- •Матрицы
- •А лгебра матриц
- •Вычисление обратной матрицы
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных уравнений
- •Аналитическая геометрия
- •5 Видов уравнения на плоскости прямой.
- •Второй замечательный предел
- •Предел функции непрерывного аргумента
- •Первый замечательный предел
- •Непрерывность
- •Теорема о достаточном условии выпуклости функции
- •Теорема о необходимых условиях перегиба Теорема о достаточном условии точек перегиба
Второй замечательный предел
X n Xn3
Предел функции непрерывного аргумента
y=f(x) X
a,b
Первый замечательный предел
В торая форма второго замечательного предела
Третий замечательный предел
Т ретья форма второго замечательного предела
П римеры:
Теоремы о пределах.
Лемма о вложенных промежутках.
Xn
XnYn n
Y n
Yn-Xn0 -бесконечно малая величина
Доказательство:
Лемма Больцано-Вейштрасса
Д ля всякой ограниченной поверхности можно выделить сходящую последовательность
Xn1 Xn2 Xnk
a- нижняя граница;b- верхняя граница
н а км шаге мы имеем ak и bk.
Критерии Коши
(необходимое и достаточное условие сходимости)
Из условия Коши вытекает условие сходимости.
Условие Коши (А)
Определение сходимости (В)
BA
AB
Р аздвинем границы так чтобы Xn M
m =nk
Непрерывность
( )
П риращение аргумента
П риращение функции
н епрерывна в точке Х0
Этапы проверки непрерывности:
Классификация точек разрыва
Если в некоторой точке Х0 выполняются первые 2 условия непрерывности (4), но не выполняется какое-то из последних двух, то точка Х0 называется точкой разрыва 1-го рода (точка устранимого разрыва).
Если же в точке Х0 не выполняется какое-то из первых двух условий, то она называется точкой разрыва 2-го рода (точкой неустранимого разрыва).
Первая теорема Больцано-Коши
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке ab и на концах отрезка принимает значения разных знаков.
Тогда находится такая точка С из интервала (a,b), что f(C)=0
Доказательство:
Вторая теорема Больцано-Коши
Первая теорема Вейерштрасса
Функция непрерывная на замкнутом промежутке ограничена
Д оказательство: (от противного)
F(x) неограничена n такое Xna,bf(Xn)n
По лемме Больцано-Вейерштрасса XnkX0
Вторая теорема Вейерштрасса
Если функция f(x)- непрерывна на отрезке a,b, то она достигает на этом отрезке своей точкой верхней и нижней границы.
Доказательство:
Производная
Производной функции в точке называется предел отношений приращения функции к приращению аргумента.
Геометрический смысл:
Геометрическая производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке Х.
Производная выражает скорость изменения функции.
Пример:
Теорема
Теорема о производных сложной функции
Доказательство:
Теорема о производной обратной функции
Чтобы найти производную обратной функции достаточно найти обратную величину производной прямой функции и подставить туда значение y=yx
Дифференциал
Г еометрический дифференциал функции в точке Х на промежутке Х есть приращение ординаты касательной на этом промежутке.
Производная высших порядков
Формула Тейлора
Производная параметрически заданная и неявная
Чтобы найти производную неявной заданной функции нужно продифференцировать и левую и правую часть от f(x,y)=0, считая, что y=y(x) и из полученного уравнения выразить y.
Теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ролля
Y
X
a b
Доказательство по теореме Вейерштрасса:
Теорема Лагранжа
Доказательство:
Т еорема Коши
Доказательство:
Правило Лопиталя
Доказательство формулы Тейлора
Общая схема исследования функций
Элементарное
Область определения
Симметричность и периодичность
а) четность f(-x)=f(x)
б) нечетность f(-x)=-f(x)
в) не четная; не нечетная
г) периодичность Т0:f(x+T)=f(x)x
Если функция является суперпозицией непериодических, то она непериодическая.
Предельные значения
Асимптоты
y=kx+b называется асимптотой, если расстояние между графиком функции и графиком асимптоты стремится к нулю.
а ) вертикальная
б) горизонтальная
в ) наклонная
Точки пересечения с осями координат
Непрерывность и типы разрывов
Эскиз графика
Исследование по первой производной
Найти решения уравнений
Точки, подозрительные на экстремум, типы экстремума
Значение функции в точках экстремума
Интервалы монотонности
Уточнить эскиз
Исследование по старшим производным
1) Решения уравнений
2 ) Точки, подозрительные на период.числ. с помощью достаточного условия
Значения функции в точках перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости
Окончательный график (в масштабе)
Локальные экстремумы функции
Теорема Ферма(необходимое условие экстремума)
Доказательство:
У словие монотонности функции на промежутке
Достаточные условия экстремума
Выпуклость (вогнутость) функции и точки перегиба
y=f(x)
a=x1 b=x2 Х
Функция y=f(x) называется выпуклой вверх (выпукла) на интервале (a,b), если для любых точек х1,х2 из интервала (a,b), причем выполняется соотношение ах1х2b и для любой точки х0 выполняется неравенство l(x0)f(x0)
Функция y=f(x) выпукла вниз (вогнута) на (a,b) х1,х2 (a,b) a<x1<x2<b x0 (a,b)
L(x0)f(x0)
y=x2