- •1. Понятие множества.
- •2. Способы представления множеств.
- •3. Операции над множествами.
- •4. Разбиения и покрытия.
- •5. Свойства операций над множествами. Доказательства.
- •6. Универсальное множество. Булеан.
- •7. Представление множеств в эвм.
- •8. Реализация операций над подмножествами заданного универсума.
- •9. Генерация всех подмножеств универсума. Алгоритм генерации всех подмножеств данного множества.
- •10. Алгоритм построения бинарного кода Грея.
- •11. Представление множеств упорядоченными списками.
- •12. Алгоритм проверки включения.
- •13. Алгоритм вычисления объединения множеств.
- •14. Алгоритм вычисления пересечения множеств.
- •15. Упорядоченное множество. Прямое произведение множеств.
- •16. Отношения. Композиция отношений.
- •17. Свойства отношений. Доказательство. Представление отношений в эвм.
- •18. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности.
- •19. Отношение порядка. Минимальный элемент.
- •20. Отношение преобладания (доминирования).
- •21. Симметричное отношение. Композиция отношений.
- •22. Функциональное отношение.
- •23. Типы отображений (инъекция, биекция, сюръекция).
- •24. Способы задания функций.
- •25. Функции алгебры логики.
- •26. Задание функций алгебры логики.
- •27. Существенная и несущественная переменные.
- •28. Примеры логических функций.
- •29. Представление булевых функций формулами.
- •30. Представление булевых функций формулами. Примеры.
- •31. Разложение булевых функций по переменным. Теорема.
- •32. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- •33. Эквивалентные преобразования. Доказательство.
- •34. Правила подстановки, замены.
- •35. Некоторые эквивалентные преобразования.
- •36. Приведение дизъюнктивной нормальной формы к совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
- •37. Замкнутые классы. Свойства замыкания.
- •38. Класс функций, сохраняющих значение 0.
- •39. Класс функций, сохраняющих значение 1.
- •40. Принцип двойственности. Класс самодвойственных функций.
- •41. Класс монотонных функций.
- •42. Класс линейных функций.
- •43. Алгебра Жегалкина. Полином Жегалкина.
- •44. Полином Жегалкина. Теорема.
- •45. Полнота.
- •46. Лемма о немонотонных функциях.
- •47. Лемма о нелинейных функциях.
- •48. Функциональная полнота. Первая теорема о функциональной полноте.
- •49. Функциональная полнота. Теорема Поста.
- •50. Логические исчисления.
- •51. Высказывания. Формулы.
- •52. Интерпретация формулы. Теорема.
- •53. Логическое следование и логическая эквивалентность.
- •54. Логические эквивалентности. Доказательство.
- •55. Исчисление высказываний.
- •56. Понятие предиката.
- •57. Понятие квантора. Квантор существования. Квантор всеобщности.
- •58. Исчисление предикатов.
- •59. Аксиомы исчисления предикатов. Правила логического вывода.
- •60. Графы. Типы задач теории графов.
- •61. Графы. Основные определения.
- •62. Способы представления графов.
- •63. Идентификация графов, заданных своими представлениями.
- •64. Обходы графов.
- •65. Степени вершин графа.
- •66. Операции с частями графа.
- •67. Маршруты, цепи, циклы.
- •68. Связные компоненты графа.
- •69. Расстояния в графе.
- •70. Диаметр, радиус, центр графа.
- •71. Произведение графов.
- •72. Прямое произведение графов.
- •73. Эйлеровы циклы.
- •74. Теорема Эйлера.
- •75. Эйлеровы цепи.
- •76. Гамильтоновы циклы.
- •77. Некоторые классы графов и их частей. Дерево и лес.
- •78. Концевые вершины и ребра.
- •82. Цикломатическое число графа.
- •83. Ориентированные графы. Пути и циклы в ориентированном графе.
- •86.Деревья
- •49.Функциональная полнота. Теорема Поста
- •94. Блок-схемы алгоритмов
- •95.Машины Тьюринга. Основные определения.Машина
- •96.Машины Тьюринга.Сложение
- •96.Машины Тьюринга.Копирование
- •80.Типы вершин
- •84.Начальные и конечные вершины. Ранги вершин
- •90. Бінарне дерево
- •79. Дерево с корнем. Ветви.
- •81. Центры деревьев. Теорема.
- •85. Отношение достижимости. Базисный граф
- •88.Способы представления деревьев
26. Задание функций алгебры логики.
Булевую функцию n-переменных можно задать таблицей истинности:
х1 |
х2 |
х3 |
f(x1,x2,x3) |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
В левой части таблицы истинности записываются все 2n возможных значений переменных, в правой части зап. значения функций на этих наборах. Наборы, на которых функция принимает значение 1 наз. единичными, а те – на которых 0 – нулевыми.
Обычно наборы переменных располагают в лексикографическом порядке, который совпадает с порядком возрастания наборов, рассматриваемых как двоичные числа.
Число булевых функций от n переменных быстро возрастает с увеличением n.
27. Существенная и несущественная переменные.
Пусть задана булева функция
f(x1,x2,…,xi-1,xi,xi+1,…xn).
Будем говорить, что функция f существенно зависит от переменной xi, если:
f(x1,x2,…,xi-1,xi,xi+1,…xn) f(x1,x2,…,xi-1,xi+1,…xn).
Переменная называется существенной, если при ее отсутствии меняется значение функции.
Будем говорить, что функция f не существенно зависит от переменной xi, если:
f(x1,x2,…,xi-1,xi,xi+1,…xn)=f(x1,x2,…,xi-1,1,xi+1,…xn).
В случае если одна из переменных является не существенной, то функция зависит от n-1 переменных и соответственно:
f(x1,x2,…,xi-1,xi,xi+1,…xn)=g(x1,x2,…,xi-1,xi+1,…xn).
Не существенная (фиктивная) переменная может быть удалена.
Аналогично, если добавить не существенную переменную в некоторую функцию, то из функции n-1 переменных можно получить функцию n переменных, которая является результатом добавления не существенной переменной; удаление или добавление фиктивных переменных является эффективным приемом для преобразования функций к одинаковому виду, то есть все функции можно записать в виде функций n переменных.
Например f(x1x2x3)=g(x1x2)
28. Примеры логических функций.
Функции одной переменной:
х |
ноль |
один |
тожд. |
обратн. |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Ф-ция 0 и 1 задает константы, поэтому для них х – несущественная переменная. Тождественная ф-ция возвращает х, а обратная – обратное значение х.
Функции 2-х переменных
Ф-ция |
переменная х |
0 |
0 |
1 |
1 |
переменная х |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
название |
обозначение |
|
|
|
|
ноль |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
конъюнкция |
, , |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
х |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
у |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
сложение по модулю 2 |
+, , |
0 |
1 |
1 |
0 |
дизъюнкция |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
стрелка Пирса |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
эквивалентность |
, |
1 |
0 |
0 |
1 |
не у |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
не х |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
имплекация |
, , |
1 |
1 |
0 |
1 |
штрих Шеффера |
| |
1 |
1 |
1 |
0 |
один |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |