Бусыгин

51

u′(x) = (Ûαixiρ)1/ρ

представляет те же предпочтения, что и функция Кобба-Дугласа.

56. (Продолжение) Покажите, что функция полезности

u′(x) = lim (Ûαixiρ)1/ρ

ρ→ –∞

представляет те же предпочтения, что и функция u″(x)=min{x1, x2,..., xn}.

57. (Продолжение) Используя полученные ранее результаты, найдите функции, представляющие те же предпочтения, что и функции

u′(x) = lim(Û(αixi)ρ)1/ρ,

ρ→ 0

u″(x) = lim (Û(αixi)ρ)1/ρ.

ρ→ –∞

58. Пусть предпочтения представимы дифференцируемой функцией u(x). Покажите, что предельная норма замены инвариантна относительно строго возрастающего преобразования функции полезности. Как связаны MRSij(x) и MRSji (x)?

59. В случае двух товаров покажите, что дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности аддитивно-сепарабельна (имеет вид u(x)= u1(x1) + u2(x2)) тогда и только тогда, когда

		∂2MRS (x)		∂MRS (x) ∂MRS (x)
	MRS12(x)	12	=	12		12	.
		∂x1∂x2		∂x1		∂x2

60. Пусть некоторая система выпуклых неоклассических предпочтений, заданных на Ê2+, представляется непрерывной, аддитивно–сепарабельной функцией u~(x)= u(x1) + u(x2). Покажите, что функция u~(x) вогнута. (Подсказка: покажите, что для любых m и n спра-

ведливо u(	m	m	m	m
	2n x + (1–	2n)y) >	2nu(x) + (1–	2n) u(y) и воспользуйтесь непрерывностью)

61. Какими свойствами (монотонность, строгая монотонность, локальная ненасыщаемость, выпуклость, строгая выпуклость, гомотетичность, квазилинейность, сепарабельность) обладают предпочтения на Ê2+, представимые следующими функциями полезности?

a)u(x)=x1+ x2;

b)u(x)= x1 + x2;

c)u(x)= x1 + x2;

d)u(x)=x1x2;

2

e) u(x)= ln(x1)+x22 ;

51

52

f)u(x)= x1x2 ; x1+ x2

g)u(x)= x21 +x22 ;

h)u(x)=min{x1, x2};

i)u(x)=max{x1, x2};

j)u(x)=min{2x1– x2, 2x2– x1};

k)u(x)=28x1+28x2–2x21 –3x1x2–2x22 ;

l)u(x)=ln(x1– 1) – 2ln(2 – x2).

Какие из этих функций являются вогнутыми? Какие квазивогнутыми? Для каждой из этих функций постройте эскизы кривых безразличия.

Бюджетное множество

Выше было введено понятие множества допустимых альтернатив X, которое отражает весь набор физических, институциональных ограничений налагаемых на выбор потребителя. Например, индивидуум физически не может работать более 24 часов в сутки или потреблять какое-то благо в отрицательных количествах. Ограничения этого типа задают первичные границы, которые очерчивают область, в которой осуществляется потребительский выбор. Помимо ограничений на область определения выражаемых через множество X действия потребителя подчинены разного рода экономическим ограничениям. Наиболее распространенный тип ограничений этого типа — это так называемое бюджетное ограничение — естественное требование, ограничивающее расходы потребителя его доходами. Множество потребительских наборов из X, удовлетворяющих этому ограничению, называют бюджетным множеством. В наиболее простом случае, когда доходы потребителей фиксированы, а расходы представлены затратами на покупку потребительского набора бюджетное множество имеет вид:

B(p, R) = {x X | px < R},

где p ÊK+ — вектор цен рассматриваемых благ, а R — доход потребителя. Альтернативно, можно предполагать, что изначально потребитель владеет некоторым начальным запасом благ – набором (вектором) благ ωÅ =(ω1,.., ωK). Если предположить, что у потребителя нет иных форм дохода кроме начального запаса, то в этом случае его бюджетное множество представляется в виде: B′(p, ω) = {x X | p(x – ω)< 0}= {x X | px < pω}, то есть стоимость покупок не может превышать стоимости продаж. Возможна двоякая интерпретация данного бюджетного множества. С одной стороны, его можно понимать как продажу всего вектора ω с последующей покупкой набора x. С другой стороны, возможно интерпретировать данное ограничение как покупку/продажу только некоторого недостающего/избыточного количества относительно ω. Последней интерпретации мы и будем придерживаться. Аналогичные, по сути, бюджетные множества возникают в ситуации, если предполагается, что потребитель помимо фиксированного дохода (или начальных запасов) получает некоторый доход, например, от принадлежащих акций промышленных предприятий или из других источников. Естественно, что в конкретных экономических моделях бюджетное множество может принимать довольно причудливый вид. Оно может сильно отличаться (формально, но не идеологически) от приведенных выше вариантов, но многие результаты и методы рассуждения, которые мы проиллюстрируем в дальнейшем, с некоторыми изменениями могут быть перенесены и на эти более сложные модели.

