Случайные_процессы

дифференцируемым на множестве T0, а случайный процесс ξɺ(t,ω), t T0 , — производ-

ной случайного процесса ξ(t, ω), t Т, на множестве T0.

Теорема 3.7. Для того чтобы скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т,

был дифференцируем в точке t0 Т, а для случайной величины ξɺ(t,ω) существовали математическое ожидание и дисперсия, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке была дифференцируема функция mξ(t) и существовала вторая смешанная производная функ-

ции Kξ(t1,t2) при t1 = t2 = t0.

Следствие 3.2. Для дифференцируемого на множестве Т скалярного случайного процесса второго порядка ξ(t, ω), t Т, c математическим ожиданием mξ(t) и ковариационной функ-

цией Kξ(t1,t2) определен скалярный случайный процесс ξɺ(t,ω), t T .

При этом, еслиη(t,ω) = ξɺ(t,ω) — случайный процесс второго порядка, то

dm (t)

∂ 2 K

(t

, t

)

∂ 2 K

(t , t

)

m (t) =

ξ

, K

(t

, t

) =

ξ

1

2

=

ξ

1

2

.

η

2

η

dt

1

∂t1∂t2

∂t 2 ∂t1

Следствие 3.3. Если ξ(t, ω), t Т, — дифференцируемый в Т стационарный скалярный случайный процесс второго порядка с математическим ожиданием mξ = const и ковариа-

ционной функцией Kξ(τ), τ = t2 – t1, η(t,ω) = ξɺ(t,ω) — случайный процесс второго поряд-

ка, то mη ≡ 0, Kη(τ) = - K″ξ(τ).

Пример. Рассмотрим скалярный случайный процесс

ξ(t, ω) = α(ω) cos(φt) + β(ω) sin(φt), t T = [0, ∞), где α(ω) и β(ω) — независимые случай-

ные величины с математическими ожиданиями mα, mβ соответственно, одинаковыми дис-

персиями, равными σ2, а φ R — известная постоянная. Доказать, что η(t,ω) = ξɺ(t,ω) яв-

ляется дифференцируемым.

Пример. Пусть ξ(t, ω), t Т, — стационарный скалярный случайный процесс с ковариационной функцией Kξ(τ) = σ2exp(-α2| τ|), τ = t2 – t1.

На первый взгляд этот случайный процесс не является дифференцируемым, так как при τ = 0 функция Kξ(τ) не имеет даже первой производной. Но при более внимательном рас-

смотрении с учетом существования и равенства пределов lim K ′′(τ ) = σ 2α 4		= lim K ′′(τ ),
τ →+0	ξ	τ →−0	ξ

убеждаемся в ошибочности этого вывода.

Пример. Пусть ξ(t, ω), t Т = [0, ∞), — пуассоновский процесс с параметром λ > 0. В этом случае, согласно определению 2.7, для любых t1, t, t2 Т, t1 < t < t2, случайные величины ξ(t, ω) - ξ(t1, ω), и ξ(t2, ω) - ξ(t, ω) являются независимыми и распределены по закону Пуассона с параметрами λ (t – t1) и λ(t2 - t) соответственно. Рассматриваемый случайный про-

21

{t′m}n-1

цесс не является дифференцируемым ни в одной точке t Т. Это объясняется тем, что не удовлетворяется стохастический критерий Коши (проверить).

3.4. Интегрируемость случайного процесса

Определение 3.8. Скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т = [a,b], называют интегрируемым на множестве Т с весом φ(t, t'), где φ(t, t') — неслучайная функция, определенная на Т х T,если существует скалярный случайный процесс η(t, ω), t Т, такой, что независимо от выбора разбиения П = П(a, b) = {tk}nk=0 m=0 T, a = t0 ≤ t′0 ≤ t1 ≤ t′1 ≤ … ≤ t′n-1 ≤ tn = b, с параметром d(П) = max(k){∆tk} = max(k){tk - tk-1} существует предел

			n−1						2
lim	M		∑	ϕ (t, t ′ )ξ (t ′	,ω)	t	k	−η (t,ω)	≡ 0, t T .
d ( П)→0				k k
			k =0

По поводу интегрируемых случайных процессов второго порядка отметим следующее. 1. Если скалярный случайный процесс ξ(t, ω), t Т = [a,b], является интегрируемым на T с весом φ(t, t'), то скалярный случайный процесс η(t, ω), t Т, обозначают как интеграл:

b

η(t,ω) = ∫ϕ(t, t ′)ξ (t ′,ω)dt ′ ≡ ∫ϕ (t, t ′)ξ (t ′,ω)dt ′ t T .

