Билет №1 «Определение геометрического вектора. Модуль вектора».

О.Вектором AB наз. Направленный отрезок с началом в «.» А и с концом в «.» B. Направлением вектора считается направление от начала к кончу. Если начало вектора совпадает с его концом , то вектор наз. нулевым вектором и обозначается: Нулевой вектор не имеет направления. Длина вектора а обозначается: |а| и наз. модулем вектора а. Любой геом. Вектор задаётся двумя характеристиками: модулем и направлением.

Билет №2 «Коллинеарные векторы».

Два вектора наз. коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Либо: два вектора являются коллинеарными (титтк) существует прямая, параллельная обоим векторам. Считается, что нулевой вектор коллинеарен любому геом. вектору. Коллинеарные векторы бывают одинаково направленные и противоположно направленные и обозначаются:

Билет №3 «Компланарные векторы».

Три вектора наз. компланарными, если сущ. Плоскость параллельная этим векторам. Либо: компланарные векторы лежат, либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Билет №4 «Сумма векторов».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой + векторов и называется вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало совпадают (Рис.3). Приведенное определение сложения векторов называется правилом треугольника. Векторы и можно складывать. пользуясь правилом параллелограмма (Рис.4).

Если имеется n векторов , то их сумма определяется как вектор

Билет №5 «Умножение вектора на число».

Произведение вектора а на действительное число λ наз. вектор b обозначаемый через λа , который определяется след. Условиями: 1. Модуль вектора |в|=|λ||а| ; 2.в||а; 3. Если λ>0, то вÎÎа, если λ<0, то в и а противоположно направлены. При λ=0, вектор в является нулевым вектором и не имеет направления.

Билет №6 «Свойства лин. Операций».

«+»: 1. Коммутативно: а+b=b+а; 2. Ассоциативно (а+в)+с=а+(в+с) 3. а+нулев. вектор=а; 4.для любого геом. вектора сущ-ет противоположный для него вектор: а=(-а)=нулев. вектор

«*»: 1. 1*x=x; 2.(αβ)х=α(βх) ; 3.(α+β)х=αх+βх; 4.α(х+у)= αх+αу;

Билет №7 « Разность векторов».

Разностью векторов и называется такой вектор = - , что выполняется равенство: + = (Рис.6).

Легко показать, что для любого вектора , существует такой

единственный вектор , называемый противоположным вектору

что + = . Вектор, противоположный вектору , будем обозначать - .

Билет №8 «Линейная комбинация векторов».

О. множ-во векторов ℓ1,ℓ2…ℓп лин. пространства Vназ. Базисом этого пространства. Если выполняется 2 условия: 1. векторыℓ1, ℓ2…ℓп являются лин. независимыми . 2. Любой вектор x принадлежащего V лин. выражается через векторы ℓ1,ℓ2…ℓп. ПОДЧЕРКНЁМ. 2-ое условие означает , что вектор x является лин. комбинацией векторов ℓ1,ℓ2…ℓп, т.е. х=α1ℓ1+α2ℓ2+…+αпℓп, где α1,α2,…,αп-числа из поля P или коэффициенты лин. комбинации.

О. если вектор х представим в виде х=α1х1+ℓ2х2+…+αпхп, то говорят, что вектор х лин. выражается через векторы х1, х2, …. ,хп, числа α1, α2, …, αп наз. коэффициентами. Это выражение наз. также лин. комбинацией векторов х1, х2…. Хп.

Билет №9 «Лин. зависимость векторов».

О. если вектор х представим в виде х=α1х1+ℓ2х2+…+αпхп, то говорят, что вектор х лин. выражается через векторы х1, х2, …. ,хп, числа α1, α2, …, αп наз. коэффициентами. Это выражение наз. также лин. комбинацией векторов х1, х2…. Хп.

О. говорят, что векторы х1, х2, …., хп являются лин. зависимыми, если в поле P сущ-ют такие числа α1, α2, …., αп одновременно не равные нулю, для которых выполняется равенство: α1х1+α2х2+…+αпхп=нулев. вектору (ли. Комбинация).

