопросы и задачи

4.1. Пусть ξ(t, ω), t T = [0, ∞] и η(t, ω), t T = [0, ∞], — стационарные скалярные случайные процессы со спектральными плотностями sξ(ν) и sη(ν) соответственно. Пусть случайный процесс ξ(t, ω), является дифференцируемым на множестве Т и η(t, ω) равняет-

ся производной от ξ(t, ω). Докажите, что sη (ν ) = ν 2 sξ (ν ).

4.2.Пусть ξ(t, ω) = W(ω)cos(at – θ), где W(ω) — центрированная сл.в. с дисперсией DW(ω)=D, θ R[0, 2π], a — неслучайный параметр, W(ω) и θ независимы. Докажите, что ξ(t, ω) — стационарный скалярный процесс, найдите спектральное разложение, найдите mξ(t), Kξ(t, s), Dξ, спектральную плотность sξ(ν). Будет ли этот процесс эргодическим относительно математического ожидания?

4.3.Определите спектральную плотность стационарного скалярного случайного процесса ξ(t, ω), t T = [0, ∞], если известна его корреляционная функция

Kξ(τ) = ae-a|τ|(2δ(τ)-a(sign τ)2).

4.4. Определите спектральную плотность стационарного скалярного случайного процесса ξ(t, ω), t T = [0, ∞], если известна его корреляционная функция Kξ(τ) = Ae-a|τ|cos(bτ).

37

4.5. Существует ли стационарный случайный процесс, у которого	Kξ	c, | τ |< N ;
		(τ ) =	?
			0, | τ |> N

4.6. Найдите ковариационную функцию Kξ(τ) стационарного случайного процесса ξ(t, ω), t T = [0, ∞], если его спектральная плотность равна

	0, |ν |< N ;
s (ν ) = с2	, N <|ν |< 2N ;
ξ
	0, |ν |> 2N.

Литература

1.Вентцель А.Д. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1975.

2.Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. М.: Изд-во МГТУ, 2000.

3.Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов, М.:

Наука, 1977.

4.Крылов Н.В. Введение в теорию случайных процессов, М.: Изд-во МГУ, 1986.

5.Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, 1985.

Оглавление
1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ...................................................................	1
1.1. Случайная функция, случайный процесс и случайная последовательность...........	1
1.2. Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса.......	3
2. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ......................................................	10
2.1. Стационарные случайные процессы...........................................................................	10
2.2. Нормальные процессы .................................................................................................	11
2.3. Процессы с независимыми приращениями................................................................	12
2.4. Винеровский процесс...................................................................................................	13
2.5. Марковские процессы..................................................................................................	15
3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА...........................................................	16
3.1. Сходимость в смысле среднего квадратичного (СК-сходимость)...........................	17
3.2. Непрерывность случайного процесса.........................................................................	20
3.3. Дифференцируемость случайного процесса..............................................................	20
3.4. Интегрируемость случайного процесса .....................................................................	22
3.5. Действие линейного оператора на случайный процесс............................................	24
3.6. Эргодические случайные процессы............................................................................	25
4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ........	31
4.1. Стационарные случайные процессы с дискретным спектром.................................	31
4.2. Стационарные случайные процессы с непрерывным спектром..............................	33
4.3. Белый шум.....................................................................................................................	35
Литература ...............................................................................................................................	38

38