T a

2. Если φ(t, t') = λ = const, то для интегрируемого на Т случайного процесса ξ(t, ω), t Т =

[a,b], ∫λξ (t ′,ω)dt ′ = λ ∫ξ (t ′,ω)dt ′ = η(ω) − случайная величина.

T T

3. Если ϕ (t, t		1,	t > t ′	единичная функция, то
	) ≡ I (t − t ) =		−
′	′	0,	t ≥ t ′

t

η(t,ω) = ∫ϕ (t, t ′)ξ (t ′,ω)dt ′ ≡ ∫ξ (t ′,ω)dt ′ ― скалярный случайный процесс, который назы-

T a

вают интегралом с переменным верхним пределом от скалярного интегрируемого случайного процесса.

Теорема 3.8. Скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т = [a,b], является интегрируемым на множестве Т с весом φ(t, t') тогда и только тогда, когда на Т с весом φ(t, t’) интегрируемо его математическое ожидание, и на Т х Т с весом φ(t, t1)φ(t, t2) ин-

тегрируема его ковариационная функция.

Следствие 3.4. Если ξ(t, ω), t Т = [a,b], — интегрируемый на множестве Т с весом φ(t, t')

скалярный случайный процесс второго порядка и η(t,ω) = ∫ϕ (t, t ′)ξ (t ′,ω)dt ′, t T , то

T

m (t) =

∫

ϕ (t, t ′)m (t ′)dt ′,

K

η

(t

, t

2

) =

∫∫

ϕ (t

, t ′)ϕ(t

2

, t ′ )K

ξ

(t ′, t ′ )dt ′dt ′

,

η

ξ

1

1

1

2

1 2 1 2

T

T T

22

D (t) ≡ K (t, t ) =		∫∫	ϕ (t, t′)ϕ (t, t′ )K		ξ	(t′, t′ )dt′dt′	≥ 0.
η	η		1	2		1 2 1 2

T T

Следствие 3.5. Если ξ(t, ω), t Т = [a,b], — скалярный случайный процесс второго порядка, интегрируемый на множестве Т с весом ϕ (t, t ′) ≡ I (t − t ′), где I(t - t') — единичная функция, то скалярный случайный процесс

t

η(t,ω) = ∫ϕ (t, t ′)ξ (t ′,ω)dt ′ ≡ ∫ξ (t ′,ω)dt ′

T a

является дифференцируемым на множестве Т и ξ (t,ω) = ηɺ(t,ω).

Следствие 3.6. Если скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t T, интегрируем на множестве Т с весом φ(t, t') и

η(t,ω) = ∫ϕ (t, t ′)ξ (t ′,ω)dt ′, то

T

Kξη (t1 , t 2 ) = M [(ξ (t1 ,ω) − mξ (t1 ))(η (t2 ,ω) − mη (t 2 ))]= ∫ϕ (t2 , t ′ )Kξ (t1 , t ′ )dt ′ .

T

Пример. Пусть ξ(t, ω), t Т = [a,b], — скалярный винеровский процесс, выходящий из нуля. Доказать, что он является интегрируемым на Т с весом ϕ (t, t ′) ≡ I (t − t ′).

Пример. Пусть ξ(t, ω), t Т, η(t, ω), t Т, — скалярные случайные процессы, определенные в предыдущем примере. Найти их совместный закон распределения при каждом фиксированном t ≥ 0, т.е. одномерный закон распределения векторного случайного процесса

ξ (t,ω)

ε (t,ω) = , t T = [0, ∞).

η (t,ω)

Предварительно отметим, что в смысле СК-сходимости операции интегрирования и дифференцирования случайных процессов сводятся к суммированию с весами их сечений и последующему предельному переходу. А из курса теории вероятностей известно, что линейная комбинация конечного числа случайных величин, распределенных по нормальному закону, — случайная величина, распределенная по нормальному закону. Таким образом, можно утверждать, что, как при интегрировании, так и при дифференцировании нормальных процессов, являющихся соответственно интегрируемыми или дифференцируемыми, получаем нормальные процессы.