О.векторы х1,х2,…,хп наз. лин. незав., если равенство α1х1+α2х2+…+αпхп=нулев. вектору выполняется только тогдг, когда(ттк) все коэффициенты одновременно равны нулю, т.е. α1=α2=…=αп=0

Билет №10 «Признаки лин. зависимости векторов».

Два вектора лин. зависимы (титтк) они коллинеарны.

Три вектора лин. зависимы (титтк) они компланарны.

Т.(1-ый признак) множ-во векторов х1,х2,..,хп лин. пространства V являются лин. зав.(титтк) хотя бы один из них лин. выражается через остальные.

Док-во:1ч. пусть векторы х1, х2…,хп являются лин. зависимыми, тогда сущ-ет одновременно 0 числа α1, α2,…,αп для которых выполняется равенство: α1х1+α2х2+…+αпхп=нулев. вектору. Допустим, что именно коэффициент α1 0, тогда из данного равенства получаем: α1х1=―α2х2―…―αпхп. Умножаем обе части на число , получаем: х1=(― )х2+(― )х3+…+(― )хп, (― )х2=β2 ; (― )х3=β3; (― )хп=βп. Получаем: х1=β2х2+β3х3+..+βпхп. Т.е. х1 лин. выражается через остальные векторы данного множества.

2ч. Пусть в множ-ве векторов х1, х2,…, хп один из них является лин. комбинацией остальных векторов. Пусть вектор хп=β1х1+β2х2+…+βп-1хп-1, тогда очевидно из этого следует другое равенство: β1х1+β2х2+..+βп-1хп-1-хп=нулев. вектору. По свойству лин. пространств ββ1х1+β2х2+βп-1хп-1+(-1)хп=нулев. вектору. Среди коэффициентов β1, β2,…., βп-1, -1 последний 0, но это значит, что векторы х1, х2,…,хп являются лин. зависимыми. Ч.Т.Д.

Т. (2-ой признак) если среди множ-ва векторов х1, х2,..,хп лин. пространства V есть подмнож-ва лин. зависимых векторов, то и все множ-во является лин. зависимым.

Билет №11 «Признаки коллинеарности векторов».

1-вый признак: Два вектора коллинеарны (титтк) они лин. зависимы.

Билет №12 «Признаки компланарности векторов».

1-ый признак: Три вектора компланарны (титтк) они лин. зависимы.

Билет №13 «Теорема о лин. зависимости четырёх векторов».

Четыре вектора всегда лин. зависимы.

Билет №14 «Базис множества векторов. Координаты вектора. Теорема о координатах вектора».

О. множ-во векторов ℓ1,ℓ2…ℓп лин. пространства Vназ. Базисом этого пространства. Если выполняется 2 условия: 1. векторыℓ1, ℓ2…ℓп являются лин. независимыми . 2. Любой вектор x принадлежащего V лин. выражается через векторы ℓ1,ℓ2…ℓп. ПОДЧЕРКНЁМ. 2-ое условие означает , что вектор x является лин. комбинацией векторов ℓ1,ℓ2…ℓп, т.е. х=α1ℓ1+α2ℓ2+…+αпℓп, где α1,α2,…,αп-числа из поля P или коэффициенты лин. комбинации.

О. если ℓ1.ℓ2….,ℓп базис лин. пространства. То упорядоченное множество коэффициентов в разложении вектора х по данному базису наз. координатами вектора х относительно данного базиса.

Т. координаты любого вектора х лин. порстранства V относительно базиса ℓ1,ℓ2,…ℓп определяется однозначно или: равные векторы имеют соответственно равные координаты относительно данного базиса.

Билет №15 «Базис прямой, плоскости, пространства».

