Плоскость, параллельная профильной плоскости проекции, называется

профильной плоскостью уровня и обозначается Ψ (рис. 24).

Рис. 1.24

Лекция 2. «МНОГОГРАННИКИ, ТОЧКИ И ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКОВ»

Мы рассмотрели построение комплексного чертежа простейших геометрических элементов: точки , прямой, плоскости.

Теперь перейдем к рассмотрению поверхностей, из которых состоят окружающие нас предметы.

Поверхность, состоящую из нескольких плоскостей, называют гранной.

Многогранники

Из числа гранных поверхностей выделяют группу многогранников – замкнутых поверхностей, образованным некоторым количеством граней.

В данном случае и поверхность, и тело, ограниченное этой поверхностью, носят одно название.

Форму различных многогранников имеют кристаллы. Рассмотрим 2 вида многогранников – пирамиду и призму.

Пирамида – многогранник, у которого одна грань, принимаемая за основание, является многоугольником, а остальные грани (боковые) – треугольники с общей точкой S называемой вершиной (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Рис. 2.2.

14

Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой пирамиды. Если основанием пирамиды является правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через его центр, пирамида называется правильной.

Призма – многогранник, у которого две грани, основания одинаковые и взаимно параллельные многоугольники, а остальные грани (боковые) – параллелограммы (рис. 2.2).

Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой, в противном случае наклонной.

Если у призмы ребра перпендикулярны какой либо плоскости проекций, то боковую поверхность называют проецирующей.

По форме основания призмы и пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и т.д.

На комплексном чертеже многогранник задается проекциями его вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребер определяется с помощью конкурирующих точек.

Невидимые ребра изображаются штриховыми линиями. Кроме того, рекомендуется обозначать проекции вершин многогранников.

Таким образом, построение чертежей призм и пирамид сводится по существу к построению проекций точек (вершин) и отрезков (ребер).

На чертеже основания призмы и пирамиды удобно располагать параллельно плоскости проекций.

Задача 1. Построить 3 проекции треугольной пирамиды SABC, основание которой ABC || П1 (рис. 2.3).

Рис. 2.3

15

Сначала следует построить фронтальную проекцию пирамиды (рис.

2.4).

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Для построения профильной проекции пирамиды надо построить оси проекций, а, затем., замерив глубины точек А, В, С, строим их профильные

16

проекции. Далее соединяем профильные проекции вершин пирамиды и определяем видимость ребер (рис. 2.5).

При работе с комплексным чертежом многогранников приходится строить на его поверхности линии. A т.к. линия есть совокупность точек, то необходимо уметь строить точки на поверхности многогранников (рис. 2.6).

Рис. 2.6 Любую точку на гранной поверхности можно построить с помощью

прямой линии, проходящей через эту точку. (точка и прямая линия на поверхности многогранника строится так же, как и в плоскости)

Рис. 2.7

17

Рис. 2.8

Лекция 3. «КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ КРИВОЙ ЛИНИИ. ПРОЕКЦИИ ОКРУЖНОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАНИЕ ИХ НА

КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ»

Кривые линии и поверхности

Кривую линию можно рассматривать:

•как траекторию движения точки на плоскости или в пространстве,

•а также как совокупность точек, удовлетворяющих определенному уравнению.

Кривая линия определяется положением составляющих ее точек. Точки кривой определяются ее координатами. Кривую линию называют плоской,

если все точки линии лежат в одной плоскости, и пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости.

Примеры плоских кривых линий:

•окружность,

•парабола,

•эллипс,

•гипербола и т.д.

18

Примеры пространственной кривой линии: винтовая линия.

Рис. 3.1

Для построения проекций кривых линий строят проекции ряда принадлежащих ей точек.

Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая

– также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая находится в проецирующей плоскости.

Большой интерес представляет проекция окружности.

