Бусыгин

121

Замкнутость и ограниченность сверху множества F(r) гарантируют, что существует f(r) F(r) такой, что f(r) > y y F(r).

*

Замечание: Выполнение условий данного утверждения можно гарантировать, например, если множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.

Теорема 3.

Пусть множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия. Тогда для любого r R множество

F(r) = {y1 | (–r, yo) Y}

замкнуто и ограничено сверху.

Доказательство:

Замкнутость множеств F(r) непосредственно следует из замкнутости Y.

Покажем, что F(r) ограничены сверху. Пусть это не так и при некотором r R существует неограниченно возрастающая последовательность {yN}, такая что yN F(r). Тогда вследствие невозрастающей отдачи от масштаба (–r/yN, 1) Y. Поэтому (вследствие замкнутости), (0, 1) Y, что противоречит отсутствию рога изобилия.

*

Отметим также, что если технологическое множество Y удовлетворяет гипотезе свободного расходования, и существует представляющая его производственная функция f( ), то множество Y описывается следующим соотношением:

Y = {(–r, yo) | yo <f(r), r R}.

Установим теперь некоторые взаимосвязи между свойствами технологического множества и представляющей его производственной функции.

Теорема 4.

Пусть технологическое множество Y таково, что для всех r R определена производственная функция f( ). Тогда верно следующее

1)Если множество Y выпукло, то функция f( ) вогнута.

2)Если множество Y удовлетворяет гипотезе свободного расходования, то верно и обратное, т.е. если функция f( ) вогнута, то множество Y выпукло.

3)Если Y выпукло, то f( ) непрерывна на внутренности множества R.

4)Если множество Y обладает свойством свободы расходования, то функция f( ) не убывает.

5)Если Y обладает свойством отсутствия рога изобилия, то f(0) <0.

6)Если множество Y обладает свойством допустимости бездеятельности, то f(0) >0.

Доказательство:

(1) Пусть r′, r″ R. Тогда (–r′, f(r′)) Y и (–r″, f(r″)) Y, и (–αr′– (1 – α)r″, αf(r′) + (1 – α)f(r″)) Y α [0; 1],

121

122

поскольку множество Y выпукло. Тогда по определению производственной функции

αf(r′) + (1 – α)f(r″) <f(αr′+ (1 – α)r″),

что означает вогнутость f( ).

(2)Поскольку множество Y обладает свойством свободного расходования, то множество Y (с точностью до знака вектора затрат) совпадает с ее подграфиком. А подграфик вогнутой функции — выпуклое множество.

(3)Доказываемый факт следует из того, что вогнутая функция непрерывна во внутренности ее области определения.

(4)Пусть r″>r′ (r′, r″ R). Поскольку (–r′, f(r′)) Y, то по свойству свободы расходования (–r″, f(r′)) Y. Отсюда, по определению производственной функции, f(r″) >f(r′), то есть f( ) не убывает.

(5)Неравенство f(0) > 0 противоречит предположению об отсутствии рога изобилия. Зна-

чит, f(0) <0.

(6)По предположению о допустимости бездеятельности (0, 0) Y. Значит, по определению производственной функции, f(0) >0.

*

В предположении о существовании производственной функции свойства технологии можно описывать непосредственно в терминах этой функции. Покажем это на примере так называемой эластичности масштаба.

Пусть производственная функция дифференцируема. В точке r, где f(r) > 0, определим

локальную эластичность масштаба e(r) как:

	df(λr) λ
e(r) =	dλ		λ = 1 .
		f(r)

Если в некоторой точке e(r) равна 1, то считают, что в этой точке «постоянная отдача масштаба», если больше 1 — то «растущая отдача», меньше — «убывающая». Вышеприведенное определение можно переписать в следующем виде:

∂f(r) Û ∂ri ri.

e(r) = f(r)

Теорема 5.

Пусть технологическое множество Y описывается производственной функцией f( ) и в точке r выполнено e(r) > 0. Тогда верно следующее:

1)Если технологическое множество Y обладает свойством убывающей отдачи от масштаба, то e(r) <1.

2)Если технологическое множество Y обладает свойством возрастающей отдачи от масштаба, то e(r) >1.

3)Если Y обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то e(r) = 1.

Доказательство:

(1) Рассмотрим последовательность {λn} (0 < λn < 1), такую что λn →1. Тогда (–λnr, λnf(r)) Y, откуда следует, что f(λnr) >λnf(r). Перепишем это неравенство в виде:

122

123

f(λnr) – f(r)
λn – 1	< f(r).
Переходя к пределу, имеем
df(λr)	∂f(r)	ri <f(r).
dλ λ = 1 = Û	∂ri

Таким образом, e(r) <1.

Свойства (2) и (3) доказываются аналогично.

*

Технологические множества Y можно задавать в виде неявных производственных функций g( ). По определению, функция g( ) называется неявной производственной функцией, если технология y принадлежит технологическому множеству Y тогда и только тогда, когда

g(y) >0.

Заметим, что такую функцию можно найти всегда. Например, подходит функция такая, что g(y) = 1 при y Y и g(y) = –1 при y Y. Заметим, однако, что данная функция не является дифференцируемой. Вообще говоря, не каждое технологическое множество можно описать одной дифференцируемой неявной производственной функцией, причем такие технологические множества не являются чем-то исключительным. В частности, технологические множества, рассматриваемые в начальных курсах микроэкономики, часто бывают такими, что для их описания нужно два (или больше) неравенства с дифференцируемыми функциями, поскольку требуется учитывать дополнительные ограничения неотрицательности факторов производства. Чтобы учитывать такие ограничения, можно использовать векторные неявные производственные функции, для которых условие технологической допустимости имеет вид g(y) > 0. Тем не менее, целью упрощения изложения мы в дальнейшем для описания технологий будем использовать только одно ограничение и т.е. скалярную функцию.

Укажем здесь на связь неявной производственной функции и более привычной (явной) производственной функцией: в ситуации, когда технология такова, что ресурсные ограничения оказываются несущественными, значение неявной производственной функции можно определить как

g((–r, yo)) = f(r) – yo.

Задачи

1. Пусть технологическое множество фирмы задается условием:

y1 <ln(1 – y2), где y2 < 1.

Какими свойствами обладает данная технология?

2.Докажите Теорему 1.

3.Технологические способы (–5; 4), (–4; 0) и (–2; 2) принадлежат некоторому технологическому множеству Y. Можно ли гарантировать, что технологический способ (–3; 2) принадлежит Y, если известно, что Y выпукло? Изобразите графически множество технологических способов, про которые можно утверждать, что они принадлежат Y.

123

124

4.Технологические способы (–5; 4), (–4; 0) и (–2; 2) принадлежат некоторому технологическому множеству Y. Можно ли гарантировать, что технологический способ (–2; 1) принадлежит Y, если известно, что Y выпукло и характеризуется убывающей отдачей? Изобразите графически множество технологических способов, про которые можно утверждать, что они принадлежат Y.

5.Технологические способы (–8; 10), (–2; 3) и (–4; 2) принадлежат некоторому технологическому множеству Y. Можно ли гарантировать, что технологический способ (–5; 5) принадлежит Y, если известно, что Y характеризуется свободой расходования? Изобразите графически множество технологических способов, про которые можно утверждать, что они принадлежат Y.

6.Пусть однопродуктовая технология может быть представлена производственной функцией. Показать, что производственное множество удовлетворяет свойству постоянной отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда соответствующая производственная функция однородна первой степени.

7.Покажите, что если технологическое множество Y замкнуто и выпукло и –Êl+ Y, то оно обладает свойством свободы расходования.

8.Назовем вектор ψ направлением рецессии технологического множества если существу-

ет y Y и неограниченная последовательность положительных чисел {λi}, такая что y+ λiψ Y.

(a)Покажите, что если технологическое множество Y замкнуто и выпукло, то множество рецессивных направлений Ψ является замкнутым выпуклым конусом. В случае, если Y удовлетворяет условию свободы расходования, то множество Ψ содержит –Êl+.

(b)Предположим, что Y замкнуто и выпукло, 0 Y. Докажите, что тогда ψ является рецессивным направлением технологического множества Y тогда и только тогда, когда

λψ Y λ>0? .

(c)Докажите, что если технологическое множество Y замкнуто и выпукло, то Y + Ψ= Y.

