Бусыгин

171

Предположим, что последовательности {pn} Sl–1 и {qn} Sl–1 с пределами p0 и q0 соответственно таковы, что qn g(pn). Покажем, что q0 g(p0). Возможны две ситуации: (1)

p0 Sl+–1, (2) p0 Sl–1\Sl+–1.

В случае p0 Sl+–1 существует N, такое, что при n > N выполнено pn Sl+–1. При n > N выполнено

qnE(pn) >q′E(pn) q′ Sl–1.

Переходя к пределу, получим, что q0E(p0) >q′E(p0). Тем самым мы показали, что в этом случае q0 g(p0).

Рассмотрим теперь случай, когда p0 Sl–1\Sl+–1. Пусть k — благо, для которого p0k > 0. Покажем, что при достаточно больших n выполнено qnk = 0. Тем самым мы покажем, что qk0 = lim qnk = 0, и, следовательно, q0 g(p0).

Если pn Sl–1\Sl+–1, то по определению отображения g( ) имеем qkn = 0. Таким образом, нам осталось доказать в случае pn Sl+–1, что если pk0 > 0, то при достаточно больших n выполнено qnk = 0. По закону Вальраса имеем

pnk Ek(pn) = – Û pnk′ Ek′(pn) k′≠k

Используя ограниченность снизу функции избыточного спроса, имеем

– Û pnk′ Ek′(pn) < – t Û pnk′ = – t (1– pkn).

k′≠k			k′≠k
Отсюда
k	(pn) < –	t(1– pkn)
E			.
		n
		pk

Поскольку pnk сходится к положительному пределу, это означает, что значение Ek(pn) ограничено сверху. С другой стороны, величина maxs{Es(pn)} стремится к бесконечности. Поэтому при достаточно больших n выполнено неравенство

Ek(pn) < maxs{Es(pn)}.

Отсюда следует, что при достаточно больших n вектор q g(pn) должен иметь qk=0. Дей-

ствительно, согласно определению g( ) для любого вектора q′ из Sl–1 должно быть выполнено q′E(pn) < qE(pn). Однако, если бы qk>0, то при Ek(pn) < maxs{Es(pn)} мы могли бы

построить на основе вектора q вектор q′ для которого q′E(pn) < qE(pn).

Тем самым мы полностью доказали, что отображение g( ) имеет замкнутый график.

Поскольку отображение g( ) имеет замкнутый график, выпуклозначно и отображает непустое компактное выпуклое множество Sl–1 в себя, то к нему применима теорема Какутани, и существует неподвижная точка p- Sl–1:

p- g(p-).

Этап 3.

Покажем, что неподвижная точка отображения g( ) является вектором цен равновесия.

Неподвижная точка p- отображения g( ) не может принадлежать границе симплекса цен (Sl–1\Sl+–1). Этот факт следует из того, что согласно определению g(p) для p Sl–1\Sl+–1 при всех q g(p) должно быть выполнено равенство q p= 0. Если бы p- g(p-), где p- Sl–1\Sl+–1, 171

172

то мы имели бы p- p- = || p- ||2 = 0. Этому условию удовлетворяет только точка p- = 0, не принадлежащая симплексу цен.

Таким образом, p- Þ 0 и поэтому, как было отмечено при определении отображения, E(p- ) = 0. Покажем это формально.

Предположим противное. В силу закона Вальраса, если E(p-) ≠0 и p- Þ 0, то существуют s и s′ такие, что Es(p-) > 0 и Es′(p-) < 0. Поскольку p- g(p-) и p- Þ 0, то по определению g(p-)

для любого q Sl–1 должно быть выполнено p-E(p-) > qE(p-). Однако, так как Es(p-) > Es′(p- ), то достаточно взять следующий вектор q: qs = -ps + -ps′, qs′ = 0, qk = -pk, k ≠s, s′, чтобы получить p-E(p-) < qE(p-). Мы пришли к противоречию.