В заключение данного параграфа сформулируем ряд свойств бюджетных множеств, которые нам понадобятся в дальнейшем.

52

53

Теорема 13.

Пусть множество X – множество допустимых альтернатив и p ÊK+ . Тогда

(1)Бюджетное множество B(p, R) = {x X | px < R} не пусто, если R > infx Xpx.

(2)Бюджетное множество B′(p, ω) = {x X | px < pω} не пусто, если ω X.

(3)Бюджетные множества B(p, R) и B′(p, ω) замкнуты и выпуклы в ÊK.

(4)Бюджетные множества B(p, R) и B′(p, ω) ограничены тогда и только тогда, когда

p ÊK++.

(5)B(p, R) = B(λp, λR) и B′(p, ω)= B′(λp, ω) для любого λ Ê.

(6)Если R* > R, тогда B(p, R) B(p, R*).

(7)Если p*> p, тогда B(p*, R) B(p, R).

Доказательство:

Доказательство этих фактов несложно и оставляется читателю в качестве упражнения.

*

Введенное понятие бюджетного множество позволяет описывать достаточно много ситуаций, с которыми сталкиваются индивидуумы в процессе принятия экономических решений. Как уже говорилось во вводном параграфе, для того чтобы было возможно анализировать и предсказывать поведение индивидуума необходимо описать способ упорядочивания потребительских наборов и ограничения, которым должны удовлетворять допустимые выборы. К данному моменту мы выполнили данную программу и теперь можем приступить к описанию потребительского выбора и его свойств.

Задачи

62.Пусть допустимое потребительское множество X={x ÊK+ | x1x2+x1> 1}, потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p ÊK++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях (p,R). Является ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях (p,R) бюджетное множество пусто?

63.Пусть допустимое потребительское множество X={x ÊK+ | x1x2 > 2}, потребитель имеет начальный запас ω=(1,1), цены на товары задаются вектором p ÊK++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях p. Является ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях p бюджетное множество непусто?

64.Пусть допустимое потребительское множество X={x ÊK+ | x1,x2 – целые}, потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p ÊK++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя.

65.Пусть допустимое потребительское множество X=ÊK+ , потребитель имеет начальный запас ω=(1,1), цены на товары задаются вектором p ÊK++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя, в случае если в экономике ввели налог с продаж, взимаемый как процент от цены. Является ли бюджетное множество выпуклым?

53

спросом Маршалла

54

66.Пусть в экономике присутствует один потребительский товар, продаваемый по цене p . Доход потребителя складывается из фиксированной части R > 0 и заработной платы wh, где h – время, которое потребитель посвящает работе, а w – почасовая ставка оплаты труда. Потребитель не может работать больше 24 часов в сутки. Запишите бюджетное множество для этой задачи. Постройте его эскиз. Является ли оно выпуклым? Что произойдет, если в модель ввести налог с заработной платы? Дохода? Предложите схему налогообложения, когда бюджетное множество невыпукло.

67.Предположим, что потребитель живет бесконечное число периодов времени (время дискретно). В каждый период t он, используя имеющийся у него капитал kt, исходя из во-

гнутой производственной функцией f(kt) производит некоторый товар, который может либо потребить ct, либо направить на увеличение своего капитала (инвестировать)–it. Капитал предполагается убывающим от периода к периоду, с постоянной нормой выбытия 1 > δ > 0. Начальный запас капитала в нулевой момент времени равен k0. Предположим также, что значения ct, it, kt могут принимать только неотрицательные значения. Запишите бюджетное множество для этой задачи. Покажите, что оно выпукло.

68.Для случая двух товаров изобразите эскиз бюджетного множества, если цена первого товара зависит от объема, а цена второго постоянна, причем цена первого товара убывает при росте объема. Доход потребителя предполагаем фиксированным. Является ли данное бюджетное множество выпуклым?

