5 Неупорядоченные выборки (сочетания). Сочетания с повторениями, сочетания без повторений.

Сочетания без повторений — комбинаторныесоединения из n элементов по m, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга только составом.

 

формула для нахождения количества сочетаний без повторений:

 

Сочетания с повторениями — комбинаторныесоединения из n элементов по m, составленные из этих элементов без учета порядка с возможностью многократного повторения предметов.

 

формула для нахождения количества сочетаний с повторениями:

6 Случайное событие. Виды событий. Полная система событий. Примеры

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Пусть  есть вероятностное пространство. Любое разбиение множества  элементами сигма-алгебры называется полной группой событий.

Примеры: 1.Случайный эксперимент состоит в бросании игральной кости: пример случайного события — выпавшее число чётно; события «Выпала единица», «Выпала двойка» и т. д. — элементарные исходы эксперимента; совокупность всех событий «Выпала 1»..«Выпала 6» — полная группа событий.

2.Предположим, проводится подбрасывание монеты. В результате этого эксперимента обязательно произойдет одно из следующих событий:

: монета упадет орлом;

: монета упадет решкой;

: монета упадет на ребро;

: монета зависнет в воздухе.

Таким образом, система  является полной группой событий

.

7 Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло Пусть фиксированное вероятностное пространство. Пусть  суть два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события A при условии события B называется Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Также можно записать:

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.

 Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события. Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий A_i, а q_i – вероятность противоположных событий .

            Пример.  Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.

            Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А, появление хотя бы одной червонной карты – событие В. Таким образом нам надо определить вероятность события С = А + В.

            Кроме того, события А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого.

            Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.

При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной ни бубновой карты равна , при вытаскивании второй карты - , третьей - , четвертой .Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна .

8.Несовместные и совместные события. Примеры. Теорема сложения вероятностей несовместных событий и совместных событий.

Два несовместных событий, из которых одно обязательно произойдет, называются противоположными.  Пример: сдача и не сдача экзамена по математики. Противоположные события обозначаются а и а отрицание. Несколько несовместных событий образуют полную группу если в результате опыта одно из них обязательно происходит. Пример: при бросании игральной кости 6 событий образуют полную группу. Действия над событиями: 1. Суммой нескольких событий называются события состоявшие в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания  2. 2. Если события а и в совместны то сума а +в означает что наступает события а, или события в или оба события вместе. 3. если события несовместны то события а+в заключается в том что должны наступить а или в тогда + заменяется словом или.  Два события называются совместными если они могут происходить одновременно.  События называются не совместными если они не могут появиться в результате одного опята. Теорема1: Вероятность появления одного их двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(а+в)= P(а)+ Р (в) _ _ Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. P(а+а)= P(а)+ Р (а) Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятности этих событий. P(а+а2+….+Аn)= P(а1)+ Р (а2) + Р (Аn)  9. Классическое определение вероятности событий. Свойства вероятностной меры. Формула, примеры.  Классическое определение вероятности события А – называется отношение числа благоприятствующих событию равновозможных исходов (n) к числу всех равновозможных исходов. Р (А) = m \n Пример: В коробке находиться 5 красных , 6 синих, и 4 черных карандаша. Какова вероятность того, что на удач взятый карандаш окажется цветным. Задача: События А – цветной карандаш.m= 11 n=15 Р(А)= 11\15 Свойства вероятностной меры: 0≤Р(А)≤ 1 Р (а)= 0- невозможное события. Р (а)= 1- достоверное событие Р (а)= 1- Р(а)вероятность противоположного события. 10. Вероятность суммы совместных событий. Формула полной вероятностию.Формула Байеса.