- •Лекция №1
- •1. Понятие производной функции
- •Геометрическая и механическая интерпретации производной
- •2. Правила дифференцирования
- •Производные основных элементарных функций
- •Дифференцирование сложной функции
- •3. Понятие дифференциала функции
- •4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •5. Частные производные и полный дифференциал
- •6. Понятие неопределенного интеграла, свойства.
- •7. Методы интегрирования
- •8. Понятие определенного интеграла, свойства
- •9. Дифференциальные уравнения
9. Дифференциальные уравнения
Основные понятия и определения. При решении различных задач математики и физики, биологии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый процесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.
Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным.
Неизвестную функцию обычно обозначают у(х) или просто у, а ее производные — у', у" и т. д.
Возможны и другие обозначения, например: если у = х(t), то х'(t), х"(t) — ее производные, а t — независимая переменная.
Определение. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:
или .
Функции F и f могут не содержать некоторых аргументов, но для того чтобы уравнения были дифференциальными, существенно наличие производной.
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.
Например: х2у' – у = 0, у' + sin х = 0 — уравнения первого порядка, а у" + 2у' + 5у = х — уравнение второго порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает уравнение в тождество после подстановки этой функции и ее производных в уравнение.
При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной. Если операция интегрирования применяется n раз, то очевидно, что в решении будет содержаться n произвольных постоянных.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка определяется выражением
(13)
Уравнение может не содержать в явном виде x и у, но обязательно содержит у'.
Если уравнение можно записать в виде у' =f(x, y),
то получим дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка (13) является множество решений у = f(x, С), где С — произвольная постоянная.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Придавая произвольной постоянной С различные значения, можно получить частные решения. На плоскости ХОУ общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, соответствующих каждому частному решению.
Если задать точку A(x0,у0), через которую должна проходить интегральная кривая, то, как правило, из множества функций у = φ(х, С) можно выделить одну — частное решение.
Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется его решение, не содержащее произвольных постоянных.
Если функция у = φ (х, С) является общим решением, то из условия y0 = φ (х0, С) можно найти постоянную С.
Условие у = у0 при x = x0 называют начальным условием.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (13) , удовлетворяющего начальному условию у = у0 при x = x0, называется задачей Коши.
Всегда ли эта задача имеет решение? Ответ содержится в теореме Коши.
Теорема Коши (теорема существования и единственности решения). Пусть в дифференциальном уравнении у' = f(x, у) функция f(x,у) и ее частная производная fy'(х,у) определены и непрерывны в некоторой области D, содержащей точку A(x0, y0). Тогда в области О существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у = у0 при x = x0.
Теорема Коши утверждает, что при определенных условиях существует единственная интегральная кривая у = f(x), проходящая через точку A(x0, y0). Точки, в которых не выполняются условия теоремы Коши, называются особыми. В этих точках терпит разрыв f(x, у) или . Через особую точку проходит либо несколько интегральных кривых, либо ни одной.
Определение. Если решение (13) найдено в виде, не разрешенном относительно у, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения f(x, у, С) = 0.
Теорема Коши гарантирует только существование решения, а как найти это решение? Оказывается, что единого метода нахождения решения нет.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде y' = f1(x) ∙ f2(y) (14)
Правая часть уравнения (14) представляет собой произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.
Например, уравнение у' = является уравнением с разделяющимися переменными (f1(x) = , f2(y) y), а уравнение х2у'= 2y – x2 нельзя представить в виде (14).
Учитывая, что перепишем (14) в виде .
Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором при дифференциалах стоят функции, зависящие от соответствующей переменной:
Интегрируя почленно, имеем
(15)
где С = С2 – С1 – произвольная постоянная. Выражение (15) представляет собой общий интеграл уравнения (14).
Разделив обе части уравнения (14) на f2(у), мы можем потерять те решения, при которых f2(у) = 0. Действительно, если f2(у) = 0 при у = уо, то у = уо, очевидно, является решением уравнения (14).
Пример 1. Найти решение у' = , удовлетворяющее условию: у = 6 при х = 2 (у(2) = 6).
Решение. Заменим у' на ,тогда . Умножим
обе части на dx, так как при дальнейшем интегрировании нельзя
оставлять dx в знаменателе:
,
а затем, разделив обе части на у (), получим уравнение
,
которое можно проинтегрировать. Интегрируем:
Тогда ; потенцируя, получим у = С(х + 1) — общее решение.
По начальным данным определяем произвольную постоянную, подставив их в общее решение 6 = С(2 + 1) => С = 2.
Окончательно получаем у = 2(х + 1) — частное решение.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если его можно представить в виде
у' = f(y/x).
В частности, уравнение, записанное в виде у' = f(x, у), является однородным, если f(x, у) есть отношение двух однородных многочленов одного измерения.
(Однородными многочленами измерения n называются многочлены, у которых сумма показателей степеней переменных в каждом члене равна n. Например, x4+x3у–Зx2у2+4xу3–у4 — однородный многочлен четвертого измерения.) В однородном уравнении переменные, вообще говоря, не разделяются.
Однако оно легко может быть преобразовано в уравнение с разделяющимися переменными.
Введем новую функцию u = y/x или y = u ∙ x. Отсюда
у' = u'х + u или dy = u dx + x du.
Эта замена сводит однородные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде
y' + p(x)y = q(x) (16)
Здесь у, у' — входят в 1-й степени, р(х), q(х) — неизвестные функции, в частности, они могут быть постоянными величинами.