69.Докажите теорему 13.

70.При каких условиях в пунктах (7), (8) теоремы 13 нестрогие знаки могут быть заменены строгими? Покажите, что без дополнительных предположений этот факт, вообще говоря, не верен.

Задача потребителя. Основные понятия и свойства

Как уже отмечалось, гипотеза рациональности предполагает, что экономический агент, ориентируясь на свои вкусы, предпочтения выбирает наилучший вариант из числа доступных ему альтернатив. Это предположение фактически однозначно задает определение функции спроса и постановку задачи потребителя, в случае, когда известны отношение предпочтения и бюджетное множество.

Определение 14.

Пусть на X задана система неоклассических предпочтений {}, }, ~}, B – совокупность бюджетных множеств B X. Тогда отображение x: B →2X, определяемое как x(B) ={x B | y B x } y}, называется . В случае если x(B) – одноэле-

ментное множество B B, то x(B) называется функцией спроса Маршалла.33

33 Впервые понятие спроса было введено Франсуа Огюстеном Курно в работе Cournot, A, Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des riches, 1838.

54

55

В случае если предпочтения потребителя представимы функцией полезности u:X→R, значение спроса в точке может быть альтернативным образом определено как x(B) =argmaxy Bu(y). Если потребитель, имеет фиксированный доход и осуществляет выбор среди наборов из B(p, R), отображение (функция) спроса представляет собой решение следующего (параметризованного) семейства задач математического программирования,

каждая из которых называется (прямой или маршаллианской) задачей потребителя при ценах

p и доходе R

u(x) → maxx x B(p, R)

или, что эквивалентно, семейства задач

u(x) → maxx px <R, x X.

Для удобства обозначений, в случае, когда семейство бюджетных множеств явным образом параметризуется, вместо общего обозначения x(B) будем писать x(a), где a – вектор параметров параметризующих семейство бюджетных множеств. Так в случае задачи потребителя с фиксированными доходами вместо x(B(p, R)) будем писать x(p, R).

Сейчас, на примере лексикографического предпочтения (его свойства обсуждались в примере 3) мы продемонстрируем способ нахождения функции спроса.

Пример 6.

Пусть допустимое потребительское множество X=Ê2+ , R > 0 и p Ê2++. Рассмотрим потре-

R

бительский набор (p1, 0) и покажем, что он предпочтительнее любого отличного потреби-

тельского набора принадлежащего бюджетному множеству B(p, R). Для любого потребительского набора x~ из бюджетного множества, в который второе благо входит в положи-

R

тельном количестве справедливо, что первая компонента вектора x~ строго меньше чем p1. Таким образом, по определению лексикографического предпочтения имеем, что потреби-

R

тельский набор (p1, 0) представляет собой спрос потребителей при ценах p и доходе R .

Как известно из вводного курса микроэкономики и как, впрочем, несложно догадаться самостоятельно, задача поиска спроса потребителя имеет достаточно прозрачную геометрическую интерпретацию. Геометрически, в случае локально ненасыщаемых предпочтений (причина появления этого уточнения станет ясной при рассмотрении свойств функции спроса), спрос представляет собой точку касания кривой безразличия и бюджетной линии, как это изображено на Рисунке 8. Таким образом, для того чтобы найти спрос агента, необходимо нарисовать бюджетный треугольник, одну из кривых безразличия и двигая ее (на самом деле переходя от одной кривой безразличия к другой) найти точку касания с бюджетной линией.

55

56

x2 бюджетнаяпрямая

Криваябезразличия

маршаллианский

спрос

x1

Рисунок 8 Маршаллианский спрос.

Перейдем теперь к рассмотрению свойств функции спроса и задачи потребителя в целом. Для определенности будем рассматривать случай потребителя с фиксированным доходом. Отметим, что многие, из получаемых в дальнейшем результатов, без труда могут быть перенесены и на бюджетные множества общего вида.

