Тема 8. Неопределенный интеграл

Задача 21. Найти неопределённые интегралы:

а) б); в)г); д)е); ж); з)и); к); л).

Решение: При нахождении неопределённых интегралов функций используют следующие свойства:

1) ,

2) 

и таблицу интегралов основных элементарных функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

9'. ;

10. ;

10'. ;

11. ;

11'. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную рациональную дробь, так как степень многочлена, стоящего в числителе, больше степени многочлена, стоящего в знаменателе. Поэтому выделим целую часть дроби (разделим числитель на знаменатель с остатком).

Тогда данную дробь можно записать в виде

Правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей четырёх типов: 1) 2)гдеm – целое число, большее единицы; 3) гдет. е. квадратный трёхчленне имеет действительных корней; 4)гдеn>1, n – целое число и квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.

Выпишем знаменатель дроби и разложим его на множители

Знаменатель представляет собой произведение линейных множителей в первой степени, следовательно, дробь можно разложить на сумму простейших дробей первого типа.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, стоящих в числителях дробей

Решая систему, получим

Значит, подынтегральная дробь представится в виде

Следовательно,

б) Подынтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Разложим знаменатель на множители:

Выпишем подынтегральную дробь и разложим её на сумму простейших дробей первого и второго типа, т. к. знаменатель дроби представляет собой произведение линейных множителей, один из которых кратный.

==

=.

Приравняем коэффициенты многочленов, стоящих в числителе.

Решая данную систему, получим: Имеем:

.

Таким образом, данный интеграл можно записать в виде:

=

в) Подынтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Выпишем подынтегральную дробь и разложим её на сумму простейших дробей первого и третьего типа, т. к. знаменатель представляет собой произведение линейного множителя в первой степени и квадратного трёхчлена , не имеющего действительных корней, также в первой степени.

Решая данную систему, получим: Имеем

г) Подынтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Выпишем подынтегральную дробь и разложим её на сумму простейших дробей третьего и четвёртого типа, т. к. знаменатель представляет собой квадратный трёхчлен , не имеющего действительных корней, во второй степени.

Решая данную систему, получим: Имеем

Тогда

Отдельно найдём последний интеграл. Положим тогда Получим

Окончательно получим

д) Сделаем замену ,

=

е) Интегрируем по частям по формуле: .

.

ж) Сделаем замену Получим

з) Сделаем замену

Получим

Последний интеграл есть интеграл от рациональной дроби. Выпишем эту дробь и разложим её на сумму простейших.

Решая систему, получим

Тогда

Следовательно,

и)

к)

л)

Тема 9. Определенный интеграл

Задача 22. Вычислить интеграл

Решение: Сделаем подстановку. Пусть

Тогда Определим пределы интегрирования для переменнойz. При получаем , приполучаем.

Выразив подынтегральное выражение через z и переходя к новым пределам, получим

Так как разность кубов то, сократив на знаменатель, получим

Задача 23. Вычислить интеграл или установить его расходимость.

Решение: Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв при , т. е. в точке, принадлежащей интервалу интегрирования. Данный интеграл является несобственным. Если подынтегральная функцияf(x) интеграла имеет бесконечный разрыв при х = с, где а<с<b, а во всех других точках отрезка [а,b] непрерывна, то по определению полагают:

(*)

Если оба предела в правой части (*) существуют, то интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из указанных пределов не существует, то интеграл называется расходящимся.

Следовательно, данный интеграл — сходящийся.

Замечание. Равенство (*) можно использовать для каждой отдельной точки разрыва, принадлежащей интервалу (а, b).