Тем самым мы доказали существование цен p-, при которых избыточный спрос равен нулю.

Данное доказательство можно проиллюстрировать графически.

E1(p1,1 – p1)
p	1	p1
-1
p2
1 A

B

C	p1
1

Рисунок 35. Иллюстрация доказательства теоремы существования

На данном рисунке B — неподвижная точка отображения g( ). Данное отображение определено на симплексе AC, и отображает точки отрезка AB, за исключением точки B, в точку C, точки отрезка BC, за исключением точки B, — в точку A, а точку B — во весь симплекс (отрезок AC).

Опираясь на доказанную Теорему 3, можно показать, что в моделях обмена при непрерывности, строгой выпуклости и строгой монотонности предпочтений потребителей рав-

новесие существует, если совокупные начальные запасы строго положительны, т.е. ωΣÞ0.

Это утверждение очевидно, в силу того, что функция избыточного спроса в модели обмена при данных условиях на предпочтения потребителей является непрерывной, однородной первой степени и удовлетворяет закону Вальраса на Sl+–1. Ограниченность избыточного спроса снизу следует из того факта, что спрос потребителей неотрицателен и выполнены

балансы (в качестве константы t можно взять t = – maxk{ωkΣ}).

172

173

Для того, чтобы продемонстрировать выполнение условий Теоремы 3 для случая непрерывных, строго выпуклых и строго монотонных предпочтений, осталось показать выполнение последнего условия теоремы: если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности. Покажем это формально.

В силу того, что p0 Sl–1 и ωΣÞ0, имеем, что p0 ωΣ > 0. Таким образом, существует потре-

битель i, такой, что p0 ωi > 0. Следующее утверждение показывает, что спрос этого по-

требителя, по крайней мере, на одно из благ стремится к бесконечности по мере того, как pn стремиться к p0, т.е.

maxk (xik(p n)) → ∞ при n→∞,

что и доказывает, что

maxk (Ek(p n)) → ∞ при n→∞.

Теорема 4.

Пусть {pn} Sl–1 — последовательность цен, причем pn→ p0 при n→∞, и существует благо k, такое что p0k = 0.

Предположим, что:

•Потребитель имеет строго монотонные непрерывные предпочтения.

•Начальные запасы потребителя ω таковы, что p0ω > 0.

Тогда

maxk (xk(p n)) → ∞ при n→∞.

Доказательство:

Предположим противное. Пусть спрос потребителя на все товары, ограничен, т.е. существует некоторое число K, такое, что 0 < x(p) < K. В силу того, что бесконечная последовательность на компакте имеет точки сгущения, найдется некоторая подпоследовательность {pnl}, такая, что:

x(pnl) → -x.

Так как x(pnl) — оптимальное решение задачи потребителя, а предпочтения строго монотонны, то при ценах pnl выполняется закон Вальраса, т.е.

pnlx(pnl) = pnlω.

Переходя в этом тождестве к пределу, получим, p0-x = p0ω. Пусть p0k = 0. Тогда в силу строгой монотонности предпочтений -x + σek } -x, где σ — некоторое строго положительное число. В силу того, что предпочтения потребителей непрерывны, найдется такое δ>0, что x^ } -x, где x^= -x + σek – δes, а s — номер товара, для которого ps0 > 0. Очевидно также, что

p0x^= p0-x + σp0k – δp0s = p0-x – δp0s < p0-x.

В силу непрерывности отношения предпочтения имеем, что существует N такое, что для каждого l > N x^ } x(pnl).

Так как pnl → p0 и x(pnl)→ -x, то

lim pnl(x(pnl) –x^) = p0(-x – x^) > 0.

