11.Противоположенные события. Вероятность противоположенных событий. Вероятность появления хотя бы одного события

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

12. Повторные испытания. Формула Бернулли.  1.Производиться серия n независимых испытаний.  2.У каждого испытания 2 исхода. а –успех, а отрицание- не успех. 3.Веероятность успеха в каждом испытании одинакова и равна Р(А) = р, вероятность не успеха так же не меняется от опыта к опыту и равна q. Р = 1-q. Вероятность Рn (k)наступления равно к успеху в n независимых повторениях одного и того же испытания находится по формуле. Рn (k) = С kn* рk* qn-k - формула Бернулли. Где р- вероятность успеха, q=1-р- вероятность неуспеха в отдельном опыте. 13. Локальная и интегральная формула Муавра- Лапласа в схеме Бернулли. Формула Бернулли становиться трудно применимой при больших значениях n. Это связано с вычислением числа сочетания Cnk Существует практически удобный способ вычисление вероятностей Рn (k) приближенный но достаточно точный при больших значениях n.  Теорема Лапласа. Вероятность появления события А равно к раз при n независимых опятах вычисляется по локальной теореме Лапласа, если n>10 р>0,1 при >9 которая имеет вид: Рn (k)= 1\ √npq γ(x) где x = k-np\√npq. Во многих задачах требуются вычислить Рn(к1к2)того что в серии из n испытаний события А произойдет не менее к1 и не более к2 раз. Вычисление этой вероятности с помощью формулы Бернулли при больших n весьма затруднительно. Удобный приближенный способ вычисления вероятностей Рn(к1к2) в схеме Бернулли дает интегральная теорема Лапласа. Рn(m1,m2) = γ (х1) - γ(х2) х1=м1- np\√npq., х2 = м2- np\√npq. Интегральная функция Лапласа нечетная, т.е. γ(-х) = - γ(х). 14. Дискретная случайная величина. Распределение ДСВ. Графическое представление распределения. Случайной величиной называется величина которая в результате опята может принять то или иное значение, при чем заранее неизвестно какое именно. Случайная величина обозначается заглавными латинскими буквами, а их возможное значение малыми буквами.  Величина Х называется дискретной случайной величиной если она принимает конечное или счетное число значений. Множество его значений называется конечная или бесконечная последовательность чисел х1,х2….хn. если какое то событие х принимает значение хi то пишут Р(х=хi)=рi Всякое соотношения устанавливающая связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называются законом распределения случайной величины. Закон распределения может быть записан в виде таблицы которая называется рядом распределения случайной величины. Для наглядности ряд распределения изображают графиком. График называют многоугольником распределения или полигон. 15. Математическое ожидания дискретной случайной величины его свойства. Математическое ожидание (М(х))-это число равен сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений М(х)= Еni=1хi pi Свойства математического ожидания: Математическое ожидание от постоянной величины равна С. М(С)=С от содержит 2-х случай. Математическое ожидание находится величин равно сумме математического ожиданий М(x+y) = М(x) + М(y) М(с* x)= СМ (х) Математическое ожидание биноминального распределения равна М(х)= пр.  М(x*y) = М(x) * М(y).  16. Дисперсия дискретной СВ, среднеквадратическое отклонения. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отношения случайной величины от ее математического ожидания Д(х)=М(х-М(х))в квадрате. Для расчета будем пользоваться формулой: Д(х)=М(х)2-М2(х). Дисперсия СВ характеризует степени разброса, рассеивания. Случайная величина относительно ее математического ожидания.( среднего значения) слово дисперсия означает- рассеивание. Сигма (х)- средне квадратическое распределение. σ (х)= √Д(х). Свойства дисперсии: Д(С)=0 Д(х+-y)=Д(х)+Д(y) Д(С*х)= С2 Д(х)

17. Геометрическое распределение ДСВ. Характеристики геометрического распределения. Геометрическое распределение представляет распределение случайной величины Х- число независимых экспериментов которые нужно выполнить до первого появления события А. Xi 1 2 3 ….. n  pi р q*p q2*p ….. q n-1*p Математическое ожидание по формуле М(х)= 1\р. Дисперсия Д(х)= q\p2