Задача производителя и ее свойства

Гипотеза, лежащая в основе модели поведения производителя заключается в том, что производитель выбирает технологически допустимый вектор чистых выпусков, максимизирующий прибыль. В терминах чистых выпусков прибыль есть скалярное произведение вектора чистых выпусков y Y на вектор цен: py. Таким образом, если производитель, приобретая факторы производства и продавая производимые блага на рынках с совершенной конкуренцией блага, сталкивается с некоторым вектором цен p, то его выбор оказывается решением следующей задачи на экстремум:

Задача 3. py→max y Y.

Отметим, что если все цены положительны (все блага желательны), то решение задачи производителя должно лежать на эффективной границе технологического множества.

124

125

эффективная	y2
граница
Y	p2/p1

y1

Рисунок 21. Иллюстрация решения задачи производителя

Обозначим множество цен, на котором существует решение Задачи 3, через P.

Определение 2.

Отображением предложения y(p) будем называть отображение, которое ставит в соответствие каждому вектору цен p P множество решений этой задачи. Если решения единственны, то говорят о функции предложения.

Определение 3.

Функция прибыли — это функция, которая ставит в соответствие каждому вектору цен p P значение Задачи 3:

π(p) = py(p).

Существенное отличие задачи производителя (Задача 3) от задачи потребителя (Задачи 1) состоит в том, что множество ее допустимых решений Y, как правило, не ограничено. Более того, для технологий с неубывающей отдачей существование допустимых технологий с положительной прибылью означает существование допустимых технологий, дающих сколь угодно большую прибыль.

Пример 1. (Отсутствие решения задачи производителя).

Пусть технологическое множество имеет вид Y = {(y1, y2) | y1 <0, y2 + αy1 <0}, цены благ равны p1, p2. Если выбрать y2 = –αy1, то прибыль будет равна –(αp2 – p1)y1. Поэтому если αp2 >p1, то прибыль не ограничена сверху, и решение отсутствует.

Если αp2 < p1, то решение единственно — y1 = 0 и y2 = 0. Если αp2 = p1, то решением этой задачи является любая технологически допустимая пара (y1, y2), такая что y2 + αy1 = 0.

Таким образом, существование решений можно гарантировать лишь при дополнительных предположениях относительно вектора цен p и структуры множества Y. Ниже мы докажем существование решения для всех неотрицательных цен при следующем (сильном) предположении: существует компактное множество Y′, такое что

Y′ Y и Y Y′– Ê+l .

( )

125

			126
						Y′
		Y′
				Y′– Ê+2
Y

Рисунок 22. Иллюстрация предположения, гарантирующего существование решения задачи максимизации прибыли

Заметим (что легко увидеть из предлагаемых иллюстраций Рис. 5), что множество Y′, обладающее указанным свойством, если существует, то определяется множеством Y не единственным образом.

Теорема 6.

Пусть выполнено соотношение ( ). Тогда решение Задачи 3 существует при любом неотрицательном векторе цен благ.

Доказательство:

Докажем, что задача максимизации прибыли на Y в определенном смысле сводится к задаче максимизации прибыли на Y′. Пусть y Y и y Y′. Тогда по условию ( ) найдется вектор y′ Y′ такой, что y′– y>≠0. Тем самым мы нашли допустимое решение, для которого прибыль не меньше, чем для y. Из этого следует, что нам достаточно рассматривать только y Y′.

Поскольку Y′ — компактное множество, а прибыль py непрерывна по y, то по теореме Вейерштрасса решение Задачи 3 на множестве Y′ всегда существует.

*

Ясно, что предположения этой теоремы слишком ограничительны, что не позволяет устанавливать существование решения задачи производителя для многих популярных технологических множеств. Так, для производственной функции Кобба—Дугласа с убывающей отдачей (f(K, L) = KαLβ, α+ β<1) мы можем гарантировать существование решения при положительных ценах, а условию теоремы она не удовлетворяет.

Существование решение задачи потребителя в этом случае гарантируется тем фактом, что на всех «рецессивных направлениях» данного технологического множества прибыль принимает отрицательные значения. Поясним сказанное и приведем утверждения, обобщающие доказанную выше теорему.

Введем соответствующие понятия.

