Раздел 2. Теория функций комплексного переменного

Второй раздел включает шесть тем: Комплексные числа и действия над ними; Функции комплексного переменного (ФКП). Условия Коши-Римана; Элементарные функции и конформные отображения; Представление регулярных функций интегралами; Представления регулярных функций рядами; Вычеты функций и их применение.

Работа с разделом 2 завершается выполнением контрольной работы.

Для того, чтобы Вы смогли успешно ответить на вопросы контрольного теста, Вам предоставляется возможность поработать с репетиционным тестом. Он является полным аналогом контрольного теста, однако время работы с ним не ограничено, и даются правильные ответы на вопросы.

Если Вы испытываете затруднения в ответе на какой-либо вопрос, обратитесь к глоссарию или учебному пособию.

Если Вы справились с репетиционным тестом, переходите к контрольному тесту. Индивидуальный вариант теста следует получить у своего преподавателя (тьютора), при этом время ответа ограничено. Каждый правильный ответ контрольного теста оценивается в два балла, следовательно, в сумме по первому разделу можно получить 20 баллов.

Желаем успеха!

2.1. Комплексные числа и действия над ними

Изучаемые вопросы: Определение комплексного числа (к.ч.). Геометрическая интерпретация к.ч. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы к.ч. Действия с к.ч. в различных формах.

После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно [4]. Для проверки усвоения материала Вам предстоит ответить на вопросы для самопроверки.

0. Формы представления комплексных чисел (К.ч.)

Говорят, что существует взаимнооднозначное соответствие между числом и точкой вещественной оси (рис.1). Также, между точками плоскости и парами вещественных чисел существует взаимнооднозначное соответствие. Назовём такое число комплексным, где – координаты комплексного числа на плоскости. Это будет т.н.координатная форма комплексного числа.

Рис.2

Рис.1

К.ч. отвечает векториз начала координат. Его компоненты:и, или, где– длина вектора, или егомодуль, – угол между вектором и положительным направлением оси, илиаргумент к.ч., (иногда его называютфазой) (рис.2).

Используют также алгебраическую форму представления К.ч., записывая его в виде , где– вещественные числа, а– символ, такой что, называемыймнимой единицей. Тогда в тригонометрической форме К.ч. может быть записано как .

Важным свойством всех этих форм записи является то, что при этом удовлетворяются основные правила алгебры.

Подробнее об этом Вы прочтёте в Учебном пособии. Здесь же мы хотели бы сделать следующее замечание. Непосредственный физический смысл имеют, конечно же, только действительные величины. Но комплексные функции, содержащие символ мнимой единицы играют важную роль в физике и технике. Этому есть, по крайней мере, три причины.

1. Многие физические величины описываются функциями иот двух переменныхи, связанных уравнениями

. (1)

Такие пары встречаются, например, в двумерных задачах электростатики и гидродинамики. В этом случае иявляются вещественной и мнимой частямианалитической функции комплексного переменного.

2. Решения дифференциальных уравнений физики в некоторых областях действительного переменного получаются в виде степенных рядов. А тот же степенной ряд может представлять функцию комплексного переменного, поэтому изучение комплексных переменных часто помогает получить более компактные выражения для вещественных значений аргумента.

3. Многие интегралы, заданные в вещественной форме, легче вычисляются, будучи связанными с комплексными интегралами при использовании метода контурного интегрирования, основанного на теореме Коши.