18. Биноминальное распределение ДСВ . Характеристики геометрического распределения. Рассмотрим СВ Х- число появления событий А в серии из n независимых опытов в каждом из которых А наступает с вероятностью Р. СВ х может очевидно принимает одно из следующих значений:0,1,2,3,4,…..к1,…..n.  Вероятность события состоящее в том что случайная величина х примет значение, равное к определения как мы знаем, формулой Бернулии. Р n (k) = C kn pk n-k где q=1-p Такое распределение СВ называется биноминальным распределением или распределением Бернулли. Распределение Бернулли полностью задается двумя параметрами: числом n всех опытов вероятность. Р с которой события происходит в каждом отдельном опыте. Xi 0 1 2 n pi qn C1npqn-1 C2np2qn-2 pn 19. Гипергеометрическое распределение ДСВ. Характеристики геометрического распределения. Полученный с помощью формулы закон распределения Р(х) = С mn С n-m N-M\C nN называется гипергеометрией. Xi 0 1 … m pi С0m *C n-0 N -M\CnN С1m *C n-1 N -M\CnN ….... СmM *C n-M N -M\CnN 20. Закон больших чисел. Теорема Чебышева и Бернулли. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим.  Закон больших чисел в формуле Бернулли означает что чистота k\n является состоятельной оценкой для вероятности р.  Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых случайных величин Х1, Х2, Х3, ..., Хn, дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа e справедливо неравенство  Р= En i=1 xi\n = E n i=1 * M(xi)\n Теорема Бернулли: Если вероятность события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом п для произвольного e >0 справедливо неравенство Р = m\n –p <E

21. Непрерывная случайная величина. Функции распределения НСВ, ее свойства. Непрерывной случайной величиной называется СВ возможное значение которой непрерывно заполняет какой то промежуток. В общем случае СВ задается функцией –распределения. Выражающий вероятность того, что СВ Х примет значения F(x)= P(x<x) Свойства функции определения  1. Lim x→∞ F (x) =0 2. Lim x→∞ F(x) =1 3. F (x) – неубывающая. Непрерывная СВ обычно характеризуют плотностью распределения Функцию и плотность связывает формула f(x) = F ´(x) Следовательно, функцию можно записать так F(x) = S x-∞ f(x) dx/ Плотность распределение обладает следующими свойствами 1. f(x) ≥0 2. S ∞ -∞ f(x) dx =1  Вероятность того что непрерывная СВ попадает на участок α до β и вычисляеться по формуле Р (α ≤ х≤ β) = F (β) – F (α) Числовые характерестики непрерывной СВ. Математическое ожидание непрерывной СВ – не собственный интеграл вычисляеться по формуле: М(х) = S ∞ -∞ х f(x) dx. Дисперсия непрерывной СВ называеться не собственной интеграл вида Д(х) . σ 2 = S ∞ -∞ (х-М(х))2 f(x)dx/ σ (х)= √Д(х). 22. Интегральная функция распределения НСВ. ЕЕ свойства, связь с функцией плотности.  Непрерывной случайной величиной х – называется равномерной если на интеграле (α β) его плотность распределения принимает постоянное значения f(x)- const f(x)= 0, X< α, X > β F(x) = 0, x< α  1\ β- α α≤x ≤β x- α \ β- α α≤x ≤β  плотность 1 x> β функция распределения. Математическое ожидание данного распределения вычисляется по формуле М(х)= α +β\2  Вероятность того, что случайная величина попадает в интервал Р(α1≤x ≤β1 )= x- α \ β- α  23. Геометрическое определение вероятности событий. Примеры.  А = m\N P(A) = S(A) \ S (Ω) –формула. S(L)=0;P(L) = 0\ S (Ω)=0- общая формула. Если предположить что попадание в любую точку области Ω равновозможное, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равно отношению площадей Р(А)= S(A) \ S (Ω). Если А имеет нулевую площадь то вероятность попадания в А равна нулю. Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой Р(А)=V(A)\V(Ω); Р (А)= L(A)\ L(Ω) 24. Равномерно распределенная непрерывная случайная величина. Плотность, функция распределения. Основные характеристики.  Непрерывная случайная величина x , принимающая значения на отрезке [a, b], распределена равномерно на [a, b], если ее плотность распределения px (x) и функция распределения Fx (x ) .Определена для непрерывных распределений. Представляет собой производную от функции распределения Случайная величина называется распределенной с параметрами если соответствующая нормированная случайная величина. F(x)= 1 \ √2 П σ e – (x-τ) 2\ 2 σ2 Функция распределения имеет вид: F(x) = 1 \ √2 П σ S x -1 \ √2 П σ Sx -∞ e -(x-τ) 2\ 2 σ2 du Формулы плотности и функции распредления имеет вид: φ(x)=1/√2Пe-⅓x2 F(x) = 1/√2П S x -∞ -⅓ u e du.

