4. Верификация

Верификации данной программы начнём с рассмотрения покоящегося цилиндра без трения на стенках заполненного вязким газом. Для этого положим скорость вращения равную нулю и теплопроводность близкую к нулю (теплопроводность в программе нельзя задать нулевой, иначе уравнения вырождаются и Maple не понимает, как считать систему) и используем граничные условия свободного скольжения на стенках. Построив теоретический график зависимости суммарной энергии системы от частоты возмущений, и сравнив его с полученным численно, легко понять, что на данном этапе метод даёт правильный результат.Рис.9. Графики зависимости энергии волны от её частоты в идеальном вязком газеНиже представлены теоретическая и интерполированная функции для данного случая:Далее рассмотрим покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом, и сравним результаты с теоретическими.Рис.10. Графики зависимости энергии волны от её частоты в идеальном вязком теплопроводящем газеЗдесь представлены теоретическая и подобранная программой функции для данного случая:Отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,76%.Убедившись в правильности вычисления резонансных кривых удостоверимся в правильности метода в целом. Для этого рассмотрим два случая, которые имеют аналитическое решение.Первый случай - это покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом. Выше для этого случая выводилось:,                                        (31)здесь считаем, что член со второй вязкостью не внесёт существенной поправки.Для наглядности преобразуем (31) в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:(32)Построим в логарифмическом масштабе расчётный график и теоретический.Рис.11. Графики зависимости дальности затухания волны от её волнового числа построенные с учётом вязкости и теплопроводности в логарифмическом масштабе.– экспериментальный график,– теоретический графикВидно, что зависимость имеет степенной характер. Более того отклонение от теоретического оказывается даже меньше, чем для предыдущих случаев и составляет 0,52%. Далее рассмотрим второй случай - покоящийся цилиндр с трением на стенках заполненный идеальным газом. Теоретическая зависимость коэффициента поглощения от частоты возмущения имеет вид [10]:

также преобразуем её в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

(33)

Построим в логарифмическом масштабе расчётный график и теоретический.

Рис.12. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные с учётом трения на внешней стенке в логарифмическом масштабе. – экспериментальный график,– теоретический графикОкончательно, зная, что формула (32) учитывает только поглощение за счёт вязкости и теплопроводности, формула (33) учитывает поглощение за счёт трения о стенку, производим расчет, учитывающий оба этих явления.И сравниваем результат с теоретическими предсказаниями, которые складываются из первого и второго эффекта по формуле:

(34)

на рис.13 видно, что теоретическая и расчетная зависимости имеют одинаковый вид. 

Рис.13. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. - экспериментальный график учитывающий вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке,- теоретический график учитывающий вязкость и теплопроводность,- теоретический график учитывающий трение на внешней стенке,- теоретическая зависимость рассчитанная по формуле (34)

Как теоретическая, так и расчетная зависимости при малых волновых числах k асимптотически стремятся к зависимости, учитывающую трение о стенку, а при больших волновых числах k учитывающую вязкость. Отсюда можно сделать вывод, что при малых волновых числах k основную роль в затухании играет процесс трения на стенках, но при их росте всё большую роль играет вязкость газа.

5. Расчёт

Теперь рассчитаем случай максимально приближенный к реальной центрифуге: вращающийся цилиндр со всеми диссипативными взаимодействиями (трением на внешней стенке, вязкостью и теплопроводностью).Для этого случая теоретических зависимостей нет, поэтому нам придётся полагаться на расчет и полученный ранее коэффициент затухания звука в центробежном поле сил. Зная зависимость коэффициента затухания звука от его частоты (19) и рассчитанный выше поправочный коэффициент на скорость вращения ротора (30), несложно получить зависимость глубины проникновения волны от её волнового числа:=(33)с которой расчёт полностью согласуется.Формула (33) не учитывает трения на стенках цилиндра, и на данный момент не существует теоретических моделей, учитывающих этот эффект.

Рис.14. Графики зависимости глубины проникновения волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. - глубина проникновения учитывающая вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке рассчитанная экспериментально,- теоретическая глубина проникновения учитывающая вязкость и теплопроводность,- теоретическая глубина проникновения учитывающая трение на внешней стенке,теоретическая зависимость, рассчитанная по формуле

После этого был проведён расчет зависимости длины пробега звуковой волны от радиуса.

Рис.15. Графики зависимости глубины проникновения волны от радиуса ротора

ВЫВОДЫ

В ходе исследования были получены следующие результаты:

1. Разработан численный метод расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых.

2. Проведено тестирование метода на задаче затухания волн в роторе без вращения.

3. Получено аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения.

4. Проведен численный расчет декремента затухания в центробежном поле, пропорциональном 10⁶g и сравнение этого затухания с аналитическими предсказаниями.