173

174

Из определения предела следует, что найдется число M такое, что для каждого l большего M справедливо, что pnl(x(pnl) – x^) > 0, т.е.

pnlx(pnl) > pnl x^

Таким образом, мы получили, что при l > max{M, N} набор x^ строго лучше набора x(pnl) и при этом стоит дешевле. Тем самым мы получили противоречие с оптимальностью набора

x(pnl). Таким образом, не существует K такого, что 0 <x(p) < K, т.е. maxk (xk(p n)) → ∞ при n→∞.

Резюмируя проделанные выше рассуждения, сформулируем утверждение о существовании равновесия в экономике обмена при более слабых, чем ранее, предположениях.

Теорема 5.

Рассмотрим экономику обмена и предположим, что Xi = Êl+ i, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы и монотонны, а совокупные

начальные запасы положительны (ωΣÞ0). Тогда в этой экономике существует равновесие такое, что p- Êl++.

Существование равновесия в экономике Эрроу—Дебре

Аналогичным образом определяется избыточный спрос в модели Эрроу—Дебре. Кроме начальных запасов и спроса следует учитывать также предложение благ, yj(p).

По аналогии с моделью обмена законом Вальраса для экономики Эрроу—Дебре называют следующее равенство:

pÛxki = pÛykj + pÛωki ,

i

j

i

которое выполняется для некоторого множества цен.

Определение 6.

Функцией (отображением) избыточного спроса в модели Эрроу—Дебре называется функция (отображение)

E(p) = Û(xi(p) – ωi) – Ûyj(p).

i I j J

Вообще говоря, избыточный спрос является точечно-множественным отображением, но в ситуации, когда предпочтения строго выпуклы. Выше мы установили условия, когда совокупный спрос потребителя является непрерывной функцией. Если, в дополнение к этим условиям, технологическое множество каждого производителя является строго выпуклым, как предложение, так и совокупный избыточный спрос также являются непрерывными функциями. В этом случае мы можем для доказательства существования равновесия использовать аналоги утверждений предыдущего пункта. Так, в случае, когда технологические множества представляются производственными функциями, последние должны быть строго вогнутыми. Наиболее простой и часто рассматриваемый в экономической теории тип производственной функций, гарантирующий существование и непрерывность функции предложения на множестве неотрицательных цен, — неоклассическая производственная функция, «первичных» факторов производства, предложение которых ограничено.

174

175

Характерным примером этого типа функций является функция Кобба-Дугласа, зависящая от труда и капитала.

Для ситуаций, когда предпочтения не являются строго выпуклыми, а технологические множества — строго выпуклыми, ниже будет предложено утверждение (о существовании квазиравновесия), на основе которого могут быть установлены различные условия существования равновесия (доказаны теоремы о существовании равновесия) в модели Эрроу— Дебре.

Предваряя это утверждение, сформулируем вспомогательную задачу, решение которой существует при более слабых предположениях, чем решение задачи потребителя, но при определенных условиях совпадает с ним.

Задача ϒ (модифицированная задача потребителя)

Найти -xi, такой что

-p-xi < βi ,

--xi не хуже, чем любой другой набор xi Xi, который стоит в ценах p дешевле, чем βi .

Введем сначала следующее вспомогательное понятие.

Определение 7.

Набор (p-, x-, y-) называется квазиравновесием экономики Эрроу-Дебре, если выполняются следующие условия:

Для каждого потребителя -xi удовлетворяет условиям Задачи ϒ при ценах p- и доходах

βi = p-ωi + Ûγijp-y-j. j J

-yj является решением задачи j-го производителя при ценах p-.

Выполнены полубалансы по каждому благу:

Ûx-ki < Û-ykj + Ûωki k.

i j i

Условия существования квазиравновесия оказываются особенно простыми и описываются в приведенной ниже Теореме 6. С другой стороны состояние квазиравновесия является при некоторых предположениях о предпочтениях состоянием равновесия. Поэтому представляется удобным вначале установить условия существования квазиравновесия, а затем использовать их вместе с дополнительными предположениями, для доказательства существования равновесия в конкретных моделях экономики.

