Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с
.pdfотделить справа запятой столь о цифр, с оль о их имеется после запятой в обоих множителях вместе. Например, 12,27 · 0,021 = = 0,25767.
4°. Деление десятичных дробей.
а) Разделим 4,46 на 2. Делим на 2 сначала целую часть числа, потом десятые и, на онец, сотые доли, т. е. 4,46 : 2 = 2,23.
б) Разделим 1,2345 на 5. В целой части частно$о получим нуль (та а единица не делится на 5), т. е. 1,2345 : 5 = 0,2469.
в) Разделим 1,25 на 1,6. Увеличим делимое и делитель в 10 раз, т. е. 12,5 : 16 = 0,78125.
5°. Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно отбросить в делителе запятую, а затем увеличить делимое во столь о раз, во с оль о раз увеличился делитель при отбрасывании в нем запятой, после че$о выполнить деление по правилу деления на целое число.
З а м е ч а н и е. При умножении (делении) десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. достаточно перенести запятую вправо (влево) на столь о цифр, с оль о нулей во множителе (делителе). Например, 3,576 · 100 = 357,6; 2,53 : 10 = 0,253.
9. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную. Периодические дроби
1°. Чтобы обратить десятичную дробь в обы новенную, достаточно в числителе дроби записать число, находящееся после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями, причем нулей должно быть столь о, с оль о цифр справа от запятой. Например,
0,7 = |
--7---- |
; |
0,25 = |
--25------- |
; 0,007 = |
------7------- . |
|
10 |
|
|
100 |
|
1000 |
2°. Чтобы обратить обы новенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления
7
десятичной дроби на целое число. Например, для дроби ------
25
имеем
–70 25
50 0,28
200
–200
0
21
Заметим, что при этом может получиться бес онечная де-
3
сятичная дробь. Например, для дроби -- имеем
7
–30 7
28 0,428571...
20
–14
– 5660
–4035
50
–49
10
– 7 3
Та им образом, мы вернулись началу деления числа 3 на 7, следовательно, этот процесс будет продолжаться бес онечно.
3°. Бес онечную десятичную дробь, в оторой, начиная с не-оторо$о разряда, цифры повторяются, называют периодичес-ой. Например, 0,333...; 2,6777...; 4,0424242... .
Любую обы новенную дробь можно записать в виде либоонечной десятичной дроби, либо бес онечной периодичес ой дроби.
Правило перевода бес онечной периодичес ой дроби в обы - новенную та ово:
Чтобы обратить периодичес ую дробь в обы новенную, надо из числа, находяще$ося до второ$о периода, вычесть число, находящееся до перво$о периода, и записать эту разность в числитель, а в знаменателе написать цифру 9 столь о раз, с оль о цифр в периоде, и после девято дописать столь о нулей, с оль-о цифр между запятой и первым периодом.
Например:
0,(45) = |
45---------–-----0-- |
= |
--5---- |
; 3,1(73) = |
3173----------------–-----31----- |
= |
3142------------- |
= |
1571------------- . |
|
99 |
|
11 |
|
990 |
|
990 |
|
495 |
10. Отношение. Пропорция
1°. Отношением числа x числу y называют частное чисел
x
x и y, т. е. -- (или x : y). y
22
2°. Отношение x означает, во с оль о раз x больше y, или
--
y
а ую часть числа y составляет число x.
3°. В отношении x число x называют предыд щим членом,
--
y
y — послед ющим.
4°. Пропорцией называют равенство двух отношений, т. е.
a |
x |
-- |
= -- . |
b |
y |
5°. Числа a и y называют райними членами, а числа x
и b — средними членами пропорции.
11.Свойства пропорций
1°. Произведение райних членов пропорции равно произ-
a |
x |
, то ay = bx. |
ведению ее средних членов, т. е. если -- |
= -- |
|
b |
y |
|
2 |
° |
. Обратно, числа a, b, x, y составляют пропорцию |
a |
= |
x |
, |
|
-- |
-- |
||||
|
|
|
b |
|
y |
|
если ay = bx.