В рассматриваемом случае ξ(t, ω), t Т = [0,∞), — скалярный винеровский процесс, выходящий из нуля. Он является нормальным скалярным процессом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией D[ξ(t, ω)] = t (см. пример). Тогда и η(t, ω) — нормальный скалярный процесс, можно найти его математическое ожидание и дисперсию. Двумерный случайный вектор (ξ(t, ω), η(t, ω)) распределен по двумерному нормальному закону. Найдем его математическое ожидание и ковариационную матрицу и запишем

23

одномерную функцию плотности вероятностей двумерного векторного случайного про-

цесса (ξ(t, ω), η(t, ω)).

3.5. Действие линейного оператора на случайный процесс

Пусть скалярный случайный процесс η(t, ω) = Lt[ξ(t, ω)], t Т R есть результат воздействия линейного оператора Lt на исходный скалярный случайный процесс ξ(t, ω), t Т, обладающий необходимыми свойствами (дифференцируемость, интегрируемость и т.д.). Если Lt — это оператор умножения на неслучайную функцию, определенную на множестве Т, либо оператор дифференцирования, интегрирования или их композиция, то с учетом результатов, изложенных в 1.2, 3.3, 3.4, приходим к следующим равенствам:

mη(t) = Lt[mξ(t)], Kη(t1, t2) = Lt1Lt2[Kξ(t1, t2)].

(*)

При этом следует отметить, что равенства (*) могут быть получены непосредственно из определения математического ожидания и определения линейного оператора, которым также является и оператор математического ожидания.

Равенства (*) являются весьма полезными при решении многих прикладных задач. Пример. Пусть ξ(t, ω), t Т = [0,∞) —дифференцируемый скалярный случайный процесс с известными математическим ожиданием mξ(t) и ковариационной функцией Kξ(t1, t2). Найдем математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса

		d	t
	η(t,ω) = α (t)ξ (t,ω) + β (t )		ξ (t,ω) + γ (t )∫e −τ ξ (τ ,ω)dτ , t T ,
		dt
			0

где α(t), β(t), γ(t) — неслучайные скалярные функции, определенные при t ≥ 0.

В рассматриваемом случае оператор является линейным и для решения исходной задачи можно воспользоваться равенствами (*).

Следует отметить, что если случайные процессы ξ(t, ω), t Т, η(t, ω), t Т определены и связаны равенством η(t, ω) = Lt[ξ(t, ω)], а линейный оператор Lt является обратимым, то обратный оператор L-1t также является линейным оператором и в этом случае имеют место равенства, аналогичные равенствам (*). Во многих технических дисциплинах широко используют понятие линейного динамического звена n-го порядка, под которым понимают подсистему любой динамической системы, состояние которой y(t) адекватно описывает математическая модель, представляющая собой задачу Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка:

Lt[y(t)] ≡ y(n)(t) + α1(t)y(n-1)(t) + … + αn-1(t)y′(t) + αn(t)y(t) =f(t), y(0) = y0, y(k) (0) = y0k, k = 1, …, n-1, где αk(t), k = 1, …, n, — известные неслучайные функции, определенные при t > 0, a f(t) — известная неслучайная функция (входной сигнал). Если у0 = 0 = y0k, k = 1, …, n-1,

24

то линейное динамическое звено называют невозмущенным и функцию y(t) — его реак- цией на входной сигнал. Если на вход линейного динамического звена поступает случайный процесс ξ(t, ω), t Т, то реакция линейного динамического звена — случайный процесс η(t, ω), t Т, и мы приходим к равенству Lt[η(t, ω)] = ξ(t, ω), t Т, которое фактически является стохастическим дифференциальным уравнением, линейным относительно случайного процесса η(t, ω), t Т.

Под стохастическим дифференциальным уравнением будем пока так и понимать равенство двух случайных процессов ξ(t, ω), t Т и Lt[η(t, ω)], t Т, которое будем использовать для определения связей между их характеристиками.

Реакция линейного динамического звена на входной сигнал — удобный объект для иллюстраций.

Пример. Рассмотрим задачу Коши

ɺ	(t,ω) + α (t)η (t,ω) = ξ (t,ω),
η
	η (0,ω) ≡ 0,
которую можно записать в операторном виде
	Lt[η(t, ω)] = ξ(t, ω),

и интерпретировать как задачу о нахождении реакции невозмущенного (по начальному состоянию) линейного динамического звена первого порядка с параметром α(t), (α(t) — непрерывная неслучайная функция при t > 0) на входной сигнал ξ(t, ω), t > 0, который представляет собой скалярный случайный процесс с математическим ожиданием mξ(t) и ковариационной функцией Kξ(t1, t2). Требуется определить математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса η(t, ω), t Т.