О. базис пространства наз. ортонормированным, если его векторы являются попарно ортогональными(перпендикулярными) и их модуль=1. Соответствующая сис-ма координат наз. прямоугольной декартовой сис-мой координат. В трёхмерном прост-ве она состоит из начала О и трёх базисных векторов i, j, k, которые попарно ортогональны друг другу и имеют длину =1. Такая сис-ма для наглядности изображается осями Ох, Оу, Оз.

Билет №16 «Система координат (на прямой, на плоскости, в пространстве). Координаты точки».

О. декартовой сис-мой координат в пространстве наз. совокупность фиксированной точки О наз. началом и базиса ℓ1, ℓ2,ℓ3. Соответственно для плоскости два базисных вектора, а для прямой один базисный вектор.

О. координатами точки М в фиксированной сис-ме координат наз. координаты вектора ОМ, соединяющего начало сис-мы координат и точку М. Очевидно, что вектор ОМ лин. разлогается по базисным векторам ℓ1, ℓ2, ℓ3. Пусть вектор ОМ=α1ℓ1+α2ℓ2+α3ℓ3, тогда множ-во чисел вида α1, α2, α3 координаты вектора ОМ. Используется запись: вектор ОМ= (α1, α2, α3). Для того, чтобы найти координаты произвольной точки М рассматривается вектор ОМ, который разлогается по базису. В результате получается его координаты, которые одновременно являются координатами точки М.

Билет №17 «Вычисление координат вектора АB через координаты точек А и B».

Т. если точка А имеет координаты(х1,у1,з1), а точка В имеет координаты(х2,у2,з2), то вектор АВ= (Х2-Х1, У2-У1, З2-З1). Др. словами: для вычисления координа вектора нужно от координат конца вектора вычисть соответствующие координаты его начала.

Билет №18 «Задача о делении отрезка в данном отношении».

О. говорят, что точка М делит отрезок АВ в отношении λ, если выполняется соотношение: вектор АМ = вектору λ МВ. Если тоска М лежит внутри отрезка АВ, то вектора АМ и МВ соноправленные и в этом случае λ является положительным числом. Тогда модуль вектора АМ = модулю вектора λ МВ = произведению модулей числа λ и вектора МВ = произведению числа λ на модуль вектора МВ=> λ= .

Т. пусть точка М делит отрезок АВ в отношении λ, при этом известны координаты точек А(х1, у1, з1)и В (х2, у2, з2). Найдём координаты точки М. Пусть точка М(х, у,з), тогда вектор АМ=(х-х1, у-у1, з-з1). Вычислим координаты вектора МВ=(х2-х, у2-у, з2-з). По условию вектор АМ=λ МВ=> (х-х1, у-у1, з-з1)= λ(х2-х,у2-у,з2-з) . Составим систему: х-х1=λ(х2-х) ; у-у1=λ(у2-у) ; з-з1=λ(з2-з)=>Х+Λх=х1+λх2; (1+λ)х=х1+λх2; х= ; у= ; з= .

Если точка А имеет координаты х1,у1,з1, а точка В =(х2,у2,з2), то координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ вычисляется по формулам: ; х= ; у= ; з= .

Если точка М является серединой отрезка АВ, то вектор АМ = вектору МВ =>λ=1

Билет №19 «Проекция вектора на ось. Формула вычисления проекции».

Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.

Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α (Рис.9) и обозначим точку пересечения плоскости α'c осью l через А1. Тогда точка А1 называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если α┴l, то проекция называется прямоугольной или ортогональной.Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А1 и В1 точек А и В на ось l относительно плоскости α (Рис.10).

Тогда вектор АД называется проекцией вектора АВ на ось l относительно плоскости α. Величиной проекции вектора на ось относительно плоскости α называется число, равное:

а) | |, если направление вектора совпадает с направлением оси l;

б) -| |. если направление противоположно направлено оси l.

Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на ось l будем обозначать Прl , а для ортогональной проекции использовать обозначение прl .

Билет №20 «Теорема о связи прямоугольных координат вектора и проекций на координатные оси. Следствие».

