Виды равновесия

Приведём пример для системы с одной степенью свободы. В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной. Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

• неустойчивое равновесие;

• устойчивое равновесие;

• безразличное равновесие.

Неустойчивое равновесие

В случае, когда вторая производная отрицательна, потенциальная энергия системы находится в состоянии локального максимума. это означает, что положение равновесия неустойчиво. Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему.

Устойчивое равновесие

Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво. Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия. Равновесие устойчиво, если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями.

Безразличное равновесие

Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным. Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении.

• 

Неустойчивое равновесие

 

• 

Устойчивое равновесие

 

• 

Безразличное равновесие

11.

А) Импульс тела.

Б) Импульс силы.

В) Закон сохранения импульса.

Г) Реактивное движение.

Д) Формула Циолковского.

А) Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила  Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует: .

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Б) Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной. В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы.Обозначив импульс тела буквой  второй закон Ньютона можно записать в виде Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила  в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси: F_x Δt = Δp_x;  F_y Δt = Δp_y;  F_z Δt = Δp_z

В) В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. где  и  – импульсы тел в начальный момент времени,  и  – импульсы тел в конце взаимодействия.

Г) Под реактивным понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно тела. При этом возникает т.н. реактивная сила, сообщающая телу ускорение.

В ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью  относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m, а массу ракеты после истечения газов через M. Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия) можно записать: .где V – скорость ракеты после истечения газов.

Д) Величина  есть расход топлива в единицу времени. Величина  называется реактивной силой тяги  Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение 

выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рис. 1.17.3), то в скалярной форме это соотношение принимает вид: Ma = μu

где u – модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу для конечной скорости υ ракеты: 

где  – отношение начальной и конечной масс ракеты. Эта формула называется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов.

12.

А) Механическая работа и мощность.

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы. Работой A, совершаемой постоянной силой  называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы  и перемещения  . A = Fs cos α.!Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительной (0° ≤ α < 90°), так и отрицательной (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж). Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в направлении действия силы. Если к телу приложено несколько сил, то общая работа всех сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами. При поступательном движении тела, когда точки приложения всех сил совершают одинаковое перемещение, общая работа всех сил равна работе равнодействующей приложенных сил. работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность N это физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа:  В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт (Вт). Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с. 

A=F*S(механическая работа) величина показывает - какую силу нужно приложить, чтобы переместить тело на расстояние S

13.

А) Кинетическая и потенциальная энергия тела.

Б) теорема о кинетической энергии.

В) Консервативные силы.

Г) Работа и изменение энергии.

А) Б) В) Г)Работа всех приложенных сил равна работе равнодействующей силы. Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела: . Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его кинетической энергии. . Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии. Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения. Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью  равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:  В физике наряду с кинетической энергией или энергией движения важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел. Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения и определяется только начальным и конечным положениями тела. Такие силы называются консервативными. Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю. Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии. Эта работа равна изменению некоторой физической величины mgh, взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести: E_р = mgh.

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком. A = –(E_р2 – E_р1)..

14.

А) Полная механическая энергия тела.

Б) Закон сохранения энергии в консервативных и в неконсервативных системах.

А) Полная механическая энергия тела не изменяется. Энергия только превращается из одного вида в другой. Полная механическая энергия тела, на которое не действуют силы трения и сопротивления, в процессе его движения остается неизменной. Полной механической энергией тела называют сумму его кинетической и потенциальной энергий. Рассмотрим полную энергию свободно падающего тела в различные моменты времени. Механическая энергия характеризует способность тела совершать механическую работу. Полная механическая энергия тела складывается из кинетической и потенциальной энергии.Это означает, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела ( его полная механическая энергия) в поле консервативных сил есть величина постоянная при всех перемещениях тела в этом поле. Этот результат называют законом сохранения полной механической энергии тела в поле консервативных сил. Таким образом, закон сохранения энергии можно сформулировать в следующей форме: полная механическая энергия системы сохраняется, если выполняются два условия:1) система замкнута (нет внешних сил);2) система консервативна (отсутствуют неконсервативные силы).В отличие от импульса, который сохраняется в любой замкнутой системе, для сохранения энергии необходимо еще отсутствие неконсервативных сил. Откуда возникает это дополнительное условие? Ведь неконсервативные силы, конечно, удовлетворяют III закону Ньютона, и каждой внутренней силе найдется противодействующая. Почему же их работы взаимно не уничтожаются? Связано это с тем, что за равные промежутки времени взаимодействующие точки системы совершают разные перемещения (причем не только по величине, но и по направлению) и работа сил их взаимодействия оказывается отличной от нуля.В качестве примера рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух одинаковых пластилиновых шариков, летящих навстречу друг другу с равными скоростями. Испытав центральный удар, оба они остановятся, и их кинетическая энергия "исчезнет" (разумеется, исчезнет она только из сферы механической, перейдя в энергию внутреннюю). Потеря механической энергии обусловлена здесь действием непотенциальных сил неупругого соударения. Что же касается импульса, то он как был до столкновения равен нулю (векторная сумма!), так и остался нулевым после него, т. е. сохранился.В тех ситуациях, когда характер внешних сил нам известен и среди них есть консервативные (обычно это силы тяжести со стороны Земли, которая не включена в рассматриваемую систему), нет смысла разбивать их на внутренние и внешние. Как следует из нашего рассмотрения, обе эти категории сил совершенно равноправны и существенной оказывается лишь их потенциальность (или непотенциальность). В этом случае, очевидно, изменение полной механической энергии системы равнопросто сумме работ всех неконсервативных сил. При этом, конечно, потенциальная энергия системы определяется из работы не только внутренних, но и внешних консервативных сил.