3.6. Эргодические случайные процессы

При решении прикладных задач, когда по наблюдаемым значениям изучаемого случайного процесса требуется оценить его моменты, большое значение приобретает информативность выборочных реализаций. Это особенно важно в тех случаях, когда условия, в которых проводят наблюдения, позволяют получить лишь одну реализацию. В связи с этим возникает естественный вопрос — можно ли по одной реализации случайного процесса делать какие-либо заключения о его свойствах? Оказывается, что можно, но не для всех случайных процессов, а лишь для тех, которые удовлетворяют определенным условиям. Определение 3.9. Скалярный случайный процесс ξ(t, ω), t Т = [0, l], интегрируемый на множестве Т с весом φ(t, t′) = l/l, t, t' Т, и обладающий постоянным математическим ожиданием mξ, называют эргодическим по отношению к математическому ожиданию mξ(t), если существует предел

25

lim 1 ∫l ξ (t,ω)dt = mξ ,

l →∞ l 0

или, что то же самое,

			1	l			2
lim M				∫	ξ (t,ω)dt − m			= 0.
						ξ
l →∞			l
				0

Теорема 3.9. Пусть ξ(t, ω), t Т = [0, l], — скалярный случайный процесс второго порядка, интегрируемый на множестве Т с весом ρ(t), где ρ(t) — некоторая произвольная неслучайная интегрируемая на Т функция. Предел

l

liml →∞ ∫ρ (t )[ξ (t,ω) − mξ (t )]dt = 0

0

существует тогда и только тогда, когда существует предел

l l

liml →∞ ∫∫ρ (t1 )ρ (t2 )Kξ (t1 , t2 )dt1dt 2 = 0.

0 0

Следствие 3.7. Если в условиях теоремы 3.9 ρ(t) = 1/l, t Т = [0, l], то

lim 1 ∫l [ξ (t,ω) − mξ (t )]dt = 0

l →∞ l 0

тогда и только тогда, когда

lim	1	l	l	K		(t , t		)dt dt		= 0.
		∫∫			ξ		2		2
l →∞ l 2						1		1
		0	0

Следствие 3.8. Если скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т = [0, l], интегрируем на множестве Т с весом ρ(t) = 1/l, и mξ(t) = mξ = const, то условие

lim	1	l	l	K		(t , t		)dt dt		= 0 является необходимым и достаточным для эргодичности этого
		∫∫			ξ		2		2
l →∞ l 2						1		1
		0	0

случайного процесса по отношению к математическому ожиданию.

Следствие 3.8 — отражение общей эргодической теоремы, утверждающей следующее. Для скалярного случайного процесса ξ(t, ω), t Т = [0, l], с постоянным математическим ожиданием условие, что среднее значение этого случайного процесса по области Т в пределе при l → ∞ равно его математическому ожиданию, равносильно условию, что среднее значение по области Т х Т ковариационной функции при l → ∞ стремится к нулю.

Практическая проверка реализуемости необходимого и достаточного условия эргодичности случайного процесса относительно его математического ожидания может быть связана с преодолением значительных трудностей. Поэтому зачастую, особенно в случае стационарных случайных процессов, целесообразно использовать достаточные условия эргодичности.

26

Теорема 3.10. Пусть скалярный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т = [0, l], интегрируемый на множестве Т с весом 1/l, имеет постоянное математическое ожидание mξ. Тогда для его эргодичности относительно математического ожидания достаточно существования предела

lim Kξ (t1 , t 2 ) ≡ 0.

|t2 −t1|→∞

Пример. Скалярный стационарный случайный процесс ξ(t, ω), t Т = [0, ∞], с характери-

стиками mξ = 0, Kξ(τ) = σ2e-α|τ|[cos(βτ) + (α/β)·sin(β|τ|)], α > 0,

является эргодическим относительно математического ожидания.

Действительно: а) по условию случайный процесс имеет постоянное математическое ожидание;

б) он является интегрируемым на любом отрезке [0, l]; в) выполняется достаточное условие.

Замечание 3.3. Для эргодического по отношению к математическому ожиданию скалярного случайного процесса ξ(t, ω), t Т = [0, l], с известной реализацией x(t) в качестве оценки его математического ожидания можно использовать величину

1 l

mˆ ξ = l ∫0 x(t )dt.

При этом, как известно из курса математической статистики, качество этой оценки возрастает с ростом l.

