Двоичная система счисления

Это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1.

Основанием двоичной системы является число 2.

Для получения записи числа в двоичной системе исполъзуется представление этого числа с помощью степеней числа 2.

Таблица значений степеней числа 2.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2^n	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Любое десятичное число можно записать в виде суммы различных степеней с основанием 2.

Например:

0=0*2⁰

1=2⁰=1*2⁰

2=2¹=1*2¹+0*2⁰

3=2+1=2¹+2⁰=1*2¹+1*2⁰

4=2²=1*2²+0*2¹+0*2⁰

5=4+1=2²+2⁰=1*2²+0*2¹+1*2⁰

6=4+2=2²+2¹=1*2²+1*2¹+0*2⁰

7=4+2+1=2²+2¹+2⁰=1*2²+1*2¹+1*2⁰

25=16+8+1=2⁴+2³+2⁰=1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰

Отсюда

a_n*2ⁿ+a_n-1*2^n-1+…+a₁*2¹+a₀*2⁰

Каждый из коэффициентов a_n, a_n-1, … a₁, a₀ является одной из цифр 0 или 1, причём a_n=1

Запишем в двоичной системе первые числа натурального ряда, а именно все арабские цифры:

0=0₂

1=1₂

2=10₂

3=11₂

4=100₂

5=101₂

6=110₂

7=111₂

8=1000₂

9=1001₂

Правила сложения

Если сумма слагаемых цифр больше или равна основанию с.с. происходит перенос единицы в следующий слева разряд.

В двоичной системе счисления:

1₂+0₂=1₂

0₂+1₂=1₂

1₂+1₂=10₂ (1+1=2₁₀=10₂)

Шестнадцатеричная система счисления

a_n*16ⁿ+a_n-1*16^n-1+ … +a₁*16¹+a₀*16⁰

16⁰=1, 16¹=16, 16²=256, 16³=4096, 16⁴=65536, …

18₁₀=16₁₀+2₁₀=1*16¹+2*16⁰=12₁₆

312₁₀=256₁₀+48₁₀+8₁₀=1*16²+3*16¹+8*16⁰=138₁₆

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

0₁₀=0₁₆

1₁₀=1₁₆

9₁₀=9₁₆

10₁₀=A

11₁₀=B

12₁₀=C

13₁₀=D

14₁₀=E

15₁₀=F27₁₀=16₁₀+11₁₀=1*16¹+11*16⁰=1*16¹+B*16⁰=1B₁₆

317₁₀=256₁₀+48₁₀+13₁₀=1*16²+3*16¹+13₁₀*16⁰=1*16²+3*16¹+D*16⁰=13D₁₆

110₁₆=1*16²+1*16¹+0*16⁰=272₁₀

Например:

197=128+64+4+1=2⁷+2⁶+2²+2⁰=1*2⁷+1*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=11000101₂

Перевод чисел из одной системы счисления в другую систему счисления

10-ричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17, …

8-ричная: 0,1,23,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,2021, …

5-ричная: 0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21.22,23,24,30,31,32, …

Перевести числа 1101₂ и 1101011₂ в десятичную систему

1101₂=1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=8+4+0+1=13

1101011₂=1*2⁶+1*2⁵+0*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=64+32+8+2+1=107

Задание:

Переведите 1001₂, 110110₂, 11011010₂, 1010101010₂, 1100110011₂ в десятичную систему

Количество символов, с помощью которых можно записать какое-либо число в данной системе счисления, называется основанием системы счисления.

Перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системы счисления в десятичную

2

8

10

N=a_n*pⁿ+…+a_1*p¹+a₀,+a_-1*p^-1+a_-2*p^-2+…+a_-m*p^-m

Слева от запятой

Справа от запятой

16

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную системы счисления

10

2

Деление на 2

8

Деление на 8

16

Деление на 16

Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную системы счисления

2

Умножение на 2 на 2

10

8

Умножение на 8 на 2

16

Умножение на 16 на 2