- •Лекция №1
- •1. Понятие производной функции
- •Геометрическая и механическая интерпретации производной
- •2. Правила дифференцирования
- •Производные основных элементарных функций
- •Дифференцирование сложной функции
- •3. Понятие дифференциала функции
- •4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •5. Частные производные и полный дифференциал
- •6. Понятие неопределенного интеграла, свойства.
- •7. Методы интегрирования
- •8. Понятие определенного интеграла, свойства
- •9. Дифференциальные уравнения
4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Теорема. Если функция дифференцируема в точке x, причем f '(x) 0, то при Δx —> 0 приращение Δy и дифференциал dy функции являются эквивалентными бесконечно малыми.
На этой теореме и основано применение дифференциала к приближенным вычислениям. Известно, что любую из двух эквивалентных бесконечно малых можно приближенно заменить другой. Следовательно,
Δy ≈ dy. (9)
Абсолютная и относительная погрешности этого равенства могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно малом . Структура дифференциала обычно значительно проще структуры приращения функции, в силу чего формула (9) широко применяется в приближенных вычислениях.
5. Частные производные и полный дифференциал
5.1. Частные производные. Пусть (x, у) — произвольная фиксированная точка из области определения z =f(x, у). Рассмотрим предел
.
Этот предел (если он существует) называется частной производной (1-го порядка) данной функции z по переменной x в точке (x, у). Производная обозначается одним из символов: .
Аналогично, .
Частные производные функции z = f(x, у) сами представляют собой некоторые функции переменных x и у.
Таким образом, частная производная функции z = f(x, у) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении у. Аналогично, есть производная функции z = f(x, у) по у в предположении, что x является константой.
Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одному из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными.
5.2. Полный дифференциал. Пусть Р(x, у) — данная точка, а Р'(х+Δх, у+Δу) — близкая точка, отвечающая приращениям аргументов Δх и Δу. Полным приращением функции z = f(x, у) в точке Р называется разность Δz = f(Р') – f(Р) = f(x + Δx, у + Δу) – f(x, у). Если приращение Δz можно представить в виде Δz = АΔх + BΔу + ε, где ε — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с расстоянием ρ = между точками Р и Р' (т.е. ε / ρ —> 0 при ρ —> 0), то функция z = f(x, у) называется дифференцируемой в точке Р, а главная линейная часть ее приращения AΔx + ВΔу = dz называется полным дифференциалом функции в точке Р. Функция, имеющая дифференциал в каждой точке некоторой области D, называется дифференцируемой в этой области.
Если функция дифференцируема, то необходимо, чтобы выполнялись равенства:
A = , B = .
Достаточным условием дифференцируемости является наличие непрерывных частных производных. Так как приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами, т. е. Δx = dx, Δу = dу, то дифференциал функции z = f(x, у) вычисляется по формуле
.
6. Понятие неопределенного интеграла, свойства.
При изучении дифференциального исчисления рассматрива- лась задача нахождения производной или дифференциала по заданной функции у = F(х), т. е. необходимо было найти f(x) = = F'(х) или dF(х) = F'(х)dх = f(х)dх. Можно поставить обратную задачу: восстановить продифференцированную функ- цию, т.е., зная производную f(x) (или дифференциал f(x) dx), найти такую функцию F(х), чтобы F'(х) = f(x). Например, пусть известна скорость перемещения точки υ = υ(t), а надо найти закон ее перемещения S = S' (t), причем S'(t) = υ (t). Эта задача оказывается значительно более трудной, чем задача дифференцирования. Для решения подобных задач вводятся новые понятия и действия.
Определение 1. Дифференцируемая функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на (a, b), если F'(х) = f(x) на (а, b).
Например, для f(x) = х2 первообразная F(х) = x3/3, так как F'(х) = (x3/3)' = х2; для f(x) = соs x первообразной будет F(х) = sin х, потому что F'(х) = (sin x)' = соs x, что совпадает с f(x).
Всегда ли существует первообразная для заданной функции f(x)? Ответ положителен, если эта функция непрерывна на (а,b). Кроме того, первообразных бесчисленное множество и отличаются они друг от друга только постоянным слагаемым. Действительно, sin x + 2, sin x – 2, sin x + с, — все эти функции будут первообразными для соs x (производная от постоянной величины равна 0).
Определение 2. Выражение F(х) + С, где С — произвольная постоянная величина, определяющее множество первообразных для функции f(x), называется неопределенным интегралом и обозначается символом , т.е. = F(х) + С, где знак — знак неопределенного интеграла, f(x) — называется подынтегральной функцией, f(x) dx — подынтегральным выражением, x — переменной интегрирования.
Определение 3. Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется интегрированием этой функции.
Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, его можно проверить дифференцированием, причем дифференцирование однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной. Придавая постоянной величине С конкретные значения С1, С2, Сз, получим различные функции:
y1(х) = F(х) + С1, у2(х) = F(х) + С2, y3(х) = F(х) + С3,
каждая из которых задает на координатной плоскости кривую, называемую интегральной. Все графики интегральных кривых сдвинуты относительно друг друга вдоль оси ОУ. Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых (рис. 4).
Рис. 4
Итак, введены новые понятия (первообразной и неопределенного интеграла) и новое действие (интегрирование), но как все-таки находить первообразную? Чтобы легко было ответить на этот вопрос, надо в первую очередь составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов от основных элементарных функций. Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования. Например, если (sin x)' = соs х, то соs х dх = sin x + С.
Обычно в таблицу включаются и некоторые интегралы, полученные после применения простейших методов интегрирования.
Свойства неопределенных интегралов
Рассмотрим простейшие свойства неопределенного интеграла, которые позволят интегрировать не только основные элементарные функции.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:
Пример 1.
Пример 2.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Пример 3.
-
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
Пример 4.
Формула интегрирования остается справедливой, если переменная интегрирования является функцией: если
, то , где u = φ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Это свойство называется инвариантностью.
Пример 5. , поэтому
, .
Сравнить с .
В интегральном исчислении нет универсального способа интегрирования. Применение различных методов приводит данный интеграл к табличному, который надо узнать с учетом свойства инвариантности. Полезно прочитать табличный интеграл, обращая внимание на то, где находится переменная интегрирования (в показателе степени, в знаменателе, под знаком синуса и т. д.).