Замечание 3.4. Возможность получения оценки математического ожидания эргодического случайного процесса по одной его реализации, т.е. по результатам одного эксперимента, зачастую избавляет исследователей от проведения многочисленных экспериментов, связанных с затратами материальных и временных ресурсов.

Замечание 3.5. Если ξ(t, ω), t Т R, — скалярный стационарный случайный процесс, то mξ = Mξ(t, ω) ≡const, Dξ = Dξ(t, ω) ≡const. Скалярный случайный процесс (ξ(t, ω) - mξ)2, t Т, имеет постоянное математическое ожидание Dξ и при выполнении соответствующих условий является эргодическим по отношению к математическому ожиданию. Таким образом, можно вести речь о том, что исходный случайный процесс ξ(t, ω), t Т, является эргодическим по отношению к дисперсии и рассматривать возможность построения качественной оценки для его дисперсии по одной реализации.

Определение 3.10. Скалярный стационарный случайный процесс второго порядка ξ(t, ω), t Т = [0,l], интегрируемый на Т с весом 1/l, называют эргодическим по отношению к дисперсии Dξ, если существует предел

27

l

lim 1 ∫[ξ (t,ω) − mξ (t)]2 dt = Dξ ,

l →∞ l 0

или, что то же самое,

			1	l			2
lim M				∫	[ξ (t,ω) − m (t )]2 dt − D			= 0.
l →∞			l		ξ	ξ
				0

В заключение отметим, что если скалярный случайный процесс ξ(t, ω) эргодичен по отношению к дисперсии Dξ, то скалярный случайный процесс η(t, ω) = (ξ(t, ω) -mξ)2, согласно определению 3.6, эргодичен относительно математического ожидания Mη(t, ω) = Dξ = const. Таким образом, условие

lim	1	l	l	K	(t , t		)dt dt		= 0
		∫∫				2		2
l →∞ l 2				η	1		1
		0	0

необходимо и достаточно, а условие

lim Kη (t1 , t 2 ) ≡ 0.

|t2 −t1|→∞

достаточно для эргодичности исходного скалярного стационарного случайного процесса ξ(t, ω) относительно дисперсии.

Вопросы и задачи

3.1.Являются ли: а) стохастически эквивалентные случайные процессы равными в смысле СК-нормы; б) случайные процессы, равные в смысле СК-нормы, стохастически эквивалентными?

3.2.Можно ли утверждать, что предел случайного процесса обладает обычными свойствами предела неслучайной функции?

3.3.Можно ли утверждать, что предел последовательности случайных процессов обладает обычными свойствами предела последовательности?

3.4.Докажите теорему 3.2.

3.5.Докажите утверждение из замечания 3.1.

3.6.Определение 3.3 непрерывности случайного процесса в точке является аналогом первого из двух эквивалентных определений непрерывности функции в точке. Сформулируйте определение непрерывности случайного процесса в точке, аналогичное второму определению непрерывности функции в точке.

3.7.Пусть ξ(t, ω) = (ξ1(t, ω), ξ2(t, ω))T, t Т = [0, ∞),— двумерный винеровский процесс, вы-

ходящий из 0. Пусть [a, b] R, a = t0 < t1 < … < tn = b. Докажите, что существует предел

	n−1
lim	∑[ξ1 (tk +1 ,ω) − ξ1 (tk ,ω)][ξ2 (tk +1 ,ω) − ξ2 (tk ,ω)] = 0, где ∆tk = tk - tk-1, k = 1, …, n..
max tk →0	k =0

3.8. Докажите следствие 3.1 из теоремы 3.5.

28

3.9.Докажите, что линейная комбинация и произведение непрерывных на Т скалярных случайных процессов — непрерывные на Т скалярные случайные процессы.

3.10.Пусть ξk(t, ω), k= 1, 2,… — некоррелированные случайные величины и

n

ηn (ω) = ∑ξk (ω), n =1, 2,…

k =1

Докажите, что последовательность случайных величин {ηn(ω)} сходится тогда и только

					n			n
тогда, когда одновременно сходятся числовые ряды ∑M [ξk (ω)],								∑D[ξk (ω)].
					k =1			k =1
3.11. Пусть ξ(t, ω), ξk(t, ω), k= 1, 2,…, η(t, ω), ηn(t, ω),					n = 1, 2,…, — скалярные случайные
процессы, t Т R, причем
M [| ξ	(ω) |2 ] < ∞, M [|η(ω) |2 ] < ∞,	lim ξ		(t,ω) = ξ (ω),	limη		(t,ω) =η (ω).
k		k →∞	k		n→∞	n

Докажите, что lim M [ξk (t,ω)ηn (t,ω)] = M [ξ (t,ω)η (t,ω)].

k ,n→∞

3.12. Докажите следствия 3.2, 3.3.