Пусть Y удовлетворяет свойству невозрастающей отдачи от масштаба. Назовем вектор ψ рецессивным направлением (направлением «удаления в бесконечность»), если λψ Yλ>0. Обозначим через Ψ множество всех рецессивных направлений. По построению Ψ является конусом. Построим на основе Ψ следующее множество (множество цен, которые на рецессивных направлениях дают отрицательную прибыль):

P° = {p| pψ< 0 ψ Ψ: ψ≠0}.

Справедлива следующая теорема.

126

127

Теорема 7.

Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто и удовлетворяет свойству невозрастающей отдачи от масштаба. Тогда при всех p P° Задача 3 имеет решение.

Доказательство:

Рассмотрим p Π° и предположим, что Задача 3 не имеет решения. Тогда существует неограниченная последовательность технологий {yi}, такая что

||yi+1|| > ||yi||

и

lim pyi = sup y Y py.

Без ограничения общности можно считать, что yi ≠0. Рассмотрим последовательность yi/||yi||. Эта последовательность ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность. Обозначим эту подпоследовательность через {y~i}, а ее предел через y~. Покажем, что y~ Ψ.

Пусть это не так, и найдется λ^, такое что λ^y~ Y. Рассмотрим последовательность λ^y~i. Из свойства невозрастающей отдачи и того, что исходная последовательность yi неограничено возрастает, следует, что начиная с некоторого i эта последовательность принадлежит Y. Пределом этой последовательности будет вектор λ^y~. Поскольку технологическое множество замкнуто, то λ^y~ Y. Полученное противоречие доказывает, что y~ Ψ.

Поскольку p P° и y~ Ψ, то py~ < 0. Отсюда следует, что для достаточно больших i py~i < 0, поэтому lim pyi = –∞. C другой стороны, поскольку Y непусто, то sup y Y py>–∞. Получили противоречие.

*

Из доказанной теоремы следует, что если множество рецессивных направлений Ψ совпадает с Êl– , то (в предположениях теоремы) решение задачи производителя существует при любых положительных ценах. Примером служит технология, задаваемая производственной функцией Кобба—Дугласа с убывающей отдачей.

Докажем некоторые свойства функции прибыли и отображения (функции) предложения.

Теорема 8. (Свойства функции π(p))

1) Функция π(p) положительно однородна 1-й степени:

π(λp) = λπ(p) p int(P).

2)Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли π(p) выпукла на любом выпуклом подмножестве множества P (множества цен, при которых Задача 3 имеет решение).

3)Функция π(p) непрерывна на внутренности множества P, int(P).

4) Если множество Y строго выпукло, то π(p) непрерывно дифференцируема на p int(P).

Доказательство:

1) Доказательство однородности оставляем в качестве упражнения.

127

128

2) Докажем выпуклость π( ). Пусть от некоторых двух цен p, p′ взята выпуклая комбинация — цена

pα = αp+ (1 – α)p′ (0 < α< 1).

Учитывая условия максимизации прибыли, имеем для yα = y(pα): pyα <π(p), p′yα <π(p′).

Складывая эти неравенства с множителями α и 1 – α соответственно, получим требуемое неравенство:

π(pα) <απ(p) + (1 – α)π(p′).

Выпуклость функции π( ) можно также доказать, используя тот факт, что поточечный максимум семейства выпуклых функций — выпуклая функция, заметив, что π( ) является поточечным максимумом выпуклых (линейных) функций py, y Y.

3)Непрерывность функции π( ) на множестве int(P) следует, например, из того факта, что выпуклая функция непрерывна во внутренности ее области определения.

4)Дифференцируемость функции π( ) следует из того, что решение задачи производителя y(p) единственно при любых при любых положительных ценах, градиент π(p) = y(p). Поскольку y(p) непрерывна на int(P), π(p) непрерывно дифференцируема на int(P).

■

Аналогом тождества Роя является следующая лемма Хотелинга, результат, который мы использовали при доказательстве предыдущей теоремы и который мы установим сейчас при более сильных, чем это необходимо, предположениях.

Теорема 9.

Пусть функция прибыли π( ) непрерывно дифференцируема в точке p int(P). Тогда

∂π(p)

∂pk = yk(p).

Доказательство:

Пусть p~ int(P) — некоторый вектор цен. Для доказательства леммы определим две функции от цены k-го блага pk. Первая из них представляет собой прибыль как функцию pk при условии, что остальные цены зафиксированы на уровне p~–k , т.е.