Теорема 14. (Свойства маршаллианского спроса)

Пусть p ÊK++, R >infx Xpx и потребитель описывается системой непрерывных неоклассических предпочтений. Тогда

(1)решение задачи потребителя существует, т.е. x(p, R) ≠ ;

(2)если предпочтения потребителя выпуклы, тогда x(p, R) — выпуклое множество;

(3)если предпочтения потребителя строго выпуклы, то x(p, R) — непрерывная функция;

(4)отображение x(p, R) положительно однородно нулевой степени34, т. е. x(λp, λR) = x(p, R);

(5)если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, то x(p, R) удовлетворяет закону Вальраса, т.е. если x^ x(p, R), то px^ = R;

(6)если x(p, R) – отображение спроса при ценах p и доходе R, а x(p′, R′) – отображение спроса при ценах p′ и доходе R′, x x(p, R), x′ x(p′, R′), x′ B(p, R), x B(p′, R′), то x x(p′, R′).

Доказательство:

(1) Используя теорему 13, получаем что B(p, R)– компакт. В силу того, что непрерывные неоклассические предпочтения, представимы непрерывной функцией полезности, то по теореме Вейерштрасса имеем, что x(p, R) ≠ .

(2) Пусть предпочтения индивидуума выпуклы, x(p, R) не пусто и x′, x′′ — два элемента из множества x(p, R), т.е. x′, x′′ x(p, R). Рассмотрим потребительский набор xα= α x′ + (1 – α)x′′, где 0<α<1. В силу сделанных предположений множество B(p, R)– выпукло, из этого с учетом того, что x′, x′′ B(p, R) получаем xα B(p, R), т.е. набор xα является допустимым в задаче потребителя. Так как x′, x′′ x(p, R), то по определению отображения спроса имеем x′~x′′, что эквивалентно одновременному выполнению x′}x′′ и x′{x′′. Из

x′}x′′ по свойству выпуклости предпочтений имеем xα } x′′, а так как x′′ x(p, R) тоy B(p, R) x′′ } y а значит, имеем y B(p, R) xα } y. Это вместе с xα B(p, R) и оз-

начает выпуклость множества x(p, R).

34 В дальнейшем, говоря об однородности, мы будем автоматически предполагать положительную однородность, не уточняя этого специально.

56

57

(3) Доказательство того, что x(p, R) – одноэлементное множество несложно, в общих чертах повторяет доказательство предыдущего и оставляется читателю в качестве упраж-

нения. Здесь же докажем ее непрерывность. Рассмотрим последовательность {pn, Rn}∞n =1→ {p-, R-}, где Rn >infx Xpnx для каждого n и (p-, R-)>(0, infx Xp-x), такую, что порождаемая последовательность {xn}∞n =1 решений задачи потребителя при ценах pn и доходах Rn (т.е.

xn = x(pn, Rn)) сходится, т.е. {xn}∞n =1→ x-. Поскольку pn xn <Rn, то, переходя к пределу при n → ∞, получаем p-x-< R-. Для доказательства непрерывности функции спроса необходимо показать, что x- = x(p-, R-), т.е. что x- является оптимальным выбором потребителя при ценах p- и доходе R-. Предположим противное, т.е. существует набор x^, такой что u(x^) > u(x-

) и p- x^ <R-.

В силу замкнутости множества допустимых альтернатив X справедливо, что infx Xp- x=minx Xp-x, то R->minx Xp-x. Таким образом, существует потребительский набор x~ такой, что u(x~) > u(x-) и p- x~ <R-. Действительно, возьмем xα= αx^ + (1 – α)z (0<α<1), где

z argminx Xp-x. При достаточно больших значениях α в силу непрерывности имеем, что u(xα) > u(x-) и p- xα <R- и в качестве x~ возьмем xα.

Далее, найдется достаточно большое N такое, что при n>N выполнено pn x~ <Rn. Пусть это не так, т.е. существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел

{nk}+k=1∞ , что pnkx~>Rnk k. Тогда, перейдя к пределу, мы получили бы p-x~> R-, что противоречит выбору x~. Для каждого n такого, что pn x~ <Rn в силу оптимальности xn мы должны

иметь u(xn) > u(x~). Так как функция полезности непрерывна, то, переходя к пределу, получаем u(x-) > u(x~). Тем самым мы пришли к противоречию. Это означает, что набор x- оптимален при ценах p- и доходе R-, т.е. x- = x(p-, R-). Таким образом, доказана непрерывность функции спроса x(p, R) по ценам и доходу.

Замечание. В общем случае можно показать, что отображение спроса имеет замкнутый

график, используя, с незначительными изменениями предложенную схему доказательства.35

(4)Доказательство не сложно и оставляется читателю в качестве упражнения.

(5)Пусть x(p, R) – отображение спроса, и закон Вальраса не выполнен, т.е. x^ x(p, R) такой, что px^<R. Тогда по свойству локальной ненасыщаемости в любой окрестности

точки x^ должен существовать набор x~, такой, что x~}x^. Если выбрать достаточно малую окрестность, то x~ будет удовлетворять бюджетному ограничению (px~ < R), что противоречит оптимальности набора x^.

(6) Так как x x(p, R) и x′ B(p, R), то x } x′, аналогично из того, что x′ x(p′, R′) и x B(p′, R′) следует x′ } x. В силу транзитивности отношения } имеем, что x~x′. Откуда по определению функции спроса имеем x x(p′, R′).

*

Поясним содержание данного утверждения. Первые пять пунктов данного утверждения достаточно прозрачны, и являются стандартными свойствами задач математического программирования. В них показано существование решения задачи потребителя и базовые свойства, которым удовлетворяет отображение спроса: однородность, выпуклость, выпол-

35 Подробнее о непрерывности в задачах оптимизации смотри В. Гильденбранд, Ядро и равновесие в боль-

шой экономике, М.: Наука, 1986 (стр. 23-35).

57

58

нение закона Вальраса (в точке оптимума бюджетное ограничение выходит на равенство). Наибольший интерес вызывает свойство под номером 6. Его удобно пояснять в терминах теории выбора, которая подробно будет рассмотрена в дальнейшем. Если в некоторой ситуации потребителю были доступны потребительские наборы x, x′ и был выбран (однозначно36) потребительский набор x, то тем самым, выбор явно указывает, что набор x лучше набора x′. Таким образом, если в какой либо другой ситуации рациональный потребитель выбирает набор x′, то, следовательно, набор x ему не доступен, не удовлетворяет бюджетному ограничению. Данное свойство запрещает ситуацию, когда в двух ситуациях выбора в первой ситуации потребитель своим выбором сигнализирует, что x } x′, и в то же время выбирает x′, когда в другой ситуации ему доступны и x, и x′.

Следующий пример иллюстрирует дополнительные свойства, которым удовлетворяет спрос, порожденный однородной функцией полезности.

Пример 7.

Пусть множество допустимых альтернатив X=ÊK+ и предпочтения потребителя представимы функцией полезности u: ÊK+ →Ê положительно однородной первой степени. Пусть x(p, R) и x(p, 1) – отображения спроса при ценах p и доходах R и 1 соответственно. Покажем, что x(p, R)=Rx(p, 1), то есть спрос однороден первой степени по доходу. Пусть x^x(p, R) а x- x(p, 1). Для данных потребительских наборов справедливо, что Rx- B(p,

R) и Rx^ B(p, 1). В силу того, что x^ – спрос при ценах p и доходе R имеем, что u(x^)>u(Rx-

)=Ru(x-). Аналогично, так как x- – спрос при ценах p и доходе 1 имеем, что u(x-)>u(Rx^)=R1 u(x^). Объединяя эти неравенства, получаем:

u(x^)>Ru(x-)>R(R1 u(x^))=u(x^).

Таким образом, u(x^)=Ru(x-). Набор Rx- допустим при ценах p и доходе R, но u(Rx-) = Ru(x-)=u(x^), где x^ x(p, R). Таким образом, получили Rx(p, 1) x(p, R). Обратное включение показывается аналогично. Тем самым показано, что для случая положительно однородной функции полезности кривые Энгеля представляют собой конусы выходящие из начала координат. В случае же функции спроса кривые Энгеля являются лучами.

Помимо вышеперечисленных, одним из наиболее важных свойств функции спроса, используемых при изучении влияния изменения цен на потребительский выбор является

свойство называемое законом спроса37 при компенсированном изменении дохода по Слуцкому.

Теорема 15. (Закон спроса при компенсированном изменении дохода по Слуцкому)

Пусть выполнены все условия теоремы 14 и, кроме того, система предпочтений обладает свойством локальной ненасыщаемости. Тогда для любых x x(p, R) и x′ x(p′, R′), где R′ = p′x справедливо свойство

(p′ – p)(x′ – x) < 0,

причем это неравенство строгое, если x′ B(p, R).

36Иными словами, мы имеем функцию спроса, а не отображение.

37В русской традиции закон спроса иногда называют свойством монотонности спроса.