Теорема 6.

Предположим, что:

1) Множество Z = (ÛjYj + Ûωi) ] Êl+ непусто, замкнуто и ограничено, (т.е. существует N

i

такое, что если z Z, то zk < N, k = 1, ..., l).

2)Предпочтения }i выпуклы и непрерывны, Xi — выпуклое замкнутое множество, ограниченное снизу, 0 Xi, начальные запасы неотрицательны, ωi >0, i = 1, ..., n.

3)Yj — выпуклое замкнутое множество и 0 Yj, j = 1, ..., m.

Тогда в этой экономике существует квазиравновесие (p-, x-, y-), такое что p->0, p-≠0.

175

176

Доказательство:

Как и в предыдущих доказательствах, мы будем искать квазиравновесие как неподвижную точку некоторого специальным образом сконструированного отображения из множе-

m n

ства Θ= ÇX^i × ÇY^j × Sl–1 в себя. Здесь

i=1 j=1

X^i = {xi Xi | xi < N + ε},

Y^j = {yj Yj | |yj| < N + ε}, Sl–1 = {p >0 | Ûk pk =1}.

Заметим, что каждое из этих множеств непусто, замкнуто и ограничено, поэтому их произведение Θ тоже непусто, замкнуто и ограничено.

Определим отображение g( ): Θ→ Θ следующим образом:

m

n

g(θ) = Çgxi(θ) × Çgyj(θ) × gp(θ).

i=1 j=1

Где компоненты отображения g(.) определяются следующим образом: gxi(θ) = {xi′ X^i | pxi′< βi(p, y), xi′} xi′′ xi′′ X^i: pxi′′< βi(p, y)},

где

βi(p, y) = max{0, Ûj γijpy j} + pωi,

gyj(θ) = {yj′ Y^j | pyj′> pyj′′ yj′′ Y^j},

gp(θ) = {p′ Sl–1 | (p′– p′′)(Ûxi – Ûy j – Ûωi) > 0 p′′ Sl–1}.

i j i

Заметим, что такое определение бюджета гарантирует непустоту бюджетного множества {xi′ X^i | pxi′< βi(p, y)} при любых ценах p и производственных планах y.

Пусть θ- = {-x, -y, p-} — неподвижная точка отображения g(.), т.е.

θ- g(θ-).

Докажем, что θ- является квазиравновесием рассматриваемой экономики.

Поскольку каждый производственный план -yj максимизирует прибыль при ценах p- и

0 Y^j , то p--y j > 0 и поэтому βi(p-, -y) = Ûj γijp- -yj + p-ωi.

Сложив неравенства

p- -xi < βi(p-,-y) = Ûj γijpyj + pωi

по всем потребителям, получим, что для экономики в целом выполнено соотношение:

p-Û-xi < p-Û-yj + p-Ûωi.

i

j

i

Покажем теперь, что выполняются балансовые соотношения

Û-xi – Û-yj – Ûωi < 0

i

j

i

176

177

Действительно, если хотя бы одна из компонент данного вектора была положительна, то положительной была бы и стоимость дефицита — величина p- (Û-xi – Û-yj – Ûωi) (поскольку цены p-, выбраны ценообразующим органом так, чтобы максимизировать эту величину). Но мы только что доказали, что данная величина не положительна.

Остается показать, что количественные ограничения в условиях, определяющих отображения gxi( ) и gyj( ) несущественны, в то смысле, что решения соответствующих задач потребителя и производителя одни и те же, как при наличии ограничений

xi < N + ε, |yj| < N + ε,

так и при их отсутствии.

Пусть это не так, и существует, например, такой набор x^i Xi, что p-x^i < βi(p-,-y) и x^i }i -xi . Поскольку выполняются соотношения

Û-xi < Û-yj + Ûωi < N,

i

j

i

то дополнительное количественное ограничение в точке -xki должно быть выполнено как строгое неравенство:

-xki < N + ε.