3.13. Докажите, что скалярный случайный процесс ξ(t, ω) = e-2tsin[t +φ(ω)], t Т,где φ(ω) — случайная величина, распределенная по равномерному закону на отрезке [0, 2π], дифференцируем на Т.

Указание: воспользоваться критерием дифференцируемости случайного процесса. 3.14. Пусть φ(ω) — случайная величина, распределенная по равномерному закону на

[0,2π] и ξ(t, ω) = |sin t| sin[2t +φ(ω)], t Т = [0, ∞). Является ли: а) случайный процесс ξ(t, ω)

дифференцируемым? б) является ли произвольная реализация случайного процесса ξ(t, ω) дифференцируемой?

3.15. Найдите математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию случай-

ного процесса η(t, ω) = ξɺ(t, ω), t Т R, если известно, что

ξ(t, ω) = 2 + t +α(ω)t2 + β(ω)t3, где α(ω) и β(ω) — некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, равными 0,1. 3.16. Найдите математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случай-

ного процесса η(t, ω) = ξɺ(t, ω), t Т, если известно, что ξ(t, ω) = α1(ω)t + α2(ω)sin t,

α (ω) =	α1	(ω)	, M [α (ω)] = 1	, cov(α (ω)) =	2	1	.
α2 (ω)			1	1		3

3.17. Дифференцируемый случайный процесс ξ(t, ω), t Т, имеет математическое ожидание mξ(t) и ковариационную функцию Kξ(t1,t2). Найдите математическое ожидание и кова-

риационную функцию случайного процесса η(t, ω) = ξ(t, ω) + ξɺ(t, ω), t Т. 3.18. Является ли дифференцируемым винеровский процесс?

29

3.19. Пусть ξ(t, ω), t Т, — стационарный в широком смысле случайный процесс, дифференцируемый на Т. Является ли стационарным в широком смысле случайный процесс

ξɺ(t, ω), t T?

3.20.Докажите, что производная от гауссовского процесса — гауссовский процесс.

3.21.Найдите вероятность того, что производная от гауссовского стационарного случай-

ного процесса ξ(t, ω), t Т, будет иметь значения большие, чем d = √ 5 м/с, если М[ξ(t, ω)] = 10м, Kξ(τ) = σ2e-α|τ|[cos(βτ) + (α/β)sin(β|τ|)], σ2 = 4 м2, α = 1 c-1, β = 2 c-1.

3.22.Пусть ξ(t, ω), t Т, — стационарный в широком смысле случайный процесс с ковариационной функцией Kξ(τ) = (1 + |τ| + 0,125τ)e-|τ|.

Сколько раз он дифференцируем?

3.23.Найдите одномерный закон распределения векторного случайного процесса η(t, ω) =

(ξ(t, ω), ξɺ(t, ω))T, t Т, если ξ(t, ω), t Т, — нормальный скалярный стационарный в широ-

ком смысле случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией Kξ(τ) = (1 + τ2)-1.

3.24.Докажите следствие 3.6.

3.25.Найдите дисперсию случайного процесса η (t, ω), t Т, при t = 10 с, если

t

η(t,ω) = ∫ξ (t′,ω)dt′, t T ,

0

a ξ(t, ω)— интегрируемый на Т скалярный случайный процесс и Kξ(τ) = σ2(1 + α|τ|)e-α|τ|, σ2

= 10 (см/с)2, α = 0,5с-1.

3.26. Найдите математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию случайного процесса:

t

η(t,ω) = ∫ξ (t′,ω)dt′, t T , если а) mξ(t) = 0,2cos2(vt), Kξ(t, s) = 0,4cos(vt)cos(vs) и v —

0

известная постоянная;

6) ξ(t, ω) = t + α(ω)cos t + β(ω)sin t, где α(ω), β(ω) — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и D[α(ω)] = 0,1, D[β(ω)] = 0,2.

3.27. Пусть η(t, ω), t Т = [0,∞), — скалярный стационарный в широком смысле дифференцируемый на Т случайный процесс. Выясните, является ли стационарным в широком смысле случайный процесс

t

η(t,ω) = ∫ξɺ(t′,ω)dt′, t T .

0

30