- •Общие методические указания
- •Таблицы вариантов
- •Указания к выполнению контрольных работ Тема 1. Элементы аналитической геометрии на плоскости Примеры решения задач
- •Тема 2. Основы векторной алгебры
- •Тема 3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Тема 4. Элементы линейной алгебры
- •Тема 5. Введение в анализ
- •Тема 6 Производная и дифференциал
- •Тема 7. Исследование поведения функции
- •Тема 8. Неопределенный интеграл
- •Тема 9. Определенный интеграл
- •Тема 10. Приложения определенного интеграла
- •Тема 11. Функции нескольких переменных
- •Тема 12. Кратные интегралы. Криволинейный интеграл.
- •Тема 13. Ряды и их приложения.
- •Тема 14. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Задачи для контрольных работ
- •Образец титульного листа
Тема 6 Производная и дифференциал
Задача 13. Найти производные следующих функций:
а) б)в)
г) ; д); е).
Решение: При нахождении производных функций используем правила дифференцирования и таблицу основных элементарных функций.
Правила дифференцирования:
;
;
;
;
;
;
.
Таблица производных основных элементарных функций:
Производные основных элементарных функций |
Производные сложных функций |
а) Пользуясь правилом логарифмирования, корня и дроби, преобразуем правую часть:
Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:
б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:
Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:
откуда
в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную у', следует дифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем
Из полученного равенства, связывающего х, у и находим производную у':
откуда
г) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов
д) воспользуемся правилом дифференцирования частного, получаем: .
е) Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
.
Задача 14. Найти производную второго порядка
а) б)
Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:
откуда (1)
Снова дифференцируем по х обе части (1):
(2)
Заменив у' в (2) правой частью (1), получим
б) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную у', находим сначала дифференциалы dy и dx, а затем берем их отношение:
Тогда
Производная второго порядка Следовательно, чтобы найтиу", надо найти дифференциал dy':
Тогда
Задача 15. Найти приближенное значение функции
при ,исходя из ее точного значения при х1 = 6.
Решение: Известно, что дифференциал dy функции y=f(x) представляет собой главную часть приращения этой функции Если приращение аргументапо абсолютной величине достаточно мало, то приращениеприближенно равно дифференциалу, т.е. Так как а, то имеет место приближенное равенство:
Пусть , т.е..
Тогда
(1)
Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при х=х2, если известно значение функции и ее производной при х = х1.
Прежде чем воспользоваться приближенным равенством (1), находим числовое значение производной у' при х = 6:
или
Применяя (1), получим
Задача 16. Найти приближенное значение величины tg 47°.
Решение: Применяем формулу (1) задачи 15.
Рассмотрим функцию . Дифференциал ее равенТак как то положим и Приращение или в радианном измеренииСледовательно,
Задача 17. Дана парабола и радиус окружностиR=10, центр которой находится в начале координат.
Требуется: 1) найти точки пересечения параболы с окружностью; 2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках ее пересечения с окружностью; 3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках их пересечения.
Решение: 1) Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид: , гдеR – радиус окружности. Следовательно, есть уравнение данной окружности.
Чтобы найти точки пересечения данных кривых, решаем совместно систему:
В результате находим, что парабола и окружность пересекаются в двух точках: А(–8; –6) и В(8; –6) (рис. 7).
2) Известно, что угловой коэффициент касательной к кривой у=f(x) в точке лежащей на этой кривой, равен значению производной в точке касания, то есть
Для определения угловых коэффициентов касательных к параболе в точках А и В находим производную у':
Следовательно, и
Уравнение касательной к кривой в точкеимеет вид
(1)
Подставив в (1) координаты точки А и значение углового коэффициента получим уравнение касательной к данной параболе в точкеА:
Подставив в (1) координаты точки В и получим уравнение касательной к данной параболе в точкеВ:
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Уравнение нормали к кривой у = f(x) в точке имеет вид
(2)
Подставив в (2) координаты точки А и kA = 2, находим уравнение нормали в точке А: х+2у+20 = 0. Аналогично находим уравнение нормали в точке В: х – 2у – 20 = 0.
3) Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке. Под углом между двумя кривыми в точке их пересечения понимается угол между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке пересечения. Так как заданные кривые являются симметричными относительно оси ординат, то острые углы, образуемые данными кривыми в точках их пересечения, будут равны между собой. Поэтому достаточно найти угол между касательными к параболе и к окружности только в одной точке, например в точке А.
Определим угловой коэффициент касательной АЕ, проведенной к окружности в точке А(– 8; – 6):
Из аналитической геометрии известно, что угол между двумя прямыми определяется по формуле
(3)
Положив в (3) иполучим:
Таким образом, острый угол , образуемый параболой и окружностью в точке пересеченияА, составляет приближенно 63° 26'.