2.3. Логические основы построения эвм
Основы алгебры логики. Математической основой построения электронных схем, из которых состоит ЭВМ, является алгебра логики (Булева алгебра – по имени ее родоначальника Джорджа Буля).
Алгебра логики – раздел математики, посвященный операциями с двоичными символами, т.е. с объектами, которые иметь только два состояния (значения) – 0 и 1.
Наиболее наглядной интерпретацией таких объектов является отождествление каждого из них с некоторым высказыванием, которое может быть либо истинным (когда значение объекта равно 1), либо ложным (когда значение объекта равно 0). Операции с высказываниями – логические связки “и”, “или” “не” (в языке PASCAL им соответствуют операции “and”, “or”, “not”) выполняются по тем же правилам, что и операции в Булевой алгебре. Там они носят следующие названия: конъюнкция (обозначается символом ), дизъюнкция (символ ) инверсия или отрицание (символ ). В Булевой алгебре, как и в обычной (числовой) алгебре используют буквы для обозначения переменных, только в обычной алгебре эти переменные могут принимать любые числовые значения, а в Булевой – только 0 и 1.
Пусть X и Y – две логических (Булевых) переменных. Операции над ними выполняются согласно следующей таблице.
X |
Y |
X Y |
X Y |
X |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
С помощью логических операций можно представить и обычные арифметические действия с двоичными числами. Рассмотрим операцию сложения. При ее выполнении средствами обычной двоичной арифметики (см. п. 2.2) мы заметили, что при сложении двух 1-разрядных чисел получаются два результата: сумма (обозначим ее S) и единица переноса (обозначим Р). Правила получения того или иного значения S и P можно изобразить таблицей:
X |
Y |
S |
P |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Операция получения Р полностью совпадает с конъюнкцией (), т.к. их таблицы одинаковы. Для получения S можно использовать следующую логическую формулу: [(X) Y] [X (Y)]. Это можно увидеть в таблице:
X |
Y |
(X) Y |
X (Y) |
[(X) Y] [X (Y)] |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Логические электронные схемы. Для перечисленных логических операций существуют соответствующие электронные схемы, которые выполняют эти операции. Эти схемы оперируют с сигналами, представляющие собой электрические импульсы. 1 соответствует наличию импульса, 0 – его отсутствию. На вход электронного логического элемента поступают входные сигналы, которые преобразуются в выходные. Например:
X
X Y
Y
Составим электронную схему устройства, которое производит сложение двух 1-разрядных двоичных чисел – одноразрядного полусумматора.
Y
X
Y
X
(Y)
S
X
Y
(X)
Y
X
X
X
P
Y
Замечание. Такая схема используется при сложении младших разрядов многоразрядных двоичных чисел. В других разрядах присутствуют три входных сигнала: X, Y, P (из предыдущего разряда). Поэтому приведенная схема называется полусумматором, а схема с тремя входами – сумматором. Его устройство сложнее, но принцип тот же.