Основные числовые характеристики дискретной случайной величины

Как уже отмечалось, закон распределения дискретной случайной величины позволяет получить исчерпывающую информацию об этой величине.

На практике закон распределения изучаемой величины часто неизвестен, но даже и в тех случаях, когда он известен, для описания определенных особенностей этой величины используют ее так называемые основные числовые характеристики, из ко­торых рассмотрим математическое ожидание, дисперсию и сред­нее квадратическое отклонение (стандарт).

Определение. Математическим ожиданием М(Х) (часто ис­пользуется также обозначение «») дискретной случайной ве­личины Х называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

, (3)

где индекс i принимает значения 1, 2, 3, ..., п.

Пример 3.Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины X, определяемой как количество студентов в наугад выбранной группе, используя данные табл. 2 (см. при­мер 2).

Решение. Подставляя данные табл. 8.3 в формулу (3), по­лучим:

Основной смысл математического ожидания дискретной слу­чайной величины состоит в том, что оно представляет собой среднее значение данной величины. Иными словами, если произведено некоторое количество испытаний и по результатам этих испыта­ний вычислено среднее арифметическое всех наблюдавшихся значений дискретной случайной величины X, то это среднее ариф­метическое значение приближенно равно (тем точнее, чем больше количество испытаний) математическому ожиданию данной слу­чайной величины.

Для характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математическо­го ожидания вводят понятие дисперсии дискретной случайной величины.

Определение. Дисперсией D(X) (часто используется также обо­значение «²») дискретной случайной величины, называется ма­тематическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

, (4)

Непрерывные случайные величины

В отличие от дискретной величины непрерывную случайную ве­личинуневозможно задать в виде таблицы ее закона распреде­ления типа табл. 8.2, поскольку невозможно перечислить и вы­писать в определенной последовательности все ее значения, а также потому, что вероятность любого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю. В связи с последним обстоятельством нельзя также задать непрерывную величину с помощью формулы, которая позволила бы для каж­дого значения этой величины найти соответствующую вероятность.

Одним из возможных способов задания непрерывной случай­ной величины является использование с этой целью соответству­ющей функции распределения.

Определение. Функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина Х в результате эксперимента примет значе­ние, меньшее х, называется функцией распределения данной слу­чайной величины:

, (5)

Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины

Под основными числовыми характеристиками непрерывной слу­чайной величины понимают, как и в случае дискретной случай­ной величины, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Как и для дискретной величины, математическое ожидание представляет собой среднее значение этой величины, а дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются усредненными характеристиками степени разброса возможных значений этой величины относительно ее математического ожидания.

Однако формулы, определяющие математическое ожидание и дисперсиюнепрерывной случайной величи­ны, отличаются от соответствующих формул для дискретной ве­личины и в общем случае имеют соответственно вид:

, (6)

, (7)

Среднее квадратичное отклонение, как и для дискретной случайной величины, определяется формулой:

, (8)