2.1. Двухскатная решетчатая балка.

Конструкция двухскатной решетчатой балки представляет собой статически неопределимую систему (мно­гоконтурную раму), усилия в элементах которой вычислены ЭВМ или с помощью таблиц. В задачу проектирования входят расчет сечений основных элементов балки и конструирование арматуры.

Размеры сечений принимаются в соответствии с назначенным типом опалубочной формы при компоновке поперечной рамы по приложению VI

При расчете и конструировании продольной арматуры следует учитывать, что армирование всех элементов балки может быть не симметричным, но постоянного сечения подлине элемента; диаметр стержней сжатой арматуры должен быть не менее 10 мм; диаметр стержней растянутой ненапрягаемой арматуры должен быть не менее 8 мм с учетом заданного класса арматурной стали.

Поперечная арматура диаметром менее 6 мм принят; Вр-1, а диаметром 6 мм и более - класса А-1.

При расчете прочности наклонных сечений элементов поясов балки необходимо обеспечить, чтобы суммарная несущая способ­ность верхнего и нижнего поясов оказалась не менее суммы макси­мальных поперечных сил в этих элементах, т. е. допускается пере­распределение усилий между поясами.

Нормативные и расчетные характеристики легкого бетона клас­са В40, марка по плотности D 1800 на плотном заполнителе, тверде­ющего в условиях тепловой обработки при атмосферном давлении,γ_b2 = 0.9 (для влажности 70 %): Я_bn = R_{b ser} = 29 МПа; R_b = 22 МПа; R_btn = R_{bt, ser} = 2,1 МПа; R_bt = 1,4 МПа; Е_b = 21 000 МПа; R_bp = 25 МПа; R^(p)_{b ser} = 18,5 МПа; R^(p)_{bt, ser} = 1,6 МПа.

Расчетные характеристики ненапрягаемой арматуры: продольной класса A-II, R_s = R_sc = 280 МПа; E_s = 210 000 МПа; поперечной класса Вр-I диаметром 4 мм, R_sw=265 МПа; E_s = 170 000 МПа.

Нормативные и расчетные характеристики напрягаемой арматуры класса Вр-II : R_sn= R_s,ser=1020 МПа; R_S=850 МПа; E_s = 200000 МПа.

Назначаем величину предварительного напряжения арматуры

σ_sp = 900 МПа. Способ натяжения механический на упоры. Проверя­ем условие (I) [2] при р = 0,05 σ_sp = 0,05 • 900 = 45 МПа. :

Так как σ_sp+ р =900+45=945 МПа < R_s,ser = 1020 МПа и

σ_sp — p = 900 — 45 = 855 МПа > 0,3 R_s,ser = 306 МПа, то услови (I) выполняется. Принимаем σ_sp = σ'_sp =900 МПа.

2.2. Расчет элементов нижнего пояса балки.

Сечение 12, нормальное • к продольной оси элемента? N = 1107.89 кН, М = 24.74 кН • м.

Расчет прочности выполняем согласно п. 3.50 [4]. Вычисляем эксцентриситет продольной силы е₀ = M/N = 24.74/ 1107.89 = 0,0223 м =22,3 мм. Так как е₀ = 22,3 мм < (h₀ —α^’_p) / 2 = (240 — 20) / 2 == 90мм, то продольная сила приложена между равнодействующими усилий в арматуре S_p и S'_p а эксцентриситеты соответственно равны:

e^’ = е₀ + h / 2 — a'_p = 22,3 + 300 / 2 — 60 = 112,3 мм;

e = —e₀ + h / 2—a_p = —22,3+ 300 / 2 — 60 = 67,7 mm.

По формулам (138) и (139) [4] находим требуемые площади сече­ния напрягаемой арматуры:

Asp = N·е′/[·Rs·(ho-a^‘p)]= 1107.89·10³·112.3/ [1.15·850·(240-60)]= 707.1 мм².

(принимаем 15  8 ВР – II A_sp.fact = 754.5 мм²);

A′sp = N·е/[·Rs·(ho-ap)]= 1107.89·10³·67.7/ [1.15·850·(240-60)]= 426.28 мм².

(принимаем 9  8 BP – II A'_sp.fact = 452.7 мм²); где  = 1,2 (см. п. 3.7 [4J).

