4.2. Проверка статистических гипотез

Гипотеза о равенстве дисперсий

Исследуются результаты обработки деталей на двух станках Предполагается, что точность обработки одинакова, т.е., что дис­персии равны. Для проверки этой гипотезы проведены замеры 22 деталей на первом станке и 24 деталей на втором. Результаты представлены в первых трех столбцах на рис. Л11

Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий выберите Сервис / Анализ данных / Двухвыборочный F-тест. Введите в каче­стве значений переменной 1 результаты измерений на первом станке, переменной 2 - на втором; уровень значимости 0 05.

В полученной таблице с результатами, показанными на рис ЛИ справа, приводятся средние значения, дисперсии, количе­ство наблюдений и степени свободы для каждой выборки значе­ние статистики Фишера (определяется как отношение диспер­сии) и критическое значение (квантиль распределения Фишера) на заданном уровне значимости. Гипотеза о равенстве дисперсий принимается, если выборочное значение статистики Фишера по­пало в область принятия решения; в противном случае гипотеза отклоняется.

Гипотеза о равенстве средних

Проверка этой гипотезы проводится по-разному в зависи­мости от того, принята или отклонена гипотеза о значимости дисперсии: используются двухвыборочные /-тесты с одинако­выми или неодинаковыми дисперсиями.

Проверьте гипотезу о равенстве средних для рассмотренного примера (Сервис / Анализ данных / Двухвыборочный t-тест с одинаковыми (или неодинаковыми) дисперсиями). Введите дан­ные по аналогии с двухвыборочным F-тестом.

Результаты замеров			Двухвыборочный F-тест для дисперсии
№ п/п	Станок 1	Станок 2		Станок 1	Станок 2
1	12,05	12,36
2	12,08	12,45	Среднее	12,249	12,449
3	12,33	12,48	Дисперсия	0,04476	0,01712
4	12,34	12,56	Наблюдения	22	24
5	12,75	12,63	df	21	23
6	12,32	12,25	F	2,6136
7	12,12	12,54	одностороннее	0,0136
8	12,05	12,35	Fкритическое одностороннее	2,0356
9	12,08	12,54
10	12,33	12,33
11	12,08	12,85
12	12,75	12,42
13	12,05	12,47
14	12,08	12,41
15	12,33	12,34'
16	12,05	12,51
17	12,08	12,45
18	12,31	12,24
19	12,34	12,55
20	12,42	12,32
21	12,42	12,44
22	12,12	12,41
23		12,38
24		12,51

Рис. K11. Данные и результаты расчета

В таблице с результатами расчета приводятся статистика Стью-дента и критические значения для одностороннего и двухсторон­него критериев. Гипотеза о равенстве средних принимается если выборочное значение статистики Стьюдента попало в область принятия решения, в противном случае гипотеза отклоняется

Сделайте вывод по полученным результатам как для одно­стороннего, так и двухстороннего критериев.

Гипотеза о виде распределения

Смоделируйте нормально распределенную совокупность из 1000 элементов с средним значением 12 и стандартным откло­нением 0,25. Сделайте случайную выборку 200 элементов из этой совокупности. Используя критерий хи-квадрат, проверим, дей­ствительно ли выборка сделана из нормально распределённой генеральной совокупности. В качестве точечных оценок мате­матического ожидания и дисперсии примите соответствующие выборочные характеристики. Найдите их, используя инструмент Описательная статистика пакета Анализ данных.

С помощью инструмента Гистограмма найдите опытные час­тоты n_i. При использовании критерия хи-квадрат количество опытных значений в каждом интервале дол­жно быть не менее пяти. Если в каком-то интервале их меньше то интервалы объединяют. Например, если в промежутке от 4 до 6 оказалось три значения, а в промежутке от 6 до 8 - четыре то вводится новый интервал от 4 до 8 с семью значениями. С учетом этого перестройте таблицу частот вручную. На рис. Л12 в колон­ках «Карман» - «Частота» показаны данные, полученные автома­тически, в колонках «Границы» - «Опытные частоты» данные пересчитаны частично вручную.

Расчетные частоты n_Pi в формуле (2.15) вычисляются через вероятности попадания нормально распределенной величины в соответствующий интервал:

где функция стандартного нормального распределения Ф(.) вычисляется с помощью встроенной статистической функции НОРМРАСП(x, среднее значение т). Аргументы этой функции (рис. Л13): х - грани­ца интервала, вводится адрес соответствующей ячейки- т

F	G	Я	/	J	К	L	М
№ п/п	Карман	Частота	Гра­ницы	Опыт­ные частоты	НОРМ РАСП	Вероят­ности	Расчет­ные частоты
1	11,350	1	11,350
2	11,446	0	11,639	17	0,0972	0,0972	19,45
3	11,543	3	11,736	18	0,1788	0,0815	16,31
4	11,637	13	11,832	33	0,2938	0,1149	22,99
5	11,736	18	11,929	28	0,4345	0,1407	28,14
6	11,832	33	12,025	18	0,5842	0,1496	29,93
7	11,929	28	12,122	29	0,7224	0,1382	27,64
8	12,025	18	12,218	26	0,8333	0,1109	22,18
9	12,122	29	12,315	11	0,9107	0,0773	15,46
10	12,218	26	12,412	10	0,9575	0,0468	9,362
11	12,315	11	12,508	5	0,9821	0,0246	4,923
12	12,412	10	12,701	5	0,9978	0,0157	3,141
13	12,508	5
14	12,605	2				ХИ2ТЕСТ	0,238
15	Еще	3				ХИ20БР	15,5

Рис. Л12. Расчет критерия хи-квадрат

Рис. Л13. Функция НОРМРАСП

Для вычисления статистики хи-квадрат по формуле (3.66) в Excel встроена функция ХИ2ТЕСТ(фактический интервал, ожи­даемый интервал). В качестве фактического интервала вводятся опытные частоты, в качестве ожидаемого — расчетные (рис. Л14).

Рис. Л14. Функция ХИ2ТЕСТ

Граница критической области — квантиль распределения хи-квадрат может быть найдена с помощью встроенной функции ХИ20БР(вероятность, степени свободы). Аргумент вероятность — это уровень значимости (ос = 0,05), а степени свободы к - / — 1 определяются как количество интервалов (на рис. Л12£=11)за вычетом количества оцениваемых параметров (здесь — два: т и а) минус единица.

Гипотеза о нормальности распределения принимается, если выборочное значение статистики ХИ2ТЕСТ окажется меньше критического ХИ20БР.

Подобным образом может быть проверена гипотеза о виде любого распределения.

Дисперсионный анализ

В дисперсионном анализе исследуется влияние одного или нескольких качественных факторов на количественный резуль­тативный признак. Например, требуется оценить влияние ква­лификации наладчиков (фактор А) на рассеяние диаметров ша­риков. Замеры отклонения диаметра от номинала для каждого из пяти наладчиков проводились по 6 раз (табл. Л1):

Таблица Л1

№ п/п	А\	А2	A3	А4	AS
1	1,2	0,6	0,9	1,7	1
2	1,1	1,1	0,6	1,4	1,4
3	1	0,8	0,8	1,3	1,1
4	1,3	0,7	1	1,6	0,9
5	1,1	0,7	1	1,2	1,2
6	0,8	0,9	1,1	1,3	1,5

Проверяется нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий отклонения для всех пяти наладчиков, т.е. предпола­гается, что квалификация наладчика не влияет на точность из­готовления шариков.

Для проведения анализа воспользуйтесь инструментом Однофакторный дисперсионный анализ пакета Анализ данных. В качестве исходных данных введите таблицу замеров. Выводятся две таблицы. В первой таблице приводятся статистические ха­рактеристики для каждого наладчика, во второй (ANOVA) — результаты анализа, в частности, значение статистики Фишера (F) и граница критической области (F критическое). Если выбо­рочное значение статистики оказалось меньше критического, гипотеза об отсутствии влияния квалификации наладчиков при­нимается.

Самостоятельно проведите дисперсионный анализ влияния технологии чистовой обработки на точность изготовления дета­лей по примеру 6.3.

В пакете анализа имеются и инструменты для проведения двухфакторного дисперсионного анализа.