- •1. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и функции, их свойства и связь. Примеры.
- •Свойства бесконечно малых
- •2. Предел функции, его свойства и геометрический смысл. Предел функции и бмф. Примеры
- •Свойства пределов функции
- •3. Необходимый признак существования предела – ограниченность функции. Односторонние пределы функции в точке, их связь с пределом. Примеры.
- •4. Предел функции на расширенной прямой. Пределы основных элементарных функций (оэф). Примеры.
- •5. Замечательные пределы и их использование при нахождении производных. Примеры.
- •6. Правило Лопиталя.
- •7.Определение непрерывности в точке, на отрезке.
- •8.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода
- •11.1 Th Больцано-Коши (th о прохождении ф-ии через нулевое значение при смене знаков)
- •13. Вейерштрасса(Th об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии)
- •14. Вейерштрасса(Th о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих точных граней)
- •16.Понятие производной
- •17.Правила диференц суммы,разн,произв,частн
- •19. Теорема Ролля.
- •20.Производная высших порядков
- •21. Теорема Лагранжа.
- •22.Правило Лопиталя (без док-ва,примеры)
- •29. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.
- •30. Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных.
- •31.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки)
- •32.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты.
- •35,36. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенной интеграле.
- •35. Замена переменной в определенном интеграле.
- •36. Интегрирование по частям в определнном интеграле.
- •45,46. . Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •47,48.Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.
31.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки)
Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.
y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) x,x0(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.
Точки перегиба графика ф-ии(опр,признаки)
Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум.
Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.
32.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты.
В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами.
.Вертикальные асимптоты – прямая называется вертикальной асимптотой графика ф-ии в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов равен бесконечности.
Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю.
********************
Наклонная асимптота – прямая наклонная асимптота ф-ии , если эта ф-ия представлена в виде
Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:
Для существования наклонной асимптоты к графику ф-ии необходимо и достаточно существование конечных пределов:
Доказательство: Пусть:
Пусть:
Следовательно существует асимптота.
Нахождение асимптот графиков функции.
Говорят, что точка движется по кривой в бесконечность, если расстояние этой точки до начала координат неограниченно возрастает.
Определение: Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки, движущейся по кривой в бесконечность, до этой прямой стремится к нулю.
Нахождение вертикальных ас:
Ищутся конечные значения х=а, при которых
С уществование такого значения часто связано с обращением в нуль знаменателя дроби.
Нахождение наклонных асимптот.
Пусть y = kx+b - асимптота кривой y=f(x) при x→+∞ (как на рисунке). Угол φ сохраняет постоянное значение, α=φ. Из ∆ KLM KM=MLּ cos α. Поэтому KM и ML стремятся к нулю одновременно. ML=f(x)-(kx+b), следовательно (1):
П реобразуем это равенство, вынеся х за скобки:
П ри x→∞ такое равенство возможно только тогда, когда:
З десь
Поэтому
Следовательно (получаем (2)),
Вычислив k, находим b. Из равенства (1)(получаем (3)
Существование пределов (2) и (3) не только необходимо, но и достаточно, чтобы прямая y=kx+b была асимтотой кривой y=f(x). В частности, при k=0 асимптота будет горизонтальной. Кривая не имеет наклонной асимптоты, если не существует хотя бы один из пределов (2) и (3).
33,34. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы.
Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ∫ f(x)dx, где ∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) - подынтегральная функция.
Из определения вытекает, что
И следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx. С другой стороны, ∫F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C.
Если F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное выше следствие, можно написать: ∫ f(x) dx = F(x)+C, где С- произвольная постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать справедливость следующих свойств:
1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).
2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).