5. Контрольные вопросы

1. Что такое доверительный интервал? Как его построить средствами Excel?

2. Что такое доверительная вероятность? Надежность?

3. В каком случае результат измерения признается промахом?

4. Что такое гистограмма? Какие виды гистограмм Вы знаете?

5. Как построить гистограмму относительных частот?

6. Каковы особенности гистограммы относительных частот?

7. Как по виду гистограммы проверить предположение о нормальном законе распределения? Убедительно ли свидетельствует гистограмма о нормальности распределения значений выборки?

Лабораторная работа № 3 проверка нормальности закона распределения /тремя различными методами/

1. Цель работы

Освоить основные методы и приемы проверки гипотезы о виде закона распределения результатов измерений.

2. Задание

Выполнить проверку гипотезы о нормальности распределения результатов математического эксперимента графическим методом (методом линеаризации интегральной функции, или методом вероятностной бумаги), с помощью модифицированного критерия Колмогорова и критерия согласия .

3. Краткая теория

При обработке экспериментальных данных и определении погрешности результатов измерений основополагающим является предположение о виде закона распределения ошибок измерений – статистическая гипотеза. Чаще всего предполагается нормальный закон распределения, что должно быть подтверждено объективными методами.

Метод линеаризации интегральной функции распределения.

Для проверки гипотезы о виде закона распределения необходимо расположить результаты измерений в неубывающем порядке – построить вариационный ряд:

.

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяемую соотношением:

. (3.1)

Эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами функции распределения вероятностей и является несмещенной и состоятельной оценкой функции распределения генеральной совокупности, из которой извлечена выборка.

Поставив в соответствие каждому значению вариационного ряды в качестве оценки функции распределениясоответствующую долю эмпирической функции распределения, равную(3.1), приравняв ее к функции распределения и, пользуясь таблицами предполагаемого закона распределения (в данном случае – нормального,), находят теоретические значения аргумента, соответствующие значениям, полученным в опыте для эмпирической функции. Поскольку междуисуществует линейная зависимость

(3.2)

(при неизвестных изаменяем их выборочными точечными оценками), характер графика не изменится, если по оси ординат мы отложим значения, а соответствующие им опытные значенияотложим по оси абсцисс. Расположение точек на графике вдоль прямой линии подтверждает линейную зависимость между экспериментальными значениями измеренийи теоретическими, что свидетельствует о возможности принятия гипотезы о виде закона распределения.

Проведя на глаз прямую через точки, можно по графику приближенно найти оценки изначенийи. Значение абсциссы в точке пересечения ее с построенной прямой равно. Значениеможно найти из выражения (3.2). Задав любое значение, неравное нулю, по проведенной прямой находят соответствующее ему значениеи вычисляют. Если положить= 1, тогда.

Близость графических оценок к вычисленным значения и(см. лабораторную работу № 1) является подтверждением правильности гипотезы о законе распределения.

О графическом методе проверки нормальности закона распределения можно прочитать также в [6, 7, 8].

Проверка гипотез, осуществляемая с помощью статистических критериев, является более объективной. Статистический критерий– это правило, по которому принимается решение по гипотезе. Для построения критерия выбираютстатистику– некую функцию от результатов измерений или наблюдений, находят (или заранее знают) ее распределение и (при традиционном подходе к применению статистических критериев) задаются некоторым ее значением, вероятность превышения которого считается пренебрежимо малой. Если наблюденное в опыте значение выбранной статистики оказывается меньше выбранного предельного, то гипотеза принимается, иначе она отвергается. Принятое предельное значение статистики называется критическим.

Уровнем значимостикритерия является вероятность попадания статистики критерия в критическую область (когда гипотеза верна, но критерий ее отвергает, поэтому вероятностьназывается такжевероятностью ошибки 1-го рода), здесь– вероятность попадания в допустимую область (в интервал вероятности). Значениесчитается таким, когда шансы принять неверную гипотезу или отвергнуть правильную гипотезу, приблизительно равны.

Применение критерия Колмогорова

График функции представляет собой ступенчатую фигуру со скачками, равными или кратными величинев точках, определяемых членами вариационного ряда. Как оценкафункцияслучайна. Допустимые (с задаваемой вероятностью) отклонения ее отдаются критерием Колмогорова, использующего статистику в виде

, (3.3)

т.е. для любых конечных значений хстатистикапредставляет собой самое большое по модулю отклонениеот.

Для практических вычислений [9] удобнее использовать следующие формулы:

,,.

Критерий Колмогорова имеет вид [9]:

, (3.4)

где– верхний-предел статистики при объеме выборки.

Критерий Колмогорова применим при любом законе распределения (то есть, он свободен от распределения), если – непрерывная функция, причемне зависит от выборки, т. е. не зависит от; здесьx_i– элементы вариационного ряда (упорядоченной выборки).

Если же связана с выборкой (содержит выборочные оценки математического ожиданияи дисперсии, как при проверке гипотезы о нормальном распределении – обозначим эту функцию распределения), то критерием Колмогорова пользоваться нельзя [10], т.к. границы в правой части (3.4) оказываются заметно меньше, причем это уменьшение оказывается разным при разных законах распределения. Экспериментальные исследования границ (-пределов статистики) выполнены Стефенсом (см. [10, 11]). Для нормального распределения границы Стефенсахорошо аппроксимируются дляивыражением [5]

, (3.5)

где значения берутся из таблиц статистики Колмогорова [9] или вычисляются по формуле

, (3.6)

где (для) или(для).

Если в критерии Колмогорова (3.4) использовать новые границы (3.5), то критерий становится модифицированным критерием Колмогорова. Модифицированный критерий Колмогорова оказывается зависим от распределения, он становится параметрическим, разным для разных законов распределения. Однако важнейшее [11] его свойство сохраняется – он работает снегруппированными даннымии полностью использует всю информацию, содержащуюся в выборке.

Применение критерия согласия

При объеме выборки для проверки гипотезы о виде распределения применяют критерий согласия(критерий Пирсона), широко представленный в литературе [2,10,11] и широко распространенный на практике. Он применяется для группированных данных (как при построении гистограммы), когда в каждом интервале находится не менее 5 измерений. Если число измерений в интервале оказывается меньше 5, этот интервал объединяют с соседним¹.

Критерий согласия имеет вид

, (3.7)

где – число данных вk-м интервале (k = 1, 2, …,r);– теоретическая вероятность попадания случайной величиныхвk-й интервал, равная при нормальном законе

, (3.8)

где – нижняя, а– верхняя границы интервала;– теоретическая интегральная функция нормированного нормального распределения;– объем выборки;r – число интервалов; – число степеней свободы;j – число параметров закона распределения, определяемых по выборке.

В случае нормального закона распределения j= 2, так как по выборке оцениваются два параметра распределения – математическое ожидание и дисперсия.

Вычисленное по выражению (3.7) значение сравнивается с табличным для распределенияпри выбранном уровне значимости. Если, то гипотеза о виде распределения принимается, в противном случае она отвергается и строится новая гипотеза – предлагается другой закон.

На практике критерием (3.7) пользуются при объеме выборки  (40–50),при этом необходимо помнить, что в этом случае критерий (3.7) обладает повышенной вероятностью ошибки 1-го рода (признать неверной проверяемую гипотезу, когда она верна). Если выборка имеет малый объем и выводы о виде закона распределения по критериям Колмогорова и Пирсона окажутся противоречащими друг другу, предпочтение должно быть отдано критерию Колмогорова.