§ Построение областей устойчивости
Совокупность коэффициентов a1, a2, …, аn - это точка n – мерного пространства Rn, у которого множество значений коэффициентов. Каждой точке пространства соответствует множество корней.
Область, существующая в пространстве Rn, в каждой точке которой есть одинаковое число корней, лежащих слева от мнимой оси, называется гиперповерхностью.
Положим, что ао и аn определены; в плоскости корней р мы имеем k корней, которые лежат
слева от мнимой оси; (n – k) – справа.
На плоскости А всегда существует кривая, которая ограничивает такую область, в каждой точке которой определяет многочлен, имеющий k корней слева и (n – k) – справа:
D(k,n-k), где k – целое 0 ≤ k n
В пространстве корней ей соответствует множество корней при фиксированном значении коэффициентов.
Например: D(0,3), D(1,2), D(3,0)
D - разбиением назовем разбиение пространства коэффициентов характеристического уравнения на области, соответствующие одному количеству корней, расположенных слева от мнимой оси.
Пусть k корней полинома лежат слева от мнимой оси. Непрерывно будем менять коэффициент в уравнении. Получатся новые уравнения, и корни этих уравнений будут непрерывно переходить мнимую ось. Переход только через мнимую ось в плоскости корней (но только при ао0, ао=0 не рассматриваем) .
Мнимая ось – это результат отображения границы D – разбиения на плоскость корней. Граница D – разбиения и мнимая ось связаны между собой отображением.
§ Построение области устойчивости в пространстве одного комплексного параметра
- параметр переменной
Характеристическое уравнение:
Q(p) + R(p) = 0
= – Q(p)/R(p)
Например: р2 + а1р + а2 = 0 ; пусть = а2 , тогда Q(p)= р2 + а2 , R(p)= а1р
Практически, мы рассматриваем как вещественный параметр, но вообще - комплексный.
(i) = – Q(i)/R(i)= u() + v() , = var , тогда - +.
1) D(k+2,n-k-2); 2) D(k,n-k); 3) D(k+2,n-k-2)
Процедура решения:
1) разрешить характеристическое уравнение относительно ( = – Q(p)/R(p))
2) заменить р= i
= u() + v()
построить в осях (u,v) кривую, задавая - +.
II. Динамические характеристики линейной модели звеньев § Элементы и звенья систем автоматического регулирования.
Функциональная схема:
- элемент или звено системы
Незамкнутая система (схема регулирования по возмущению):
Замкнутая система (схема с обратной связью; схема регулирования по ошибке):
Звено динамическое – это элемент системы управления, которое описывается уравнением определенного типа (может быть дифференциальное уравнение)
х1 – координата входа; х2 – координата выхода
f – возмущение
Все величины – функции времени: х1(t), х2(t), f(t)
Свойство однонаправленности:
Статическая характеристика динамического звена – это зависимость выходной величины от входной величины, определенная в установившемся режиме.
х2(t) = х2( х1(t))
Эти характеристики можно получить экспериментально, аналитически, математическая модель.
Аналитическая модель может быть представлена в виде:
- графика,
- таблицы,
- аналитического выражения, закона.
Описание характеристики звена может иметь:
- явный вид: х2(t) = х2( х; f; t);
- неявный вид: f(х2, х1) = 0 ;
- параметрический вид: х1 = х1(); х2 = х2()
Линейность статическая характеристика не означает линейность поведения системы. Статическая характеристика линеаризуется при исследовании динамически.
Процедура составления модельного дифференциального уравнения:
определить х1 , х2 и дополнительных факторов;
задать начало отсчета и положительное напряжение оси координат;
введение возможных (допустимых) упрощений;
применяются известные законы сохранения массы, энергии и пр.;
сосредоточение параметров: масса точечная.
Математическое описание поведения системы:
F(x2(n),x2(n-1),
… ,
,
x2;
x1(m),
… ,
,x1;
f(q),
…,
,
f) = 0
а) n = 1 – дифференциальное уравнение 1-го порядка
F( , x2; ; f) = 0 ( Пример: бак с водой)
б) n = 2 – дифференциальное уравнение 1-го порядка
F(
,
,
x2;
,x1;
,f)
= 0
Искомая величина – координата выхода x2.
Должны быть заданы x1 и f как функции времени.
Статическая характеристика звена:
F(0,0,…, x2; 0,…,x1;0,…,,f) = 0
Неявный вид статистического уравнения характеристики звена.