- •1. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и функции, их свойства и связь. Примеры.
- •Свойства бесконечно малых
- •2. Предел функции, его свойства и геометрический смысл. Предел функции и бмф. Примеры
- •Свойства пределов функции
- •3. Необходимый признак существования предела – ограниченность функции. Односторонние пределы функции в точке, их связь с пределом. Примеры.
- •4. Предел функции на расширенной прямой. Пределы основных элементарных функций (оэф). Примеры.
- •5. Замечательные пределы и их использование при нахождении производных. Примеры.
- •6. Правило Лопиталя.
- •7.Определение непрерывности в точке, на отрезке.
- •8.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода
- •11.1 Th Больцано-Коши (th о прохождении ф-ии через нулевое значение при смене знаков)
- •13. Вейерштрасса(Th об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии)
- •14. Вейерштрасса(Th о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих точных граней)
- •16.Понятие производной
- •17.Правила диференц суммы,разн,произв,частн
- •19. Теорема Ролля.
- •20.Производная высших порядков
- •21. Теорема Лагранжа.
- •22.Правило Лопиталя (без док-ва,примеры)
- •29. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.
- •30. Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных.
- •31.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки)
- •32.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты.
- •35,36. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенной интеграле.
- •35. Замена переменной в определенном интеграле.
- •36. Интегрирование по частям в определнном интеграле.
- •45,46. . Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •47,48.Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.
35,36. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенной интеграле.
Замена переменной.
Будем полагать функции f(u) и φ'(x) непрерывными. Замена переменной производится по формуле:
Ф ормула проверяется дифференциалом обеих частей равенства по x (правая часть дифференцируется как сложная функция).
Интегрирование по частям:
Пусть u и v являются функциями x. Умножив обе части равенства (uv)'=u'v+uv' на dx, получим d(uv)=vdu+udv. Интегрируя приходим к формуле интегрирования по частям
40. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности.
Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция
н епрерывна на этом отрезке.
Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆х[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:
a x0 x х+∆х b
П олучим:
П о теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем
… (на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству mf(x)M. То выполняются неравенства:
(на этом следствие из теоремы закончилось)
получаем:
Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.
Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.
Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная от интеграла
По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x)
Доказательство: Дадим аргументу х приращение
∆х так, чтобы х+∆х(a,b). Для приращения ∆F функции F(x) воспользуемся формулой
и применим теорему о среднем значении ( Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξ (a,b), что справедливо равенство:
Теорема верна и при b<a.) получим:
Число заключено между числами х и х+∆х и при стремлении ∆х к нулю ξ стремится к х.
Перейдем к вычислению производной F'(x).
Последнее равенство основано на непрерывности функции f(x) в любой точке х промежутка (a,b).
Следствие: Всякая функция f(x), непрерывная на промежутке (a,b), имеет первообразную на этом промежутке.
Д ействительно, первообразной для такой функции является функция
Предыдущая теорема устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом. Можно написать:
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):
( в качестве числа х0 взято число а).
В этом тождестве положим х=а и получим ,
Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:
Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:
Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки: