Вопросы для самопроверки по теме 2.1

1. Какие формы записи комплексного числа Вы знаете?

2. Как определяются модуль и аргумент к.ч?

3. Что такое главное значение аргумента?

4. Напишите формулы сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень к.ч.

2.2. Функции комплексного переменного (фкп). Условия Коши-Римана

Изучаемые вопросы: Определение ФКП. Предел и непрерывность. Производная и дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Регулярность. Гармонические функции.

По этой теме Вам также предстоит решить задачу контрольной работы (см. [4]).

2.2.1. Общие замечания

Все нужные определения и примеры приведены в Учебном пособии.

При изучении материала обратите внимание на схожесть понятий для ФКП и функций вещественного переменного. Различие в понятиях бесконечности на вещественной оси и бесконечно удалённой точки (БУТ) на комплексной плоскости основано на следующем.

Понятие БУТ вводится по аналогии с расширением вещественной оси, к которой добавляют две «бесконечные» точки: и. Комплексная плоскость с добавленной БУТ также называетсярасширенной. Геометрическую интерпретацию этого понятия дал Риман (сфера Римана).

Рассмотрим сферу произвольного радиуса, касающуюся комплексной плоскостив начале координат(рис.1). Пусть– верхний конец вертикального диаметра (северный полюс). Любое к.ч. изображается точкойна комплексной плоскости. Соединим эту точку с полюсом, и пусть– точка пересечения прямойсо сферой. Точканазываетсястереографической проекцией точки . Тогда. Наоборот,. Соответствие будет однозначным, если считать, что. Тогда, при, т.е. окрестностью БУТ следует считать множество точек расширенной комплексной плоскости:, т.е. внешность любого круга радиусас центром в начале координат.

Необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости ФКП являются условия Коши-Римана, которые совпадают с уравнениями (1). Следует запомнить все четыре выражения для производной ФКП через частные производные её вещественной и мнимой частей:

(2)

Важным в ТФКП является понятие регулярной функции: функция однозначная и дифференцируемая в каждой точке некоторой области называется регулярной вэтойобласти. Из этого определения следует, что для регулярной функции выполняются условия Коши-Римана.

Функция, регулярная в окрестности некоторой точки, называется регулярной вэтойточке. Оказывается, что функция, регулярная в точке, имеет в этой точке производные любых порядков.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа

, (3)

называются гармоническими функциями. Уравнение (3) имеет большое значение в электродинамике, описывая потенциал постоянного электрического поля в пустоте.

Вопросы для самопроверки по теме 2.2

1. В чём заключаются условия Коши-Римана?

2. Напишите четыре уравнения для вычисления производной ФКП.

3. Что означает регулярность функции?

4. Какие функции называются гармоническими?

2.3. Элементарные функции и конформные отображения

Изучаемые вопросы: Линейная ФКП. Геометрический смысл производной. Дробно-линейная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и гиперболические ФКП.

Простейшей из рассматриваемых элементарных ФКП является линейная:

, (4)

являющаяся формальным аналогом линейной функции вещественного переменного . Но вещественная функция ставит в соответствие точкам оситочки оси, т.е. осуществляет отображение, а ФКП (4) отображает точки комплексной плоскостив точки комплексной плоскости(рис.1).

Пусть, т.е.

, тогда (4) можно представить как сложную функцию, составленную из функций

1) ;

2) ;

3) ;

Видим (рис.2), что 1) отображает поворот вектора на угол, изображаемый вектором, 2) – отображает подобное преобразование векторав векторс коэффициентом подобия, а 3) – отображает сдвигна постоянную величину. Суперпозиция этих трёх преобразований и даёт в итоге вектор.

Пусть имеет в точкеконечную производную. Переменная, стремящаяся к конечному пределу, отличается от него на бесконечно малую:

, (5)

гдепри. В (5), и пусть

, (6)

тогда

. (7) (5.9)

Последнее выражение показывает, что любое дифференцируемое отображение в окрестности фиксированной точки приближённо можно считать линейным, если выполняется условие (6). Отсюда вытекает геометрический смысл производной от ФКП: в малой окрестности точки происходит подобное преобразование с коэффициентом и поворот на угол . Такое преобразование называетсяконформным в точке . Достаточным условием этого является условие (6).

Отображение называется конформным в области, если оно взаимнооднозначно и конформно в каждой точке области. Заметим, что при конформном отображении, отличном от линейного, коэффициент подобия и угол поворота меняется от точки к точке.

Об остальных функциях Вы прочтёте Учебном пособии. Здесь лишь заметим, что, в отличие от функций вещественного переменного, показательная ФКП является периодической с периодом , логарифмическая – бесконечнозначной, и что формально формулы дифференцирования элементарных ФКП совпадают с оными для функций вещественного переменного.

Вопросы для самопроверки по теме 2.3

1. В чём состоит геометрический смысл производной от ФКП?

2. Напишите формулы элементарных ФКП: линейной, дробно-линейной, показательной, логарифмической.

3. В чём отличие вещественной и комплексной логарифмических функций?

4. Напишите равенство Эйлера.

5. Как выражаются тригонометрические функции вещественной переменной через показательную функцию?