Т. в прямоугольной декартовой сис-ме координат, координаты произвольного вектора д=(х,у,з) равны проекциям этого вектора на соответствующие координатные оси:

Док-во: пусть вектор д=(х,у,з) в сис-ме координат О_ХУЗ , Т.Е. i,j,k- базис 3-х мерного пространства.

Координаты вектора равны соответствующим коэффициентам в разложении вектора по базису, т.е. вектор д= хi+уj+зk. Приведём вектор д к началу в точке О. Проведём через точку Д плоскости перпендикулярные О_х,О_У, О_З. Очевидно, что вектор д= вектор ОМ+вектор МД; вектор ОМ= ОА+АМ=ОА+ОВ(АМ=ОВ). МД=ОС=>д=ОА+ОВ+ОС. Очевидно, что вектор ОА параллелен вектору i, поэтому ОА=λi =>|ОА|=|λ|*|i|=> |ОА|=|λ|; 1. Векторы ОА и i сонаправленные. В этом случае λ>0, |λ|=λ=>λ=|ОА|. По О.проекции вектора на ось в данном случае получаем, что проекция вектора д на ось О_х=|ОА|=λ. Мы получили λ=

2. Векторы ОА и i противоположно направленные. В этом случае λ<0, |λ|= ―λ. В этом случае проекция вектора д на ось О_х = ―|ОА|=―|λ|=―(―λ)=λ. Отсюда получаем ОА =λi=

Аналогично получаем, что вектор ОВ= , а вектор ОС=

Получаем вектор д=ОА+ОВ+ОС= =Х*i+У*j+З*k

Т.к. вектор разлогается по 1-ому базису единственным образом, то соответствующие коэффициенты при базисных векторах совпадают, т.е Ч.Т.Д..

СЛ. Модуль произвольного вектора д=(х, у,з) вычисляется по формуле:

(корню квадратному из суммы квадратов координат вектора).

СЛ. Если точка А=(х1, у1, з1), а точка В=(х2, у2, з2), то |АВ|=

СЛ. Если α, β, γ-это углы между вектором д=(х, у, з) и соответствующими координатными осями О_х,О_у,О_з, то

Эти формулы следуют из теоремы о вычислении проекции, а именно:

Подчеркнём, что наз. направляющими косинусами вектора д.

Билет №21 «Линейные свойства проекций».

Т. проекция суммы векторов= сумме проекций этих векторов. Проекция произведения вектора на число= произведению числа на проекцию этого вектора, т.е.:

Билет №22 «Координаты суммы векторов и вектора λа».

Т. при сложении 2-х векторов лин. пространства V их соответствующие координаты относительно данного базиса складываются; при умножении вектора на число все координаты этого вектора умножаются на это число, т.е. если вектор х=(α1,α2,…,αп), а вектор у=(β1,β2,…,βп)=> Х+У=(α1+β1,α2+β2,…, αп+βп ). Если λ –число, то вектор λх=(λα1,λα2,…,λαп). Доказывается эта теорема выполнением действий и использованием свойств лин. пространства.

Билет №23 «Формула для вычисления модуля вектора».

Модуль произвольного вектора д=(х, у, з) вычисляется по формуле: |д|=

Если точка А=(Х1, У1, З1), точка В =(х2, у2, з2), то |АВ|=

Для вычисления модуля вектора а используется следущая формула:

Билет №24 «Направляющие косинусы вектора, их свойства».

СЛ. Если α, β, γ-это углы между вектором д=(х, у, з) и соответствующими координатными осями О_х,О_у,О_з, то

Эти формулы следуют из теоремы о вычислении проекции, а именно:

Т. если α,β,γ углы, образованные вектора д соответствующими осями координат, то сумма квадратов направляющих косинусов = 1, т.е. = 1.

Док-во:

Билет №25 «Скалярное произведение векторов. Его свойства. Вычисление в координатах».

Скалярным произведением векторов и называется число (которое обозначается ), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

. (1.2)

Из 1) теорема 1.2 сразу следует, что

. (1.3)

Так как соs0=1. то =| |2. Следовательно,

, (1.4)

где выражение = 2 зазывается скалярным квадратом вектора .