Для изображения окружности диаметра d на комплексном чертеже обязательно строят проекции центра О и двух ее диаметров. Удобнее всего строить проекции диаметров, параллельных плоскостям проекции.

•Построить три проекции окружности радиусом 20 мм, параллельной плоскости П 2.

Рис. 3.2

•Так как окружность параллельна фронтальной плоскости проекций, то на эту плоскость она будет проецироваться в натуральную величину.

19

Так как окружность расположена во фронтальной плоскости уровня, то на горизонтальную плоскость проекций П 1 она будет проецироваться в виде отрезка, равного диаметру окружности d.

• На профильную плоскость проекций П 3 окружность также будет проецироваться в виде отрезка, равного

диаметру окружности d .

Рис. 3.3

Если окружность расположена в проецирующей плоскости, то на плоскость, ей перпендикулярную, она проецируется в виде отрезка прямой, равного диаметру окружности, а на две другие – в виде эллипса.

Большая ось эллипса всегда равна диаметру окружности.

Малая ось эллипса зависит от угла наклона плоскости окружности к соответствующей плоскости проекций.

2a = d

2b = d * Cos α

Задача 12

Построить три проекции окружности диаметром 40 мм, принадлежащей плоскости Σ (Σ 2).

20

Рис. 3.4

Задание поверхности на комплексном чертеже

Для задания поверхности могут быть использованы три основных способа:

•Аналитический

•Каркасный

•Кинематический

При аналитическом способе задания поверхность рассматривается как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Вэтом случае поверхность задается уравнением.

•При каркасном способе задания поверхность рассматривается как совокупность достаточно плотной сети линий, определяющих поверхность.

•Эта сеть называется каркасом.

Рис. 3.5

Рис. 3.6

21

При кинематическом способе задания поверхность рассматривается как совокупность всех положений движущейся линии.

Этот способ задания поверхности является предпочтительным в инженерной графике.

•Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями, по которым перемещается образующая при своем движении.

•Эта линия называется направляющей m.

Рис. 3.7

В этом случае поверхность задается ее определителем (совокупность геометрических элементов, определяющих поверхность).

Определитель состоит из графической и алгоритмической части.

•Определитель вполне задает поверхность на чертеже.

•В общем случае поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно ответить на вопрос:

•принадлежит или нет данная точка поверхности.

Поверхность задана определителем

Рис. 3.8

22

Гранные поверхности

•Поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по ломаной линии, называются гранными.

Рис. 3.9

Кривая поверхность

• Поверхность, у которой образующая или направляющая, или то и другое являются кривой линией, называется кривой.

Изображение поверхности на чертеже только необходимыми для ее задания проекциями определителя не обладает привычной для техники наглядностью и не позволяет в дальнейшем выполнять технические чертежи.

•В связи с этим вводятся дополнительные элементы поверхности:

•контур, граница и видимость поверхности относительно плоскостей проекций.

•При проецировании поверхности проецирующие лучи будут касаться поверхности по некоторой линии, которую и называют контурной линией

23

Рис. 3.10

Проекция контурной линии на плоскость проекций называется очерком поверхности.

Можно также сказать, что очерк поверхности - это линия пересечения проецирующей цилиндрической поверхности, касательной к заданной поверхности, с соответствующей плоскостью проекций.

Следовательно на комплексном чертеже будем иметь: на П 2 - фронтальный очерк, на П 1 - горизонтальный очерк,

на П 3 - профильный очерк поверхности.

Из определения поверхности следует, что она безгранична, т.к. безгранична ее образующая, кроме замкнутых поверхностей, таких, как например, сфера.

Практические задачи связаны только с частью поверхности, которая выделяется соответствующими линиями.

Эти линии, ограничивающие часть поверхности - отсек, называют границами поверхности.

Для определения видимости поверхности относительно плоскостей проекций используют конкурирующие точки или рассматривают взаимное расположение частей поверхности.