3 |
° |
a |
c |
выте ают следующие производные |
|
. Из пропорции -- |
= -- |
||
|
|
b |
d |
|
пропорции:
a |
b |
; |
d |
c |
; |
d |
b |
, |
-- |
= -- |
-- |
= -- |
-- |
= -- |
|||
c |
d |
|
b |
a |
|
c |
a |
|
т. е. в пропорции можно менять местами райние и средние члены или те и дру ие одновременно.
4°. Чтобы найти неизвестный средний (или райний) член пропорции, надо произведение райних (средних) членов разделить на известный средний ( райний) член пропорции:
a |
b |
^ x = |
-- |
= -- |
|
x |
c |
|
12. Свойства отношений
ac |
; |
------ |
|
b |
|
x |
d |
^ x = |
-- |
= -- |
|
a |
c |
|
ad
------ . c
1°. Если даны два равных отношения a-- |
и |
--c |
, то |
||||
|
|
|
|
b |
|
d |
|
a------------+ b |
= c------------+ d |
; |
a------------– b |
= c------------– d |
, |
|
|
b |
d |
|
b |
d |
|
|
|
23
т. е. сумма (или разность) членов перво о отношения та относится своему последующему члену, а сумма (разность) членов второ о отношения своему последующему.
2 |
° |
a |
c |
x |
= , |
|
. Если даны нес оль о равных отношений -- |
= -- |
= -- |
||
|
|
b |
d |
y |
|
то
a------+-----c-----+-----x-----+------...----- |
= a-- |
, |
b + d + y + ... |
b |
|
т. е. сумма предыдущих членов та относится сумме последующих, а аждый из предыдущих своему последующему.
13. Процент. Основные задачи на проценты
1°. Процентом называют сотую часть а о$о-либо числа. Процент обозначают зна ом %. Например, 5%; 100%.
2°. Если данное число принять за 1, то 1% составляет 0,01
это$о числа, 25% составляют 0,25 числа |
|
1 |
числа |
|
и т. д. |
|
или -- |
|
|||
|
4 |
|
|
Та им образом, чтобы число процентов выразить в виде дроби, достаточно число процентов разделить на 100. Например, 125% = 1,25; 2,3% = 0,023.
3°. Нахождение процентов данно$о числа. Чтобы найти a%
a
от числа b, надо b умножить на --------- .
100
Например, 30% от 60 р. составляют
60 30
----------------- = 18 (р.).
100
4°. Нахождение числа по е$о процентам. Если известно, что a% числа x равны b, то число x можно найти по формуле
b
x = -- · 100. a
Например, если 3% в лада в сбербан составляют 150 р.,
150
то этот в лад равен ----3----- · 100 = 5000 (р.).
5°. Нахождение процентно$о отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение
a
этих чисел умножить на 100, т. е. вычислить -- · 100%. b
24
Пусть, например, при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 90 автомобилей; то$да он выполнил план
90
на ------ · 100%, т. е. на 150%.
60
14. Деление числа на части, прямо и обратно пропорциональные данным числам
1°. Чтобы разделить не оторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить нааждое из них.
Пусть, например, данный отрезо длиной в 15 см требуется
15 15
разделить в отношении 2 : 3. Имеем ------ · 2 = 6 (см); ------ · 3 = 9 (см).
5 5
2°. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.