ТЕОРЕМА. 1.3. Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1) = (коммутативность);

2) λ( )=(λ ) , λ R;

3) ( + )= + (дистрибутивность).

Доказательство.1) =| || |соз( ^ )=| || |соs( ^ )=

2) пусть λ>0. Тогда

λ( )=λ| || |cos( ^, )=-|λ || |cos(λ ^, )=(λ ) .

Если λ<0, то cos( ^, )=-cos(λ ^, ). Поэтому

λ =λ| || |соs( ^, )=-|λ || |соs( ^, )=

=|λ || |cos(λ ^, )=(λ ) .

1. из теоремы 1.2 следует, что

Билет №26 «Угол между векторами».

Из равенства (1.2) легко подучить формулу для нахождения угла между двумя векторами:

Билет №27 «Условие ортогональности двух векторов».

Т. два вектора перпендикулярны (титтк) их скалярное произведение =0, т.е. а_I_в ав=0

Билет №28 «Правые и левые тройки векторов».

О. упорядоченная тройка векторов а, в,с наз. правой, если после приведения их к общему началу кратчайший поворот от вектора а к вектору в наблюдаемый из конца вектора с кажется совершающимся против часовой стрелки, в противном случае тройка наз. левой.

Принято пользоваться правыми тройками векторов и выбирать их в качестве базиса.

Билет №29 «Векторное произведение двух векторов. Его свойства».

О. векторным произведением вектора а на в наз. вектор с , кторый определяется по сл-щим 3-м условиям:1. Вектор с _|_ как вектору а, так и в;2. Векторы а, в, с являются правой тройкой; 3. |с|=|а||в| между ними. Обозначается векторное произведение с=а*в либо с [a,d]. Вчастном случае, когда один из векторов = нулевому вектору, (а=нулев. Вектору), то из 3-го условия=> вектор с = нулев. Вектору. Понятие векторного произведения используется в механике.

Св-ва:1. а*в=-(в*а); 2. Λа*в=λ(а*в)= а*λв; 3. (а+в)*с=(а*с)+(в*с).

Билет №30 «Вычисление площадей параллелограмма и треугольника».

Т. S(площадь) парал-ма, построенного на векторах а и в, приведённых к общему началу равна |а*в|, т.е. S=|а*в|. Док-во: S=|а||в| =|а*в|.

СЛ. S треугольника, построенного на векторах а и в приведённых к общему началу :

S= = |а*в|.

Билет №31 «Условие коллинеарности двух векторов».

Т. два вектора || (титтк) их векторное произведение равно нулевому вектору.

Билет №32 «Вычисление векторного произведения в координатах».

Т. если вектор а =(х1, у1, з1), а вектор в =(х2, у2, з2) в базисе i, j, k, то векторное произведение а*в вычисляется по формуле:с=а*в=.

Док-во:разложим векторы а и в по базису и выполнение необходимых преобразований

Билет №33 «Смешанное произведение трёх векторов».

О. смешанное произведение трёх векторов а, в, с наз. число, обозначаемое авс, которое вычисляется последовательным умножением вектора а на в векторна, а затем умножаем ав на с скалярно, т.е. авс=(а*в)с.

Т. смешанное произведение трёх некомпланарных векторов а, в, с = объёму параллелепипеда, построенного на векторах а, в, с приведённых к общему началу, взятому со знаком +, если тройка векторов является правой и со знаком - , если тройка векторов левая.

Билет №33 «смешанное произведение 3 векторов»

смеш. произведением 3 векторов a,b,c назыв.

число, обознач. через число abc=(a×b)c

Билет №34 «Признак компланарноти трёх векторов».

Т. три вектора а, в, с компланарны (титтк) их смешанное произведение =0, т.е. авс=0.

Билет №35 «Вычисление объёма параллелепипеда и тетраэдра».