Расчет трещиностойкости нижнего пояса балки выполняем на действие усилий от нормативных нагрузок, величины которых пол­учим путем деления расчетных усилий на среднее значение коэффициента надежности по нагрузке γ_fm= 1,250. Для рассмат­риваемого сечения получим: усилия от суммарного действия постоянной и полного значения снеговой нагрузки

N = N / γ_fm = 1107.89 / 1,25 = 886,312 кН,

М = М / γ_fm = 24.74 / 1,25 = 19.79 кН • м;

усилия от постоянной и длительной части снеговой нагрузки

N_l = [N_g+(N – N_g)k_l]/γ_fm=[117.79+(1107.89 – 117.79) • 0.5]/1.25=490.27 кН

M_l = [M_g+(M – M_g)k_l] /γ_fm=[16.03+(24.74 – 16.03) • 0.5]/1.25=16.31 кН

где N_g и M_g усилия от постоянной нагрузки, a k_l = 0,5 — коэффи­циент, учитывающий долю длительной составляющей снеговой на­грузки согласно п. 1.7 [7].

По табл. 2 [2] нижний пояс балки должен удовлетворять 3-й категории требований по трещиностойкости, т. е. допускается непро­должительное раскрытие трещин шириной 0,4 мм и продолжительное

шириной 0,3 мм.

Геометрические характеристики приведенного сечения опреде­ляем по формулам (11) — (13) [4] и (168) — (175) [5].

Площадь приведенного сечения

А_red =А + α [A_sp + A'_sp] = 200•300 + 9,52 [754,5+452,7] = 71492 мм²,

где α = E_s / Е_b = 200000 / 21000 = 9,52.

Статический момент приведенного сечения относитель­но нижней грани

S_red= bh²/2 + α A_sp a_p + α A'_sp (h — а'_р) =200•300² /2 + 9,55•754.5•60 + 9,52•760 • • (300 – 60)=1046•10⁴ мм³.

Расстояние от нижней грани до центра тяжести приведенного сечения у₀ = S_red / А_red =1042•10⁴ / 71492 = 146 мм.

Момент инерции приведенного сечения

I_red=I+A_sp·y²_sp+αA^’_spy^’2_sp=

=200•300³/12+9.52•754.5•86²+9.52•452.7•94²=5.41•10мм

Момент сопротивления приведенного сечения для нижней гра­ни, наиболее растянутой от внешней нагрузки

Wred = Ired/yo = 5.41•10⁸/146 = 3.705•10 мм³

Упругопластический момент сопротивления по наиболее растяну­той зоне в стадии эксплуатации

Wpl = ·Wred = 1.75·3.705·10 =6.484·10 мм³,

Определим первые потери предварительного напряжения арма­туры по поз. I — 6 табл. 5 [2] для механического способа натяжения арматуры на упоры.

Потери от релаксации напряжений в арматуре:

σ₁=σ^’₁=0.1σ_sp-20=0.1•900-20=70 МПа.

Потери от температурного перепада:

σ₂=σ^’₂=1.25Δt=1.25•65=81.25 МПа.

Потери от деформации анкеров, расположенных у натяжных устройств:

3=^’3 (∆l / l)·Es=(2.45/19000)·200000 = 25.8 МПа,

где ∆l=1,25+0,15d=1.25+0.15·8=2.45 мм и l=18+1=19 м = 19000 мм.

Потери 4 и 5 равны нулю.

Таким образом, усилие обжатия с учетом потерь по поз. I — 5 и эксцентриситет его относительно центра тяжести приведенного сече­ния будут соответственно равны:

P₁=(A_sp+A^’_sp)(σ_sp - σ₁ - σ₂ - ₃)=(754.5+452.7)(900–700–81.25–25.8)=872745 H;

e_0p=( σ_sp1A_spy_sp – σ^’_sp1A^’_spy^’_sp)/P₁=(722.95•754.5•86 –

– 722.95•452.7•94)/(872.7•10³)=18.5 мм

Определим потери от быстронатекающей ползучести бетона, для чего вычисляем напряжения в бетоне на уровне арматур S_f к S'_f: на уровне арматуры S_p(y = y_sp = 86 мм)

на уровне арматуры S'_p (у =y^’_sp=94 мм)

Соответственно потери напряжений при R_bp — 25 МПа будут равны:

на уровне арматуры

S_p—a =0.25+0.025•25 = 0.25+0,025•25 = 0.875 > 0.8 т. е. α= 0.8, поскольку σ_bp/R_bp=13.7/25=0.548 < α= 0.8, то

₆=0,85•40 σ_bp/R_bp=0,85•40•0,548=18,63 МПа

на уровне арматуры S^’_p — при

σ^’_bp/R_bp=4.71/25=0. 428 < α, то σ^’₆=0.85•40•0. 428=14.55 МПа

Таким образом, первые потери будут равны:

σ_los1=σ₁+σ₂+σ₃+σ₆=70+81.25+25.8+18.63=195.68 МПа

σ^‘_los=σ^’₁+σ^’₂+σ^’₃+σ^’₆=70+81.25+25.8+14.55\=191.6 МПа

соответственно получим напряжения в напрягаемой арматуре

σ_sp1 = σ_sp – σ_los1 = 900 – 195.68 =704.32 МПа;

σ^‘_sp1 = σ^‘_sp – σ^‘_los1=900 – 191.6 = 708.4 МПа;

Определим усилие обжатия с учетом первых потерь и его эксцен­триситет:

P₁=σ_spA_sp+σ^’_spA^’_sp=704.32•754.5+708.4•452.7=852102 H =852.1 kH

e_op1=(σ_sp1A_spy_sp – σ^’_sp1A^’_spy^’_sp)/P₁=

=(704.32•754.5•86 – 708.4•452.7•94)/(852.1•10³)=18.3 мм

Проверим максимальные сжимающие напряжения от действия силы P₁, при у = у₀ = 146 мм.

поскольку σ^’_bp/R_bp =14.37 / 25 = 0,575 < 0,95, то требования табл. 7

[2] удовлетворяются.

Определим вторые потери предварительного напряжения арма­туры по позициям 8 и 9 табл. 5 [2].

Потери от усадки бетона σ₈ = σ^’₈ = 45 МПа.

Напряжения в бетоне от действия силы Р, с эксцентриситетом e_opl на уровнях арматур S_p и S'_p соответственно будут равны:

Потери от ползучести бетона на уровне арматуры S_p при

σ_bp/R_bp =13,36 / 25 = 0,5344 < 0,75 будут равны:

σ₉=150•0,85 σ_bp/R_bp=150•0,85•0,5344=68,14 MПa

То же, для арматуры S'_p при σ^‘_bp/R_bp =10.34 / 25 = 0,4136 < 0,75 получим: σ’₉=150•0.85σ^‘_bp/R_bp=150•0.85•0.1436=52.73 МПа

Таким образом, вторые потери будут равны:

σ_los2 = σ₈ + σ₉ = 45 + 68.14 = 113.14 МПа

σ^’_los2 = σ^’₈ + σ^’₉ = 45 + 52.73 = 97.73 МПа

а полные потери составят

σ_los = σ_los1 + σ_los2 = 195,68 + 113,14 = 308,82 МПа

σ^’_los = σ^’_los1 + σ^’_los2 = 191,6 + 97,73 = 289,33 МПа

Напряжения с учетом всех потерь в арматурах S_p и S'_p будут равны:

σ_sp2 = σ_sp – σ_los = 900 – 308,82 = 591,18 МПа

σ^’_sp2 = σ^’_sp – σ^’_los = 900 – 289,33 = 610,67 МПа

Усилие обжатия с учетом суммарных потерь и его эксцентриси­тет соответственно составят:

P₂= σ_sp2A_sp+σ^’_spA^’_sp=291,18•754,5+610,63•452,7=496,13

e_0p=( σ_sp2A_spy_sp – σ^’_sp2A^’_spy^’_sp)/P₂=(591,18•754.5•86 –

– 610,67•452.7•94)/(496,13•10³)=24,94 мм

Проверку образования трещин выполняем по формулам п. 4.5 [2] для выяснения необходимости расчета по ширине раскрытия трещин. Определим расстояние гот центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от растянутой внеш­ней нагрузкой фа ни. Поскольку

N = 886.31 кН > Р₂ = 496.13 кН, то величину г вычисляем по формуле

Тогда момент усилия предварительного обжатия относительно проходящей через ядровую точку, будет равен

Mrp =P2·(еop2+r)=496.13•10³(24.94+78.2)=51.17•10⁶ Н•мм =51,17 КН•м

и соответственно момент, воспринимаемый сечением при обра­зовании трещин, составит

Mcrc =Rbt,ser·Wpl+Mrp =2,1•6,484•10+51,17•10=64,78·10Н·мм =64,78 кН·м.

Момент внешней продольной силы относительно той же оси

Mr=N(ео+r)=886,13(22,3+78,2)=89,07•106⁶ Нмм =89,07 кН·м

Поскольку М_сrc = 64.78 кН • м < М_r= 89.07 кН • м, то трещины, нормальные к продольной оси, образуются и требуется расчет по раскрытию трещин.

Расчет по раскрытию трещин выполняем в соответствии с требо­ваниями пп. 4.14 и 4.15 [2].