58

59

Доказательство:

Рассмотрим выражение (p′ – p)(x′ – x). Раскрыв скобки, и воспользовавшись тем фактом, что при выполнении свойства локальной ненасыщаемости бюджетное ограничение выходит на равенство и определением R′, получим:

(p′ – p)(x′ – x) = p′x′– p′x – px′ + px = px – px′ = R – px′.

В силу того, что R′ = p′x имеем, что x B(p′, R′). Пусть x′ B(p, R), тогда по свойству 6 теоремы 14 имеем, что x′ x(p, R). Откуда в силу свойства локальной ненасыщаемости предпочтений получаем: R = px′, а значит (p′ – p)(x′ – x) = 0. Пусть x′ B(p, R), тогда px′ > R, что означает (p′ – p)(x′ – x) < 0.

*

Данное свойство тесно связано с желаемым свойством спроса – спрос на i-ый товар убывает при росте своей цены. Действительно, пусть цена i-ого товара выросла, тогда приведенное выше неравенство означает, что спрос на i-ый товар не может вырасти. Но, данное свойство выполняется только при условии компенсированного изменения дохода, т.е. при условии, что доход изменился таким образом, чтобы компенсировать рост цены и позволить потребителю покупать прежний потребительский набор. Тем не менее, оно достаточно информативно и может служить полезным инструментом анализа, как показывает, например, следующий пример.

Пример 8.

Рассмотрим экономику с двумя благами. В первый момент времени вектор цен был равен p0=(1, 1), а доход потребителя R0=8. Во второй момент времени цены изменились и стали равны p1= (1, 2), а доход стал равен R1=12. Спрос потребителя в первый момент времени был равен x0=(6, 2). Известно, что данный спрос порожден монотонной положительно однородной первой степени функцией полезности. Попробуем найти все возможные значения, которые может принимать спрос во второй период. В данном примере у нас изменились сразу два параметра: цена второго блага и доход потребителя. Разложим это изменение на два последовательных: 1) изменение цены при компенсированном доходе; 2) изменение дохода. Компенсированный доход, отвечающий изменению цен от (1, 1) до (1, 2) равен 10 (1 6+2 2). В силу закона спроса при компенсированном изменении дохода и в силу локальной ненасыщаемости предпочтений спрос x~=(x~1, x~2) потребителя при таком изменении должен удовлетворять двум условиям:

1) x~1+ 2x~2 = 10; 2) (1 - 1)(x~1 - 6) + (2 - 1)(x~2 - 2) = x~2 – 2 < 0,

или 1) x~1+ 2x~2 = 10; 2) x~2 < 2.

Теперь можно воспользоваться свойством отображения спроса для однородной функции полезности установленным нами в Примере 7. Точнее, мы установили, что в случае если доход потребителя увеличивается в α раз, то и спрос в этом случае также увеличится в α раз. С учетом этого свойства получаем, что спрос во второй период подчинен следующим ограничениям: 1) x~1+ 2x~2 = 12; 2) x~2 < 2,4.

Приведенные рассуждения проиллюстрированы на Рисунке 9.

59

60

8	8		8
	5
(6, 2)	(6, 2)
8	8	10	8	12

Рисунок 9 Оценка спроса при изменении цен и дохода в случае однородной функции полезности.

Выше мы разобрали основные свойства маршаллианского спроса. Теперь остановимся на вопросе непосредственного нахождения этой характеристики поведения потребителя при заданных предпочтениях (функции полезности). Техника нахождения спроса потребителя в значительной степени опирается на теорему Куна-Таккера для задачи выпуклого программирования.

Рассмотрим следующую задачу:

f(x)→maxx g(x)>0; x X Ên,

где f, gi – скалярные функции, заданные на непустом множестве X в Ên. Введя множители Лагранжа λi (i=1,…, m), построим функцию

m

L(x, λ) = f(x)+Û λi gi(x),

i=1

называемую лагранжианом данной задачи максимизации. Для этой задачи справедливо следующее утверждение:

Теорема Куна-Таккера для вогнутых функций (Достаточное условие оптимальности)

Пусть f(x) дифференцируемая вогнутая функция от n-мерного вектора x, а g(x) дифференцируемая вогнутая вектор-функция, обе определенные при x>0. Пусть нашлись такие вектора x^ и λ, что выполнены следующие условия Куна-Таккера:

1)f(x^)+λ g(x^) < 0;

2)x^ ( f(x^)+λ g(x^)) = 0;

3)λg(x^) = 0;

4)λ > 0.

Тогда x^ – оптимальное решение рассматриваемой задачи.

60