25. Показательное распределение НСВ. Функция распределения, основные характеристики.  Так (при λ>0) называеться абсолютной непрерывное распределение с плотностью вероятности  f(x)= λ e – λx при х>0 0 при х<0 Соотвестветствующая функция распределения записываеться в виде F(x)= 1- e – λx при х>0 0 при х≤0 1 F(x) λ f(x) x 0 x Графиком функции f(X) иF(x) показательным распределением часто характеризуется срок службы той или иной технической системы до отказа( выхода из строя) что обуславливает широкое применение этого распределение в теории надежности.  Запись ξ~E(λ) означает что случайная величина ξ распределена по показательному закону с параметром λ .Для такой случайной величины: М ξ = 1\ λ . D ξ = 1 \λ2

26. Нормальное распределение НСВ. Кривая Гаусса и ее свойства. Графиком данного распределения является кривая Гаусса. Нормальное распределение СВ с дисперсией σ2 практически не отклонятется от своего среднего значения больше чем на 3 σ. Если метематическое ожидание а=0, а σ = 1 то распределение являеться нормированным . Вероятность того что СВ распределенная непрерывно принимает значения в промежутке от α до β Р( α≤x≤β) ищется по формуле: Р( α≤x≤β) = φ(x2)-φ(x1) х2=β-α/σ х1=α-a/σ 27. Математическая статистика: предмет и задачи. Примеры статистических исследований.  В математической статистики разрабатываются теории и методы обработки информации о массовых явлениях. Исходным материалом для всякого статистического исследования является статист. Данные. Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называют сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.  Предмет и метод математической статистики.  Статистическое описание совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по ее общим свойствам, совсем не требующим ее расчленения на отдельные объекты, с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные. С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Например, данные гранулометрического анализа породы (т. е. данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнительную информацию по сравнению с испытанием нерасчлененных образов породы, позволяя в некоторой мере объяснить свойства породы, условия ее образования. 28. Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение выборки. При выборочном исследовании из всех совокупности отбирают некоторым образом определенное число объектов и только их подвергают исследованию. При этом совокупность всех исследуемых объектов называют генеральной совокупностью. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Выборка может проводиться двумя основными способами. При первом объект извлекается из генеральной совокупности в исходную генерал. Совокупи. Таким образом выборку назы.повторной. При втором число объектов способе после исслед.. объекты в генерал. Совокуп. Не возвращаться и выборку в этом случае называют бесповторной. Число объектов выборочной или генерал. Совокуп. Наз. Объемом выборки. Разность между наибольшим значением числовой выборки ее наименьшим значением наз. Размахом выборки. Выборку представляющие собой неубывающую последовательность чисел наз. Вариационным рядом 1,10,-2,1,0,1,1,7. числа n1,n2,nk наз. Частотами, а их отношения к объему выборки т.е. отношения n1\n, n2\n, nk\n- относительными частотами соответствующие значения х1,х2,хn выборки. Последовательность пар (х1,n1) (x2 n2) ….(xk nk)наз. Статистическим рядом. Обычно статистический ряд записывают в виде таблицы:  Х1 х2 х3 ……. Xi xk N1 n2 n3 …….. ni nk В первой строке таблицы записывают значения выборки, во второй их соответствующие частоты.

29.Числовые характеристики выборки. Выборочным математик. Ожиданием или выборочны. средним наз. Среднее арифметическое значения выборки. Х отрицания = х1+х2+…хn\n или х отр. = 1\n Eni=1xi Если выборка задана систематическим рядом или выборочным распределением то формула записывается так: х отр. = n1x1+n2x2+…nkxk\ n или х отр. = 1\n Eni=1nixi Выборочной дисперсией наз. Среднее арифметик. Квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего. S0=(х1-хотр.)2+(X2-x)2+...+(xn x отр)2/nили S0= 1\n En i=1 ( xi – xотр.)2. Тогда формула примет значения S0= ( х 2отр )-( х отр.)2 30. Геометрическое представление выборки: полигон гистограмма.  Полигоном частот называют ломаную с вершинами в точках.  Гистограмма частот- это ступенчатая фигура состоящая из прямоугольников, основаниями которых является частичные промежутки длины h а высотами отрезки длины si\n где si- сумма частот значения выборки попавших в i- промежутках. 31. Понятие интервальной оценки параметров статистического распределения. Ее характеристики.  Приближенное значение параметра а, вычисленное каким либо способом по значениям выборки в статистике называют точечной оценкой этого параметра и обозначают отр. An Точечная оценка отр. An параметра а наз. Несмещенной если математ. Ожидание оценки равно а т.е. если М отр. An = а. В противном случае если М отр. An не рано а оценка наз. Смещенной . Оценка отр. An параметра а наз. Состоятельной если для любого числа ξ>0 lim n→∞P(|An-a|<ξ)=1 Заметим что выборочная дисперсия S0=1/2Eni=l(xi-отр.x)2 является смещенной оценкой для DX. Man=Mk/n=l/nMk=np/n=p. Таким образом доказано что частота k/n является несмещенной оценкой для известной вероятности р.  P(a€(a1;a2))=γ в этом случае числа а1 и а2 наз. Доверительными границами, а интервал (а1 а2) доверительным интегралом соответствующим доверительной вероятности γ. Число γ наз. Так же надежностью оценки.