На отрезке, соединяющем -xi и x^i, найдется набор xi′ (достаточно близкий к -xi), такой что p- xi′ < βi(p-,-y) и xi′< N + ε. Поскольку отношение }i выпукло, то xi′}i -xi, а это противоречит тому, что -xi gxi(θ-).

Похожим образом доказывается, что -yj при ценах p- максимизирует прибыль на всем множестве Yj.

Таким образом, θ- действительно является квазиравновесием.

Для доказательства теоремы осталось проверить, что построенное отображение множества Θ в себя имеет замкнутый график, что устанавливается рассуждениями, аналогичными уже проделанным ранее (в Частях 1, 2).

*

На основе данного утверждения можно устанавливать существование равновесий при дополнительных предположениях, гарантирующих, что найденное квазиравновесие является равновесием, т.е. удовлетворяет следующим двум условиям:

1) каждый вектор x-i является решением задачи потребителя при ценах p- и доходе

βi = p-ωi + Ûγijp-y-j + Si ;

j J

2) для всякого блага k выполнены балансы

Ûx-ik = Ûωik + Ûy-jk.

i I

i I

j J

Мы сформулируем соответствующие утверждения, предоставив их доказательство читателю.

Во-первых, заметим, что при определенных условиях если (p-, x-, y-) — квазиравновесие, то каждый потребительский набор x-i является самым дешевым из тех, которые не хуже для этого потребителя, чем x-i. Следующая теорема описывает такие условия.

177

178

Теорема 7.

Предположим, что предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, и x-i является решением задачи ϒ при ценах p и доходе βi.

Тогда

(1) потребительский набор x-i минимизирует затраты в ценах p на достижение уровня благосостояния, определяемого вектором x-i, т.е. решает следующую задачу

pxi → min

xi }i x-i;

(2) потребительский набор x-i удовлетворяет соотношению: px-i = βi;

(3) если множество Xi выпукло, предпочтения потребителя непрерывны, и существует55 xi Xi: pxi < βi, то x-i является решением задачи потребителя.

Доказательство:

Доказательство Теоремы 7 оставляется в качестве упражнения.

*

Следствием Теоремы 7 являются следующие результаты, которые позволяют получать различные теоремы существования в модели Эрроу—Дебре на основе Теоремы ???.

Теорема 8.

Предположим, что (p-, x-, y-) — квазиравновесие в экономике Эрроу—Дебре, p->0, p-≠0, 0 Xi Êl+ — выпуклое множество, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы,

m

непрерывны и строго монотонны. Пусть также 0 Yj, ωi >0, Ûωi > 0.

i=1

Тогда (p-, x-, y-) — равновесие по Вальрасу.

Теорема 9.

Предположим, что (p-, x-, y-) — квазиравновесие в экономике Эрроу—Дебре, p->0, p-≠0, 0 Xi — выпуклое множество, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и монотонны. Пусть также 0 Yj, ωi > 0.

Тогда существует такое состояние экономики, (x~, y~), что (p-, x~, y~) — равновесие по Вальрасу.

Теорема 10.

Предположим, что (p-, x-, y-) — квазиравновесие в экономике Эрроу—Дебре, p->0, p-≠0, Xi — выпуклое множество, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы и не-

прерывны, и совокупное технологическое множество ÛjYj удовлетворяет свойству свободы расходования56. Пусть также 0 Yj, ωi > 0.

55Такой xi Xi существует, например, при условии, что x-i int Xi и p≠0.

56Для выполнения этого условия достаточно, чтобы технологическое множество хотя бы одного производителя удовлетворяло условию свободы расходования.

178

179

Тогда существует такое состояние экономики, (x~, y~), что (p-, x~, y~) — равновесие по Вальрасу.

Задачи

7. В экономике распределения (в отличие от экономики обмена) задается вектор совокупных начальных запасов ωΣ и доход Ri каждого потребителя, т.е.