πk(pk) = π(p~–k, pk) = π(p~1, ..., p~k–1, pk, p~k+1, ..., pl).

Обозначив y~ = y(p~), определим вторую функцию как

γ(pk) = pky~k + Ûp~sy~s.

s≠k

Она является линейной функцией pk.

По определению, π(p~) = p~y~, а это означает, что πk(p~k) = γ(p~k). При других ценах, вообще говоря, y~ = y(p~) может не давать максимум прибыли, т. е πk(pk) >γ(pk). Таким образом, прямая γ(pk) является касательной графика функции πk(pk) в точке p~k (точка A на Рис. 23). В точке касания производные совпадают, поэтому

128

	129
∂π(p~)	= πk′(p~k) = γ′(p~k) = y~k,
∂p
k

что и означает справедливость Леммы.

■

		A
π(p	, p )	pky~k + Ûp~sy~s
~–k	k	s≠k

pk

p~k

Рисунок 23. Иллюстрация доказательства Леммы Хотеллинга

Теорема 10. (Свойства отображения предложения)

•Отображение (функция) предложения y(p) положительно однородно нулевой степени.

•Если множество Y строго выпукло, то y(p) — однозначная функция на p P, причем y(p) непрерывна на p int(P).

•Если функция прибыли π( ) дважды непрерывно дифференцируема, то матрица Якоби M = {∂ys/∂pk} функции y(p) симметрична и положительно полуопределена, p int(P).

Доказательство:

Доказательство оставляем в качестве упражнения.

■

Если технологическое множество может быть представлено посредством производственной функции, то задача производителя сводится к следующей задаче максимизации прибыли:

pof(r) – wr→max r R ,

где po — цена выпускаемой продукции, r — количество затрачиваемых факторов производства, w — вектор цен факторов. Прибыль здесь определяется как разность между выручкой poyo и издержками wr.

Пусть r(w, po) — функция спроса на факторы производства при векторе цен (w, po), yo(w, po) — функция предложения продукции при векторе цен (w, po). Заметим, что если po > 0, то yo(w, po) = f(r(w, po)). В данном контексте функция прибыли записывается в следующем виде:

π(w, po) = pof(r(w, po)) – wr(w, po).

Поясним связи переменных этой задачи с ранее рассмотренными. Как не трудно понять p= (w, po) и y(p) = (–r(w, po), yo(w, po)).

Как результаты доказанные в этом параграфе, так и те которые будут доказаны впоследствии могут быть доказаны и в случае когда первичный объект рассмотрения не технологическое множество, а производственная функция.

129

130

Если r- — внутреннее решение задачи максимизации прибыли (r- int(R)) и производственная функция дифференцируема, то r- удовлетворяет следующим условиям первого порядка:

po	∂f(r-)	= wk k K.
	∂rk

т.е. предельная производительность каждого фактора производства равна его цене. В векторной записи

po f(r-) = w.

При po > 0 получим следующую дифференциальную характеристику задачи производителя:

∂f(r-) = wk, ∂rk po

т.е. предельный продукт каждого фактора производства равен его относительной цене (пропорции обмена этого производственного фактора на продукт).

Предположим, что множество R задается неравенствами r>0. Тогда любое решение удовлетворяет соотношению

∂ - f(r)

po ∂rk <wk,

причем (условия дополняющей нежесткости)

po	∂f(r-)	= wk, если rk > 0,
	∂rk
и
rk = 0, если po			∂f(r-)	< wk.
			∂rk

Указанные необходимые условия оптимальности оказываются достаточными в случае, если производственная функция вогнута.

Соотношения леммы Хотеллинга в этом случае приобретают следующий вид:

∂π(w, po)	= f(r(w, po)),
∂po

∂π(∂w, po) = –rk(w, po). wk

Можно получить аналогичную дифференциальную характеристику решения задачи производителя и в случае, если технологическое множество задано неявной производственной функцией g( ), которая является дифференцируемой.

Заметим, что если технологическое множество задано неявной производственной функцией g( ), то задача производителя записывается как

py→max yj. g(y) >0.

При дифференцируемости функции g( ) решение этой задачи можно охарактеризовать при помощи теоремы Куна—Таккера в дифференциальной форме. Функция Лагранжа для задачи производителя равна

130