СЛ. объём параллелепипеда, построенного на векторах а, в, с, приведённых к общему началу=|авс|, т.е.V=|авс|.

СЛ. Объём тетраэдра, построенного на векторах а, в, с, приведённых к общему началу вычисляется по формуле: V= |авс|.

Билет №36 «Вычисление смешанного произведения в координатах».

Т.Если вектор а имеет координаты (х1, у1, з1), а вектор в=(х2, у2, з2), а вектор с = (х3, у3, з3), то смешанное произведение авс определяется формулой: авс=

38. Ур-е линии. Ур-е поверхности

Рассм.произвольную пл-ть и выбирим в ней фикс. с-му координат оху:

Ур-ем линии Л в с-ме оху наз. такое ур-ние Ф(х,у)=0,которое удвлетв.2-м условиям:

1.Координаты любой точки линии Л удвлетв.этому ур-нию.

2.Кординаты ни одной точки не принадлежат Л ,не удвлетв. этому ур-нию.

lOMl= =1; =1,

Координ.любой т-ки окружн.удвлетворяют ур-нию ,проверим 2-ое условие

М'(х’,у');OM’;lOMl= не=1, не=1

Билет №39 «Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом».

О. угол между прямой L и осью О_Х наз. углом наклона прямой L к оси О_Х. Угловым коэффициентом прямой L наз. число к= , при этом к сущ-ет для всех углов, за исключением . Составим ур-ние прямой L. Пусть М(х, у)- произвольная точка прямой L. Рассмотрим треугольник ВМН, угол МВН= , вычислим длины сторон треугольника: |МН|=у-в; |ВН|=х;=> = = =к; у-в=кх; у=кх+в(ур-ние прямой L с угловым коэффициентом.

Т. любая прямая L для любого к непараллельного О_Х определяется ур-нием: у=кх+в, где в является «отрезком», который прямая L отсекает по О_У от начала координат. Обратная теорема: любое ур-ние вида у=кх+в определяет прямую с угловым коэффициентом, отсекающую «отрезок» в от начала координат по О_У.

40 Взаимное расположение двух прямых(угол между ними, параллельность, перпердикулярность)

.Пусть 2 пр-е зад. ур-ями с угдовым коэфиц.(у=к1х+в1(1);у=к2х+в2(2)),вычислим угол между 2 пр-ми:

(1)Фи2=фи+фи1,фи=фи2-фи1,tgу=(фи2-фи1)=tg2-tg1/1+tg2tg2 , tg2=k2,tg1=k1,tg=k2-k1/1+k2k1

в общ. случае:tg=(по модулю (к2-к1)/1+к2к1)

(2)их параллельность:при параллел.пр-х они образ. Равные углы с ох, соответственно tg этих углов или их угловые коэфициен.равны,т.е.к1=к2-явл.признаком параллельн.2 пр-х;их

(3)условие перпендик.:2 пр-е перпенд.<=>фи =90 градусов ,tg такого угла не сеществ.,но ctg 90=0,из пункта 1 получаем,что ctg фи=1/tgфи=1+к1к2/к2-к1=0,данное рав-во явл. признаком перпендикулярности 2-х пр-х ,т.е.например:у=3х+2,у=-1/3х-1,к1к2=-1/3*3= -1,=>пр-е перпенд.

41 Общее ур-е прямой на плоскости.

В прямоуг. c-ме кордин. Х и У,любая пр-ая определ. общ.ур-ем вида

ах+ву+с=0,где а,в одноврем. не=0 и обратно:любое общ. ур-е ах+ву+с=0 в-любой прямоуг.

с-ме координат определяет прямую.Д-во:

Пусть М₀ (х₀;у₀) ,n=(а,в),подчеркнём ,что не нулевой в-р имеет координаты одноарем. Не равных нулю.Составим ур-ние этой пр-ой:Пусть М(х,у)произв.(.)данной пр-ой.Рассм.

В-рМ₀М=(х-х0;у-у0),теперь в-рМ₀М перпенд. n , поэтому их скалярное произвед.=0,т.е.n* в-р М₀М =0.Вычислим скалярное произведение в координ-х:

а(х-х0)+в(у-у0)=0,ах0+ву0=0,ах+ву+с=0,т.о. мы показали ,что корд.любой т-ки пр-ой удвлетвор. получен. ур-нию.Нетрудно проверить ,что корд.любой пр-ой не лежащие на нейне удвлетворяют ей.=>ах+ву+с=о,явл.ур-ем данной пр-ой.Докажим обратное:Найдём любое решение данного ур-ния и обозн.(х1,у1)для которого:ах1+ву1+с=0 и обозн.через (х,у)произв.решение этого ур-ния. Обозн.через М1(х1,у1)- т-ка в с-ме оху и через М(х,у).Вычисл. из ур-ния ах+ву+с=0 тожд. ву1+ах1+с1=0

а(х-х1)+в(у-у1)=0,х-х1,у-у1-соответств. корд.в-ра М1М= (х-х1,у-у1)

42.Неполные ур-я

ах+ву+с=0 –общ.ур-е пр-ой.При этом она имеет норм. в-р n=(а,в),этот в-р явл. перпендик.

к этой пл-ой ,если все коэф. общ. ур-ния не=0,то ур-ние наз. полным.Если хотя бы 1 из них не=0,то ур-е наз. неполным . Виды неполных ур-ий: ах+с=0; ву+с=0;ах=0;ву=0

43.Ур-е прямой в отрезках

Рассм. полное общ.ур-ние пр-ой ах+ву+с=0 ,ах+ву= -с /( -с),ах/(-с)+ву/(-с)=1,

х/(-с/а)+у/(-с/в)=1 , х/А+у/В=1

Ур-е пр-ой в отрезках: х/А+у/В=1

44.Ур-е прямой по двум точкам

Ур-е прямой, проходящей через две (.) М1(х1,у1) и М2(х2,у2) (у-у1)/(у2-у1)=(х-х1)/(х2-х1), где х2≠х1 и у2≠у1. Угловым коэффф. к=(у2-у1)/(х2-х1)

45. Взаимное расположение двух прямых(угол между ними, параллельность, перпердикулярность, точка пересечения)

Пусть прямые заданы своими общ.ур-ми:

ах1+ву1+с=0(1); ах2+ву2+с=0(2)

(1)вычислим угол между прямыми

Очевидно между ними угол фи равен углу между их нормальными векторами п1 и п2Ж; угол между векторами n2 и n1равен=cosфи=n1n2/ln1l*ln2l,n1=(а1,в1),n2=(а2,в2) сosy=(a1a2+в1в2)/ * ;

(2)2 прямые перпендик.т.и.т.т к их нормальн.в-ры ортогональны .(n1_!_ n2, когда их скалярное произведение равно 0. п1*п2=0),а1а2+в1в2=0

3) прямые парал-ны т.и.т.т к их нормальные векторы коллинеарны, т.е их соотв. коордионаты пропорциональны а1/а2=в1/в2

(3)2 пр-е совподают <=>соответствен.коэфиц.при неизвестных и свободных членах соответств.пропарцион.(а1/а2=в1/в2=с1/с2).

Биле №46 «Параметрические уравнения прямой на плоскости».

О. любой ненулевой вектор || данной прямой наз. её направляющим вектором. Составим ур-ние прямой, проходящей через точку М₀(Х₀, У₀, ) || направляющему вектору q(l, m). Пусть точка М(х, у)-произвольная точка данной прямой. Рассмотрим вектор М₀М (х-х₀;у-у₀; ). Векторы М₀М и q коллинеарны, поэтому их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. = ; получили кономическое ур-ние прямой на плоскости. Возьмём это кономическое ур-ние прямой и получим параметрическое ур-ние прямой на плоскости: х=х0+lt; y =y0+mt. T принимающая любые значения наз. параметром. Если t придать конкретное значение, то из параметрического ур-ния получается координата определённой точки прямой.