16. Степени свободы и связи абсолютно твердого тела

Число независимых координат, однозначно определяющих положение тела в пространстве, называется степенью свободы. Ясно, что положение точки в пространстве можно характеризовать тремя прямоугольными координатами . Вместо таких координат можно взять и полярные координаты. Но их будет не более трех. Поэтому говорят, что материальная точка обладает тремя степенями свободы.

Однако не всегда перемещение точки в заданных условиях будет каким угодно. Рассмотрим, например, маленький шарик, привязанный к концу нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен. Если нить натянута, то шарик может перемещаться только по поверхности сферы с центром в точке закрепления. Можно привести и другие примеры, в которых материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности. В таких случаях говорят, что на ее движение наложены связи. Координаты такой точки должны соответствовать соотношению вида , который является уравнением рассматриваемой поверхности. Ввиду этого остаются независимыми только две координаты. Третья координата может быть вычислена из уравнения связи. В этих случаях точка обладает двумя степенями свободы.

Пусть имеется механическая система, состоящая из произвольного числа материальных точек. Если эти точки движутся без всяких ограничений, то для мгновенного определения их положения надо задать координат. Следовательно, система имеет степени свободы. Однако в некоторых случаях свобода перемещения точек ограничена. На координат налагаются дополнительные условия, называемые связями. Обозначим его . Следовательно, данная механическая система имеет степени свободы.

Определим число степеней свободы абсолютно твердого тела. Ясно, что для однозначного определения положения твердого тела достаточно задать положение каких-либо трех его координат А, В, С, не лежащих на одной прямой (рис.7.17).

Рис.7.17

Возьмем четвертую точку D. Расстояния AD, BD и CD для рассматриваемого твердого тела известны. Кроме того, при любых движениях твердого тела точка D все время должна находиться по одну и ту же сторону плоскости треугольника ABC. Чтобы определить положение в пространстве точки D, построим по заданным длинам AC, AD, CD треугольник ADC. Чтобы найти положение точки D, будем вращать треугольник ADC вокруг основания AC, пока вершина D не окажется на заданном расстоянии от третьей точки B. Этому условию соответствуют две точки D и D^ґ. Но вторая точка не отвечает условию задачи, так как она находится не с той стороны от плоскости треугольника ABC. Таким образом, зная положения трех точек А, В, С, можно геометрическим построением найти положение любой другой точки твердого тела.

Положения трех точек А, В, С можно задать их прямоугольными координатами , , . Эти девять координат не свободны, а связаны тремя соотношениями

Независимыми остаются только шесть координат, поскольку длины AB, BC и СA не изменяются. Поэтому твердое тело имеет шесть степеней свободы.

При ограничении свободы движения число степеней свободы твердого тела уменьшается. Например, твердое тело, одна из точек которого неподвижно закреплена, может только вращаться вокруг этой неподвижной точки, и имеет три степени свободы. Твердое тело, которое может только вращаться вокруг закрепленной оси, имеет одну степень свободы. Если же твердое тело может скользить вдоль закрепленной оси и одновременно вращаться вокруг нее, то число степеней свободы становится равным двум.