(радиуса b) равным нулю, найдем потенциал в точке, расположенной на расстоянии r < b от оси:
b |
b |
λ |
|
λ |
|
r |
|
|
|
ϕ(r) = òEdr =ò |
dr = − |
ln |
. |
(5) |
|||||
2πεε0r |
2πεε0 |
|
|||||||
r |
r |
|
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Описание эксперимента
~
V
Электрод 1 |
Зонд |
Электрод 2 |
Зубчатое колесо
Рис.3. Схема установки
Электроды помещаются в ванну с электролитом;
вольтметром измеряется напряжение на подвижном зонде по отношению к одному из электродов, потенциал которого считается равным нулю (рис.3). Перемещение зонда осуществляется вращением зубчатых колес, расположенных по бокам установки справа и слева. По соответствующим шкалам можно определить значения координат зонда. Таким образом находятся значения потенциала ϕ(x, y) в
различных точках поля.
Если потенциал ϕ(x, y) определен, то вектор напряженности электрического поля E(Ex , Ey ) можно рассчитать по
формулам
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Ex = - |
¶j |
, |
Ey = - |
¶j |
, |
|
¶x |
¶y |
|||||
|
|
|
|
(6)
которые следуют из общего соотношения
r |
æ |
¶j r |
¶j r |
¶j rö |
|||
|
ç |
|
i + |
|
j + |
|
÷ |
E = -grad j = -ç |
¶x |
¶y |
¶z |
k ÷ |
|||
|
è |
|
|
ø |
|||
, |
(7) |
|
где |
r r |
- орты осей |
i , j, k |
прямоугольной системы координат XYZ .
|
Y |
2 |
1 |
0 |
3 |
|
|
X |
|
b |
a |
|
|
|
|
|
4 |
Рис.4. К расчету
напряженности электрического поля через значения потенциала в ее окрестности
Обычно потенциал удается измерить в конечном числе точек, расположенных в некоторой области. Пусть, например, известны значения потенциала в
близко расположенных узлах прямоугольной сетки (рис.4). Тогда вектор напряженности электрического поля в точке 0 имеет проекции на оси X и Y:
Ex = − |
∂ϕ |
≈ − |
Δϕ |
|
|
≈ − |
ϕ3 − ϕ1 |
, |
||
|
||||||||||
|
∂x |
|
x |
|
y = const |
|
2a |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
Ey = - |
¶j |
» -Dj |
|
|
» - j2 - j4 . |
|||||
|
||||||||||
|
¶y |
|
Dy |
|
x = const |
|
2b |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для приемлемой точности необходимо, чтобы в рассматриваемой окрестности точки 0 электрическое поле менялось слабо и, очевидно, что точность этих формул увеличивается с уменьшением a и b.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Выполнение работы
Упражнение 1. Изучение поля, созданного параллельными заряженными стержнями.
1.Поместите в ванну с электролитом электроды в виде стержней. Электроды должны быть чистыми, без черного налета. При необходимости их следует аккуратно зачистить "шкуркой". Отрегулируйте горизонтальное положение ванны с помощью установочных винтов. Зонд должен располагаться вертикально.
2.Включите электронный вольтметр, настроенный на измерение переменного напряжения. Приведите зонд в электрический контакт с электродом 1 (см. рис.3), включите
источник питания и установите напряжение между
стержнями U0 = 10 В. Контролировать напряжение следует
по электронному вольтметру, а не по "грубому" прибору, встроенному в источник питания.
3. Определите напряженность электрического поля E0 в
начале координат (используемая система координат изображена на рис.2). Так как в этой точке вектор напряженности параллелен оси X, то достаточно найти проекцию вектора напряженности на эту ось. Для этого
следует измерить разность потенциалов Δϕ между точками с координатами
(– x/2, 0) и (+ x/2, 0) и рассчитать
E0 = |
|
E0x |
|
= |
|
∂ϕ |
|
≈ |
|
Δϕ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
x |
|
y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частная производная при этом заменяется отношением
малых приращений. Точность |
такого приближения |
увеличивается с уменьшением x, |
однако при очень малых |
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
значениях x трудно с приемлемой точностью измерить Δϕ. В данном эксперименте предлагается принять x = 2 см.
4. Проверьте экспериментально формулу (2). Для этого определите, как и в п. 3, напряженность поля E в точках, лежащих на оси Y. По результатам измерений постройте график зависимости отношения E / E0 от координаты y (на
том же листе миллиметровой бумаги, что и график, рассчитанный теоретически при помощи (2) во время подготовки к работе).
5. Измерьте модуль вектора напряженности поля в произвольной точке с координатами (x, y) (выберите эту точку по указанию преподавателя). Для этого сначала
определите проекции вектора напряженности на координатные оси
|
Ex |
|
= |
|
∂ϕ |
|
≈ |
|
Δϕ |
|
, |
|
Ey |
|
= |
∂ϕ |
≈ |
Δϕ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
x |
|
y = const |
|
|
|
|
∂y |
|
y |
|
x = const |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а затем |
|
|
|
рассчитайте |
модуль вектора |
E = |
Ex2 + Ey2 . |
|||||||||||||||
Полученное значение сравните с теоретическим, найденным при помощи (4).
Упражнение 2. Изучение поля цилиндрического конденсатора.
1.Выключите источник питания. Поместите в ванну электрод в виде полого цилиндра. В разрез, имеющийся в цилиндре, введите зонд, после чего цилиндр разверните таким образом, чтобы разрез был закрыт одним из стержней.
2.Включите источник питания. Установите напряжение между обкладками цилиндрического конденсатора (между
центральным стержнем и внешним цилиндром) U0 = 10 В. Перемещая зонд вдоль радиуса, снимите зависимость
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com