Определим величину равнодействующей продольной силы N_tot и ее эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения:

N_tot = N — P₂ = 886,312 – 496,13 =390,182 кН

e_0tot =(M–P₂e_op2)/N_tot=(19.79•10⁶—496.13•10²•24.94)/(390.182•10³)=47.55 мм

Поскольку e_0tot, = 47.55 мм < 0,8h₀=0.8•240=192мм то приращения напряжений в арматуре σ_s, определяем по формуле (148) [2] при

e_s = у₀ — а_р — е₀ = 146 — 60 — 22,3 = 63,7 мм,

e_sp = у₀ — а_р — е_0p2 =146 — 60 — 24.94 = 61 мм,

z_s = h₀ — a'_p = 240 — 60= 180 мм

Приращение напряжений в арматуре S_p от действия полной нагрузки

То же, от действия длительной нагрузки

Вычисляем ширину раскрытия трещин от непродолжительного действия полной нагрузки по формуле (144) [2]:

a_crc=δφ_eη(σ_s/E_s)20(3.5—100μ)=

=1.2•1•1.4(327.27/200)20(3.5—100•0.019)=0.174

где δ = 1,2; φ_e =1,0; η = 1,0 для арматуры класса BP–II ;

μ=A_sp/bh₀=754.5/200•197.55=0.019 < 0,02, принимаем μ = 0,019;

h ₀ = h / 2 + e_0,tot = 300 / 2 + 47.55 = 197.55 мм (см. п. 4.15 [5]);

d =8 мм — диаметр стрежней продольной арматуры.

Таким образом, ширина непродолжительного раскрытия трещин от действия длительных и кратковременных нагрузок будет равна

A_crc1 = 0.17 мм < [0,4 мм], следовательно, удовлетворяются требования к нижнему растянутому поясу балки по трещиностойкости.

Выполняем расчет прочности наклонного сечения нижнего пояса балки с учетом возможного перераспределения усилий между пояса­ми в панели с расчетными сечениями 1,2 и 9, 10 (см. рис. 2.8). Учитывая возможность перераспределения поперечной силы на верхней сжа­тый пояс балки, определим фактическую несущую способность ниж­него пояса на действие поперечной силы, приняв поперечное армирование по конструктивным соображениям в виде замкнутых двухветвевых хомутов из арматуры диаметром 4 мм класса Вр-1 с шагом s = 200 мм (A_sw = 2 • 12,6 = 25,2 мм² R_sw = 265 МПа,. E_s = 170 000 МПа). Расчет выполняем согласно п. 3.54 [4] с учетом действия продольной растягивающей силы N = 981.32 кН и усилия обжатия от напрягаемой арматуры, расположенной в наиболее растянутой зоне

Р = sp2·Asp = 591.18 • 754.5 = 446.04 • I0³ Н 446.04 кН.

Определим коэффициент ф_в по формуле (149) [4]:

Поскольку | φ_n | = 1.59 > 0,8, принимаем φ_n = —0,8. Вычисляем величины М_b и q_sw.

Mb= b2·(1+n)Rbt·b·h²о=1.75·(1—0.8)·1.4·200·240²=5.64 кH·м

где b2= 1,75 (см. табл. 29 [4] или п. 3.31 [2]);

qsw =Asw·Rsw/S=25.2·260/200=33.4 H/мм.

Находим Qb, min = b3·(1+n)·Rbt·b·ho = 0.4·(1-0.8)·1.4·200·240 = 5.376 кН.

Поскольку (qsw = 33,4 Н / мм > Qb, min / (2h₀) = 5376 / (2·240)= 11,2Н/мм, то значение М_b не корректируем.

Тогда длина проекции наклонной трещины будет равна

со = == 411.1 мм < 2ho = 2·240 = 480 мм, Так как поперечная сила не изменяется по длине элемента, при­нимаем длину проекций наклонного сечения равной длине элемента, т. е. c = 700 мм. При этом с < (φ_b2 / φ_b3)•h₀ = (1,75 / 0,4) 240 = 1050 мм.

Тогда Qb=Mb/c=5.645·10/700=13.73 кН>Qb,min=5.376 кН,

а Qsw=qsw·co= 33.4•411.1= 13.73 кН.

Таким образом, предельная несущая способность нижнего пояса балки в наиболее опасном наклонном сечении будет равна

Q = Qb+Qsw = 8.064+13.73 = 21.79, что меньше максималь­ного значения поперечной силы от нагрузки 29,72 кН. Следовательно, при расчете прочности верхнего пояса балки на действие поперечной силы необходимо учесть дополнительное усилие ∆Q = 47-21.15 = 25.85 кН.