Б) Консервативные и неконсервативные силы.

В современной физике различают четыре вида взаимодействий:

I. гравитационная, или взаимодействие, обусловленное всемирным тяготением;

II. электромагнитная, которая осуществляется через электрические и магнитные поля;

III. сильная или ядерная, которая обеспечивает связь частиц в атомном ядре;

IV. слабая, которая отвечает за численные процессы распада элементарных частиц.

Мы с вами в рамках классической механики будет иметь дело из гравитационными силами и магнитными силами, а также с упругими силами и силами трения. Два последних вида сил определяются характером взаимодействия между молекулами вещества. Силы взаимодействия между молекулами имеют электромагнитное происхождение. Следовательно, упругие силы и силы трения являются по своей природе электромагнитными.

Силы, которые рассматриваются в физике разделяются на консервативные и неконсервативные. Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным размещением тела в пространстве, называют консервативными, илипотенциальными. К ним принадлежат:

- силы притяжения

- силы упругости

- электростатические силы взаимодействия между заряженными телами.

Силы будут консервативными при условии когда в системе нет перехода механического движения в другие формы движения материи, или превращения других форм движения в механический.

Силы, что не принадлежат к консервативным, называют неконсервативными:

- силы трения, которые возникают при скольжении одного тела по поверхности другого

- силы сопротивления, которых испытывает тело, двигаясь в жидкой или газообразной среде.

Эти силы зависят не только от формы тел, но и от их скорости. Они направлены всегда против направления скорости, потому работа сил трения всегда отрицательна.

Гравитационные и электромагнитные силы являются фундаментальными - их нельзя возвести к другим, более простых сил. Упругие силы и силы трения не являются фундаментальными. Законы фундаментальных сил достаточно простые. Убедиться в этом можно из примера.

Вспомним определение силы - это мера внешнего действия на тело, которое возникает в процессе его взаимодействия с другим телом. Это физическая величина введена для характеристики передаваемости движению от одного тела к другому, следовательно, изменения движения взаимодействующих тел. Силу нельзя рассматривать оторвано от материи и ее движения.

Если под действием нескольких сил тело хранит свое состояние спокойствия, или равномерного прямолинейного движения, то такую систему действующих сил будем называть уравновешенной, или эквивалентной нулю.

Результаты действия силы в разных практических примерах более легко объяснить, если различать вслед за Ньютоном статичные и динамические проявления силы. Поэтому различают статичный и динамический способы измерения силы.

Результатами статичного проявления силы является давление на тела, которые препятствуют движению, и их деформация. Понятно, что сила, которая оказывается статично, всегда вызывает равную ей по величине и противоположную за направлением реакцию опоры - силу упругой деформации. Результатом динамического проявления силы являются ускорения - тангенциальное или нормальное. В таком случае силу можно определить по второму закону Ньютона. Но почти везде силы обнаруживают частичного как статичные, так и динамические проявления.

Следовательно, к консервативным силам относят силы притяжения, силы упругости и силы электростатического взаимодействия; кнеконсервативным соответственно - силы трения и силы сопротивления.

Для механической энергии закон сохранения звучит так:полная механическая энергия консервативной системы материальных точек остаётся постоянной.         Для замкнутой системы, т.е. для системы, на которую не действуют внешние силы, можно записать:

.

(5.4.2)

т.е. полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.  Если в замкнутой системе действуют неконсервативные силы, то полная механическая энергия системы не сохраняется – частично она переходит в другие виды энергии, неконсервативные.

15.

А) Механические колебания. Примеры.

Б)Уравнения гармонических колебаний. Характеристики колебательного движения.Скорость и ускорение колеблющейся точки.

А) Механические колебания – это повторяющееся движение, при котором тело

 многократно проходит одно и то же положение в пространстве. Различают

 периодические и непериодические колебания. Периодическими называют

колебания, при которых координата и другие характеристики тела описываются

периодическими функциями времени.

Примерами механических колебаний могут служить движение шара на пружине,

на нити, движение ножек звучащего камертона или молекул воздуха вблизи

 него (рис. 1). В физике рассматривают и другие колебания – процессы, обладающие

той или иной степенью повторяемости во времени (например, электромагнитные

колебания.)

 

Колебания можно классифицировать по условиям возникновения (свободные,

 вынужденные, автоколебания) и по характеру изменения во времени кинематических

 характеристик (пилообразные, гармонические, затухающие).

Классификация колебаний :

Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; Другие примеры - детские качели, растянутая и отпущенная пружина, движение шарика на резинке, дрожание ножек камертона, качка корабля или льдины на волнах, звук, вибрация.