Пусть, например, требуется разделить число 27 обратно пропорционально числам 4 и 5. Числа, обратные данным, отно-
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
27 |
· 5 = 15; |
27 |
|
|||
сятся а -- |
: -- = 5 : 4; то$да получим ------ |
------ |
· 4 = 12. |
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ |
|
|
|
|
|||||||
|
1. Дайте |
определение |
обы - |
5. Сравните |
|
выражения |
||||||||||
новенной дроби. |
|
|
|
|
11 |
12 |
|
11 |
· |
13 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87 · ------ · |
------ и 87 · |
------ |
------ , не про- |
|||
|
2. Из множества |
|
3 |
2 |
3 |
12 |
13 |
|
12 |
|
12 |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
-- ; |
-- ; |
-- ; |
изводя действий. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
3 |
4 |
|
|
|
||||
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Ка ие операции (действия) |
||||||
выделите подмножество: |
возможны на множестве дробных |
|||||||||||||||
-- |
; -- |
|||||||||||||||
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
чисел? |
|
|
|
|
|
|
правильных дробей; неправиль- |
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. Можно |
ли |
применять |
||||||||||||||
ных дробей. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
дробным числам за оны сложе- |
||||||||||
|
3. Сформулируйте |
|
основное |
|||||||||||||
|
|
ния и умножения натуральных |
||||||||||||||
свойство дроби. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
чисел? |
|
|
|
|
|
|||||||
|
4. Сравните дроби по величи- |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
8. Сформулируйте |
правила |
||||||||||||||
не: а) ------ |
и ------ |
; б) ------ и ------ |
; в) ------ |
|||||||||||||
умножения и деления дробей. |
||||||||||||||||
|
|
11 |
8 |
|
7 |
7 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
14 |
14 |
13 |
14 |
|
14 |
9. Ка ие |
дроби |
|
называют |
|||||
и |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
взаимно обратными? Приведите |
||||||
------ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
пример. |
|
|
|
|
|
||
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
10.Ка ую дробь называют десятичной?
11.Выразите в ило"раммах: а) 33 " 246 "; б) 7 ".
12.Выразите в метрах: а) 3 м 2 дм; б) 1 м 5 см; в) 3 см.
13.Что называют отношением чисел? Сформулируйте свойства отношений.
14.Что называют пропорцией? Сформулируйте свойства пропорций.
15.Что называют процентом? Ка ие три основные задачи на проценты вы знаете?
16.Выразите в виде дроби: а) 5%; б) 20%; в) 72%; ") 100%; д) 200%; е) 7,5%; ж) 0,75%.
17.Найдите процентное отношение чисел: а) 1 4; б) 3 5; в) 5 2; ") 12,5 50; д) 3,2 1,28.
18. Найдите: а) 4% от 75;
б) 15% от 84 "; в) 181 % от 330 м;
--
3
") 160% от 82 р. 25 .; д) 45% от 1 "а 4 а.
19. Найдите число, если: а) 40% е"о равны 12; б) 1,25% е"о равны 55; в) 0,8% е"о равны 1,84; ") 15% е"о равны 13 р. 50 .;
д) 16 2 % е"о равны 2 ч 30 мин.
--
3
20. Найдите x, если: а) 7% · x = 182;
б) 60% · x = 32;
в) 12 % · x = 4,75;
--
3
") 7,5% · x = 3,3; д) 2,5% · x = 0,15; е) 0,8% · x = 1,2;
ж) 10,75% · x = 8,6.
21.Мясо при вар е теряет
35% своей массы. С оль о получит-
ся варено"о мяса из 2 " сыро"о? С оль о потребуется сыро"о мяса для получения 2,6 " варено"о?
22.Является ли верной про-
порция 3 |
7 |
2 |
= 3,4 : 0,6? |
-- |
: -- |
||
|
9 |
3 |
|
23. Найдите неизвестный член
пропорции 0,3x : 31 = 6 : 1,5.
--
3
УПРАЖНЕНИЯ |
|
|
|
|
1. Является ли верной пропорция 3,75 : 10,4 = 3 |
11 |
: 10 |
2 |
? |
------ |
-- |
|||
|
13 |
|
3 |
|
2.По плану завод должен из$отовить 2000 тра торов. С оль о тра торов составляет 1% от плана? 13% от плана?