Если q(x) = 0, то уравнение у' + p(x)y = 0 называется однородным.
Уравнение (16) решается методом Бернулли с помощью специального приема. Представим у в виде произведения двух функций у = u(x) υ(x), где u, υ — неизвестные функции, причем одну из них можно выбрать произвольно.
Итак, если у = u υ , то у' = u' υ + u υ' и, подставляя в (16), получим
u' υ + u υ ' + р(х)u υ = q(x),
u' υ + u(υ' + р(х) υ) = q(х).
Функции u, υ нам неизвестны, определим одну из них, например υ , из условия
υ2 + р(х) υ = 0. (17)
Учитывая это, придем к уравнению
u' υ = q(х). (18)
Найдем υ(x) из (17):
υ ' = - p(x) υ ,
,
Подставим найденное решение в (18):
, ,
Общее решение (16):
Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка
Задача о радиоактивном распаде
Скорость распада Rа (радия) в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада Rа, если известно, что в начальный момент имелось m0 Rа и период полураспада Rа равен 1590 лет.
Решение. Пусть в момент t масса Rа составляет x г. Тогда скорость распада Rа равна
По условию задачи
где k — коэффициент пропорциональности.
Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим
ln x = - kt + lnC,
откуда .
Для определения С используем начальное условие: при t = 0
x = m0.
Тогда С = m0 и, значит, .
Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия: при t= 1590 x = m0 /2.
Имеем m0 /2 = m0е-1590k или е1590k = 2. Отсюда
еk = 21/1590 и искомая формула x(t) = m02-t/1590.
Задача о скорости размножения бактерий
Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от их количества. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 часов?
Решение. Пусть x — количество бактерий в момент t. Тогда согласно условию ,
где k — коэффициент пропорциональности.
Отсюда x = cekt . Из условия известно, что х(при t=0) = 100. Значит,
С = 100, х = 100еkt.
Из дополнительного условия x(при t=3) = 200. Тогда 200 = 100е3k,
2 = е3k, еk = 21/3. Искомая функция:
х = 100 ∙2t/3.
Значит, при t = 9x = 800, т. е. в течение 9 часов количество бактерий увеличилось в 8 раз.
Задача об увеличении количества фермента
В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству х. Первоначальное количество фермента а в течение часа удвоилось. Найти зависимость x(t).
Решение. По условию дифференциальное уравнение процесса имеет вид
,
отсюда х = сеkt .
Но x(при t=0) = a. Значит, С = а, и тогда х = aеkt. Известно также, что х(при t=1) = 2а. Следовательно, 2а = аеk, еk = 2 x(t) = a2t .
Задача. Динамика численности популяции
Рассмотрим колонию организмов, обитающих в условиях неограниченных ресурсов питания. Предположим, что колония не подавляется никаким другим видом. В силу размножения и смертности число живых организмов в колонии будет меняться с течением времени. Найти закон этого изменения.
Решение. Пусть x = x(t) — число живых организмов в момент t,
х (t + Δt) — в момент t + Δt . Тогда Δx = х (t + Δt) – x(t) — приращение функции x(t) за промежуток Δt .
Из чего складывается приращение?
За время Δt взрослые особи (или их часть) произведут потомство, а часть особей может погибнуть. Таким образом,
Δx = G – H,
где G — число развившихся особей за период Δt, H — число погибших особей за это время.
G зависит от длины промежутка Δt (чем больше Δt , тем больше G) и от количества «родителей» (чем больше взрослых особей, тем больше их потомство):
G = Ф(x, Δt ),
где Ф (x, Δt ) растет с ростом x или Δt и равна нулю, если равна нулю одна из переменных.
Из экспериментов известно, что Δt должна входить линейно: если промежуточные наблюдения увеличить, например, в 2 раза, то и прирост потомства микроорганизмов увеличивается в 2 раза, т.е. Ф(х, Δt ) = f (x) Δt .
Характер f(x) определить сложнее. Но известно, что f (x) монотонно возрастает с ростом x и f(0) = 0.
Но каков рост f (x)? Он существенно зависит от биологических особенностей исследуемого вида, и для его описания могут понадобиться те или иные степени ж, рациональная функция и т. п.
Мы рассмотрим простейший случай, когда численность потомства пропорциональна количеству «родителей»: f(x) = αх, α = соnst (например, такой случай реализуется при делении клеток).
Итак, G = αх Δt .
Аналогично, Н = βx Δt .
Следовательно,
Δx = γx Δt, (19)
где γ = β – α .
Разделим обе части равенства (19) на Δt и перейдем к пределу при Δt —» 0:
и, значит,
.
Тогда, после интегрирования и разделения переменных, будем иметь x(t) = Ceγt .
Используем начальное условие: x(t0 ) = x0 (t0 — время начала наблюдения за колонией; x0 — количество организмов).
Тогда искомый закон будет иметь такой вид:
Нужно отметить, что найденный закон носит только предположительный пока характер. Для удвоения количества живых организмов требуется всегда одно и то же время, независимо от первоначального количества (кстати, население Земли удваивается примерно через каждые 40 лет).
Дифференциальные уравнения второго порядка
Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные.
В частных случаях в уравнении могут отсутствовать х, у или у'. Однако уравнение 2-го порядка обязательно должно содержать у". В общем случае дифференциальное уравнение 2-го порядка записывается в виде
F(х,у,у',у") = 0, (20)
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной
у" = f(х,у,у') (21)
Как и в случае уравнения 1-го порядка, для уравнения 2-го порядка могут существовать общее и частное решения.