В итоге можно сделать вывод, что для изображения поверхности на чертеже необходимо построить очерки поверхностей и указать видимость элементов поверхности относительно друг друга.

Из большого количества всевозможных поверхностей рассмотрим

поверхности вращения , образованные вращением линии (образующей) вокруг прямой - оси вращения.

Определитель поверхности вращения включает образующую и ось вращения.

24

При образовании поверхности вращения любая точка, например точка А, образующей описывает в пространстве окружность,. Эти окружности называются параллелями.

Плоскости параллелей всегда перпендикулярны к оси вращения. Параллель наименьшего диаметра, принадлежащая заданной

поверхности, называется горлом, а наибольшего диаметра – экватором (h). Линии пересечения поверхности вращения с плоскостью, проходящей

через ось вращения, называются меридианами.

паралл

ель

гор

ло

эква

тор

A

мериди ан

Рис. 3.11

Все меридианы одной поверхности равны между собой. Меридиан, плоскость которого

|| П2, называется главным - f,
|| П3 - профильным - p
Фронтальным очерком поверхности	является фронтальная

проекция главного меридиана f

профильным очерком – профильная проекция профильного меридиана p

горизонтальным очерком - горизонтальная проекция экватора h

Рассмотрим более подробно некоторые поверхности вращения, а именно:

•цилиндр

25

•конус

•сферу

•тор

Цилиндрическая поверхность вращения -

поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей l вокруг параллельной ей прямой - оси i.

Рис. 3.12

Коническая поверхность вращения

поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей l вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i.

Рис. 3.13

26

Сфера –поверхность, образованная вращением окружности вокруг ее

диаметра

Рис. 3.14

Тор - поверхность, образованная вращением окружности (или ее дуги) вокруг прямой - оси вращения, расположенной в плоскости окружности

Рис. 3.15

Закрытый тор - ось вращения расположена в пределах окружности

Рис. 3.16

Открытый тор - ось вращения находится за пределами окружности.

Открытый тор называют также кольцом.

27

Рис. 3.17

Рассмотрим комплексные чертежи наиболее часто встречающихся на практике поверхностей:

•Конуса

•Цилиндра

•Сферы

Комплексный чертеж конуса

•Образующие S-1, S-2 – фронтальные очерковые

•Они являются границей видимости для фронтальной плоскости проекций.

•Образующие S-3, S-4 – профильные очерковые

•Они являются границей видимости для профильной плоскости проекций.

28

Комплексный чертеж цилиндра

•Образующие 1-11, 2-21 – фронтальные очерковые

•Они являются границей видимости для фронтальной плоскости проекций.

•Образующие 3-31, 4-41 – профильные очерковые

•Они являются границей видимости для профильной плоскости проекций.

Рис. 3.19

Комплексный чертеж сферы

Проекцией сферы на все плоскости проекций является окружность. Проекции основных линий сферы рассмотрим на примере задачи 15,

предварительно построив профильную проекцию полусферы.

Рис. 3.20

29

Лекция 4. « ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ»

Все задачи начертательной геометрии можно разбить на два вида:

•Метрические

•Позиционные Метрические задачи связаны

•с определением

•натуральной величины

•расстояний и углов.

Задачи, связанные с решением на комплексном чертеже вопросов

взаимного положения геометрических образов, называются позиционными.

•Наибольший практический интерес представляют

•Задачи на

–взаимную принадлежность

–принадлежность точки и линии плоскости

–принадлежность точки и линии поверхности

–задачи на взаимное пересечение

•сечение поверхности плоскостью

•взаимное пересечение поверхностей

Принадлежность точки плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости.

Позиционные задачи

При построении чертежей различных объектов часто приходится решать задачи на взаимное положение отдельных элементов относительно друг друга. Такие задачи называются позиционными. К позиционным задачам относятся, например, задачи на принадлежность одних геометрических элементов другим, взаимное положение их относительно друг друга, задачи на пересечение.

30