3.Фабри а выпус ала аждый день 1000 $ онфет. Администрация фабри и решила увеличить производство онфет ежедневно на 5%. С оль о ило$раммов онфет должна выпус ать фабри а через 1 день; через 2 дня; через 3 дня?
4.В ладчи положил в бан 20 000 р. при 8% $одовых. Ка-ова будет величина в лада через 3 $ода?
5.Цена не оторо$о товара снижается еже$одно на 10%. На с оль о процентов по сравнению с первоначальной понизится цена товара через 4 $ода?
26
6. Найдите число, 3,6% оторо$о равны значению выражения
|
|
|
|
1 |
|
(3 + 4,2 : 0,1) : |
1 : 0,3 – 2 |
3-- |
: 0,3125. |
||
7. Число 196 разделите на части, пропорциональные чис- |
|||||
1 |
1 |
и 3. |
|
|
|
лам: а) 1, 2 и 5; б) -- |
, 1-- |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
О Т В Е Т Ы
1.Да. 2. 20; 260. 3. 1050 "; 1102,5 "; 1157,625 ". 4. 25 194 р. 24 .
5.На 34,39%. 6. 4000. 7. а) 24,5; 49; 122,5; б) 14; 56; 126.
Решения и методичес ие у азания
К упражнению 1
1.Ка известно, пропорцией называют равенство двух отношений.
2.Перепишем данное условие, исходя из определения пропорции:
|
|
3 |
11------ |
|
|
3,75----------- |
= |
----- |
13----- . |
(1) |
|
10,4 |
|
10 |
2-- |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3. Воспользуемся следующим свойством пропорции: произведение ее райних членов равно произведению средних членов, т. е.
3,75 · 10 |
2 |
= 10,4 · 3 |
11 |
(2) |
-- |
------ . |
|||
|
3 |
|
13 |
|
4. Упростим сначала левую часть равенства (2), а затем и е"о правую часть:
а) 3,75 |
· 10 |
2-- |
= 3 |
3-- |
· 10 2-- |
= 15------ |
· 32------ |
= 5 · 8 = 40; |
||
|
|
|
3 |
|
4 |
|
3 |
4 |
3 |
|
б) 10,4 · |
3 |
11------ |
= 10 |
2-- |
· 3 |
11------ |
= 52------ |
· 50------ |
= 10 · 4 = 40. |
|
|
|
13 |
|
|
5 |
|
13 |
5 |
13 |
|
Ита , данная пропорция является верной.
К упражнению 2
1.Ка известно, процентом данно"о числа A называют число 0,01a. Обозначение: 1%(a) = 0,01a.
2.То"да 1% от плана составляет
1%(2000) = 0,01 · 2000 = 20 тра торов.
27
3. Значит, 13% от плана составляют 13%(2000) = 0,13 · 2000 = 260 тра торов.
К упражнению 3
1.Фабри а выпус ала аждый день 1000 " онфет, что составляло 100% от плана.
2.При увеличении плана на 5% он станет равным 105%.
3.Значит, нам нужно найти 105% от 1000, т. е.
105%(1000) = 1,05 · 1000 = 1050 ".
4.Та им образом, через день фабри а должна выпустить 1050 "онфет.
5.Во второй день фабри а должна увеличить оличество онфет, равное 1050 " и принимаемое за 100%, еще на 5%. Следовательно, во второй день она должна выпустить 105% от 1050 ". Это составляет
105%(1050) = 1,05 · 1050 = 1102,5 ".
6. Анало"ично, за третий день фабри а должна выпустить 1,05 · 1102,5 = 1157,625 ".
К упражнению 4
1. Анализируя решение предыдуще"о упражнения, заметим, что на самом деле мы определяли следующие величины: 1,05 · 1000;
1,052 · 1000; 1,053 · 1000.