ED = {(Xi, ui( ))i I; ωΣ, (R i) i I}

Под (общим) равновесием в экономике распределения мы будем понимать пару

{p, x-}={p, {x-i} i I}, такую, что:

—p Êl+,

—каждый вектор x-i является решением задачи потребителя при ценах p и доходах Ri, т.е.

x-i argmaxxi Bi(p, ωi) ui(xi),

где Bi(p, Ri) = {xi Xi | p xi < Ri}.

— состояние x- является допустимым, в частности, выполнены балансы по благам, т.е. k

Ûx-ki = Ûωki . i i

— p ωΣ = Û R i

i

Показать, что в экономике распределения с двумя благами и двумя потребителями, предпочтения которых описываются следующими функциями полезности

u1(x11, x12) = min{x11, x12}, u2(x21, x22) = x22

не существует равновесия при R1 =1, R2 =0, и ωΣ = (2, 1).

8. Предположим, что (p-, x-, y-) — квазиравновесие в экономике Эрроу—Дебре, p->0, p-≠0, Xi = Êl+. Пусть также 0 Yj, ωi > 0. Покажите, что если предпочтения потребителей описываются леонтьевскими функциями полезности, то существует такое состояние экономики, (x~, y~), что (p-, x~, y~) — равновесие по Вальрасу.

9. Предположим, что (p-, x-, y-) — квазиравновесие в экономике Эрроу—Дебре, p->0, p-≠0, Xi = Êl+, предпочтения потребителей строго выпуклы, непрерывны и монотонны. Пусть

m

также 0 Yj, ωi >0, Ûωi > 0. Покажите, что это квазиравновесие является равновесием по

i=1

Вальрасу.

10. Предположим, что все продукты производятся на основе первичных факторов, которые принадлежат потребителям и совокупные запасы которых положительны. Предположим также, что каждая фирма является однопродуктовой, ее технология описывается производственной функцией Кобба-Дугласа, а также что каждый продукт производится ка-

179

180

m

кой-то фирмой. Покажите, что если Ûωi >0, то для этой экономики выполняется условие,

i=1

что множество Z = (ÛjYj + Ûωi) ] Ê+l непусто, замкнуто и ограничено.

i

Какие дополнительные условия гарантируют существование квазиравновесия (равновесия) в такой экономике?

11. Показать, что в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, описываемыми следующими функциями полезности

u1(x11, x12) = x11,

u2(x21, x22) = x22,

не существует равновесия при ω1 =(1, 1), ω2 =(0, 1).

12. Рассмотрим экономику обмена с двумя благами и тремя потребителями, которые име-

ют следующиОшибка! Закладка не определена.е функции полезносОшибка! Закладка не определена.ти и положительные начальные запасы.

u1(x11, x12) = ex11x12

u2(x21, x22) = x21 + x22

u3(x31, x32) = min{x31, x32}

(1)Найдите функции спроса потребителей, опишите их свойства.

(2)Найдите функции избыточного спроса и проверьте, что они являются положительно однородными нулевой степени и удовлетворяют закону Вальраса.

(3)При каких начальных запасах известные вам утверждения гарантируют существование равновесия в этой экономике?

(4)Вычислите равновесие при следующих начальных запасах:

ω1 = (2, 3)

ω2 = (1, 4)

ω3 = (2, 1)

13. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями, функции полезности которых имеют вид

l

ui(xi) =Ûαik xik , αik > 0.

k=1

При каких начальных запасах известные вам утверждения (какие?) гарантируют существование равновесия в этой экономике?

14. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями, предпочтения которых представляются функции полезности Кобба—Дугласа.

При каких начальных запасах известные вам утверждения (какие?) гарантируют существование равновесия в этой экономике?

15. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями. Предпочтения первых m – 1 потребителей представляются функциями полезности Кобба—Дугласа. Предпочтения m-

180