2.В общем виде имеем:
а) p% от числа a составляют 0,01p · a;
б) p% от полученно"о результата составляют (0,01p)2 · a;
в) p% от ново"о результата составляют (0,01p)3 · a и т. д. В результате получаем та называемые сложные проценты.
3. Формулу
N = (0,01p)n · a
называют формулой сложных процентов. Ее можно записать та : N = qn · a, "де q = 0,01p, причем q > 1 (та а p > 100).
4. В этой задаче мы имеем дело с формулой сложных процентов, "де q = 1,08 и n = 3. Поэтому величина в лада через 3 "ода составит
N = 1,083 · 20 000 = 25 194,24 р.
К упражнению 5
1.Эта задача на вычисление пониженно"о процента.
2.Воспользуемся формулой сложных процентов. Снижение цены на 10% означает, что новая цена составит 90% = 0,9 первоначальной.
3.Со"ласно формуле сложных процентов, через 4 "ода цена товара бу-
дет равна 0,94 = 0,6561 = 65,61% первоначальной, а это на 34,39% ниже.
28
Т е м а 3
À
Координатная прямая. Множество целых чисел. Положительные и отрицательные числа.
Множество рациональных чисел. Модуль числа. Сравнение рациональных чисел.
Сложение и вычитание рациональных чисел. Умножение и деление рациональных чисел. Возведение рациональных чисел в степень
с натуральным показателем
Теоретичес ие сведения
1. Координатная прямая
1°. Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрез ом и направлением называют оординатной прямой.
2°. Соответствие между множеством натуральных чисел и точ ами оординатной прямой можно установить, выбрав на прямой произвольную точ у 0, а затем с помощью единично о отрез а отметив на прямой точ и, оторым соответствуют натуральные числа (рис. 4).
2. Множество целых чисел
1°. Отметим точ и, симметричные точ ам 1, 2, 3, ... относительно точ и 0. Обозначим их через –1, –2, –3, ... . Числа 1 и –1, 2 и –2 и т. д. на оординатной прямой расположены симметрично. Та ие числа называют противоположными.
2°. Числа натуральные, им противоположные, а та же число нуль составляют множество целых чисел (множество Z).
3°. Каждому целому числу можно поставить в соответствие единственную точ у оординатной прямой (рис. 5).
Рис. 4 |
Рис. 5 |
29
3. Положительные и отрицательные числа
1°. Условимся считать числа 1, 2, 3, ..., расположенные правее числа 0, целыми положительными числами. То да числа, им противоположные, т. е. –1, –2, –3, ..., назовем целыми отрицательными числами.
2°. Множество натуральных чисел, дополненное нулем, называют множеством целых неотрицательных чисел и обозначают Z0 = {x | x = 0 или x Ý N}. Можно та же записать: Z0 = N {0}.
4. Множество рациональных чисел
1°. Каждой дроби (обы новенной или десятичной) можно поставить в соответствие а ую-либо точ у оординатной прямой. При этом получим а положительные, та и отрицательные дробные числа.
2°. Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел (множество Q). Любое рациональное число
можно записать в виде p , де p Ý Z , q Ý Z, причем q − 0 (та
-- 0 q
а деление на нуль не имеет смысла). Говорят та же, что
дробь p , знаменатель оторой равен нулю, не имеет смысла.
--
q
3°. Каждому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точ у оординатной прямой.
4°. На множестве Q можно производить сложение, вычитание, умножение и деление ( роме деления на нуль).
5. Модуль числа
1°. Мод лем числа a называют само это число, если a l 0, или это число, взятое с противоположным зна ом, если a < 0.
Модуль числа a обозначают символом |a|. Та им образом,
|
|
|a| = |
|
|
a, если a l 0; |
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
–a, если a < 0. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2°. Если a − 0, то на оорди- |
|
|
|
|
|
натной прямой модулю числа a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствуют две точ и, равно- |
|
|
Рис. 6 |
|
|
удаленные от нуля (рис. 6). |
30